第7章《平行线的证明》（单元提高卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．2AD＝BC D．BE＝ED
2．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26 B．32 C．36 D．42
4．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
5．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．118° B．121° C．120° D．119°
6．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
A．70° B．45° C．110° D．135°
7．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
8．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等
C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
9．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ）
A．19° B．20° C．24° D．25°
10．如图，中，，且，，则 的度数为( )
A．80° B．60° C．40° D．20°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′、D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=64°，则∠GFD′=_____________.
12．如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____.
13．在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，，则的度数为 ___________．
14．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．
15．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
16．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．
17．下列说法中正确的有_____________（填序号）.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④若AC=BC，则点C是线段AB的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥180°角是补角；⑦65.5°＝65.50′；⑧如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角.
18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知平面内有一个△ABC，O为平面内的一点，延长AO到A′，使OA′=OA，延长BO到B′，使OB′=OB，延长CO到从C′，使OC′=OC，得到△A′B′C′，问：△A′B′C′与△ABC是否全等？这两个三角形的对应边是否平行？请说明理由．
20．（8分）如图，点，分别是，上的点，，.
求证：；
若比大，求的度数.
21．（10分）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF．
(1) 如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD
(2) 如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围．
22．（10分）已知直线，点A、B为分别在直线上，点C为平面内一点，连接、，且．
(1) 如图，求证：；
(2) 如图2，射线分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数．
23．（10分）已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ．
(1) 如图，当点在线段上时，若，，求 度数．
(2) 当点在直线上时，请写出，，的数量关系，并证明．
24．（12分）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点．
(1) 若，，求的度数；
(2) 如图1，若，求线段的长的取值范围；
(3) 如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值．
参考答案
一、单选题
1．C
解：BD是△ABC的角平分线， AB＝BC，
则BD是AC边上的高及中线，
所以∠ABD＝∠DBC ,BD⊥AC，2AD=AC, ∠A＝∠BCA；
因为DE∥BC，
所以∠EDA＝∠BCA, ∠EDB＝∠DBC，
所以∠A＝∠EDA, ∠ABD＝∠EDB，
所以BE＝ED．
所以A、B、D正确，C错误．
2．B
解：因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，
所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．
3．A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
4．C
解：根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
5．A
【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案．
解：如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，
根据对称的性质有：，，
∴周长的为．
当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为，
则的长度即为周长的最小值．
∵，
∴．
∵，，且，，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．
解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，
∴a∥b，
∴∠3+∠6＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4=∠6＝110°．
故答案为C．
7．D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
8．D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
解：∵，
∴，
∵
①+②得
②-①得
∴在和中，
∵
∴
故选D．
9．B
【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
解：∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴
∴
∴
∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
故选：B．
10．C
【分析】连接FB，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可．
解：如图连接FB，
∵，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．520
解：因为AD∥BC，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠EFD′-∠AFE=116°-64°=52°，故答案为52°.
12．108
解：分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=x，
∴∠EDF=x，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
13．
【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵，
∴，
即：；
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．
解：作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
15．
【分析】根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，
设
，
，
是的一个外角
即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
16．
【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP= BN，BN=AO，
∴BP= AO= ×7=．
故答案为：．
17．①③
解：根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，只有在一条直线上时，点C是线段AB的中点，④不正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180°的两角互为补角，知⑥不正确.
故答案为①③.
18．或
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a， a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝ 4，
∴P点坐标为（ 4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a， a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
把A、P坐标代入可得，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝x＋8，
令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82，
∵B（ 4，0），
∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，
解得a＝12，则 a＋4＝ 8，
∴P点坐标为（12， 8），
综上可知，P点坐标为（ 4，8）或（12， 8）．
故答案为：（ 4，8）或（12， 8）．
三、解答题
19．
解：△A'B'C'≌△ABC，这两个三角形的对应边平行，理由如下：
如图所示，
在△AOC和△A'OC'中，
，
∴△AOC≌△A'OC'（SAS），
∴AC=A'C'，
同理可得△BOC≌△B'OC'，△AOB≌△A'OB'，
∴BC=B'C'，AB=A'B'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS），
∵△AOC≌△A'OC'，
∴∠CAO=∠C'A'O，
∴AC∥A'C'，
同理可得AB∥A'B'，BC∥B'C'．
20．
解：（1）证明：
（2）解：
21．
解：（1）∵EF⊥DF
∴∠EFB+∠DFC=90°
∵∠B=90°
∴∠BEF+∠EFB=90°
∴∠DFC=∠BEF
∵∠DFC=∠A
∴∠BEF=∠A
∴AD∥EF
∵∠EFD=90°
∴∠ADF=90°
∴AD⊥DF
（2）不变 ，∠O=45°
延长EF于OD交于H，
在△OEH中，∠EHD=∠OEH+∠O
在△DFH中，∠EFD=∠EHD+∠FDO
∴ ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O
∵∠EFD=90°
∴∠FDO+∠OEH+∠O=90°
∵∠B=∠C=90°，且∠EFD=90°
∴∠BEF+∠FDC=90°
∵OE，OD分别为∠BEF和∠FDC的角平分线
∴∠FDO+∠OEH=45°
∴∠O=45°
22．
解：（1）证明：延长交于点G，如图，
∴，
∵，
∴，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：延长交于点K，交于O，连接，如图，
∴（三角形外角定理），
（对顶角相等），
（三角形外角定理），
∴（等量代换），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∵射线分别平分和，
∴（角平分线定义），（角平分线定义），
∵，，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
，
，
即．
23．
解：（1）如图 中，
，，，
．
（2）如图中，当点在线段上时，，
如图中，当点在线段的延长线上时，，
如图中，当点在线段的延长线上时，．
24．
解：（1），，
，
平分，
，
；
（2）如图1，过点作，交的延长线于，
，，
点为中点，
，
，
，，
在中，，，
，
；
（3）如图2，延长，交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
当时，有最大值，即有最大值，
的最大值．
