第41届全国中学生物理竞赛复赛试题
(2024年9月21日上午9：00-12：00)
考生须知
1、考生考试前请务必认真阅读本须知。
2、本试题共7道题，5页，总分为320分。
3、如遇试题印刷不清楚的情况，请务必及时向监考老师提出。
4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上：写在试题纸和草稿纸上的解答一律不给分。
一、(45分)高层建筑（大楼）在风的作用下会发生晃动。在特定条件下，大
楼的晃动幅度会变得较大，形响到安全。
(1)为了减小晃动幅度，通常会在高层建筑上加装阻尼器，例如悬点固定在
大楼上、摆锤质量为m、摆臂长度为l的摆，摆臂是刚性的，质量可以忽略：大
楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动，谐振子的质量为M,恢复力
等效为劲度系数为k的弹簧，大楼在运动过程中可视为刚体。整个摆和谐报子
系统如图1a所示，系统的总质量为m与M之和。风可视为水平方向上的强迫力
F(向左为正)，它随时间t的变化为
图la
F(t)=Hcosot
其中振幅H和频率ω均为常量。重力加速度大小为g。为简单起见，只考虑摆和谐振子的小幅度振动（因而
摆便成为单摆)。
(1.1)求谐振子因强迫力F的作用产生的稳定振动的振幅：
(1.2)指出在没有阻尼器的情况下，风的频率为多大时，大楼受迫振动的振幅最大？对此频率的风，
阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动？
(2)若风的频率为第（1.2)问中求出的风的频率的V099倍，在没有阻尼器的情况下，求此时大楼受迫振
动的振幅有多大？若安装的阻尼器参数！符合第(12)问中得到的条件，为了使得大楼在此风的作用下的受
迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%，阻尼器的质量m应该为M的多少倍？
(3)实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力，通常做法是将摆锤沒泡在固定于建筑物上的油池中（相
对于建筑物的质量，油的质量可以忽略；油池质量可视为已包含在大楼的质量之内)。己知当摆锤与油的
相对速度为刊时，摆锤受到的阻尼力为
f=-YU
其中γ为常量。试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组（列方程组时不做小幅度近似，无需求解该方程
组)，为简单起见，假定摆球摆动时，油可视为相对于油池（固定在大楼上）静止。试根据你的理解定性分
析为什么阻尼力是必不可少的。
二，(S0分)打台球时常用Q球撞击目标T球，如图2a所示。Q球与T球的质量m和半径R均相同，且两
球质量分布都是均匀的；Q球在碰撞前的瞬间具有质心速度)。和转动角速度
心。，⑦。沿y方向：碰撞时间极短，且Q球和T球之间没有摩擦，可认为两球碰
撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。
(1)在发生碰撞后的瞬间，T球和Q球的飞行方向与y轴之间的夹角分别为中和
T球
日（见图2a)。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及Q球的质心
Q球
速度)。和转动角速度0（用，，心等表示）。
(2)如图2b,Q球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过△：时间才能达到无滑
图2a
滚动（也称纯滚）。已知-，o,和Q球与桌面之间的摩擦系数4。以下各小问的结果用凸，m,R,4,0,x,y
以及重力加速度g等表示。
1
