6.4 平行关系——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．设，为两个不同平面，则的充分条件是( )
A.内有无数条直线与平行 B.，平行于同一条直线
C.，垂直于同一条直线 D.，垂直于同一个平面
2．在三棱锥中，点E，F分别在，上.若，则直线与平面的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.平面 D.不能确定
3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
4．在空间四边形中，E，F分别为，上的点，且，H，G分别为，的中点，则( )
A.平面且为矩形
B.平面且为梯形
C.平面且为菱形
D.平面且为平行四边形
5．已知,为两个不重合平面,l,m为两条不同直线,则的充分条件是( )
A., B.,
C., D.,,
6．下列说法正确的是( )
A.平行于同一直线的两平面平行
B.如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那么该直线和另一个平面也平行
C.夹在两平行平面间的相等线段必平行
D.夹在两平行平面间的平行线段相等
7．已知m，n是两条异面直线，则过直线m( )
A.没有一个平面与直线n平行 B.有无数个平面与直线n平行
C.有两个平面与直线n平行 D.有且只有一个平面与直线n平行
8．已知m，n表示两条直线，，，表示平面，下列命题中正确的有( )
①若，，且，则；
②若m，n相交且都在平面，外，，，，，则；
③若，，则；
④若，，且，则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、多项选择题
9．判断平面与平面平行的条件可以是( )
A.平面内有无数条直线都与平行
B.直线，，且，
C.平面，且平面
D.平面内有两条不平行的直线都平行于平面
10．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则下列图中能得出平面MNP的是( )
A. B.
C. D.
11．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，a，b为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“，”之外补充的一个条件是______.
13．如图，在直三棱柱中，D为的中点，点P在侧面上运动，当点P满足条件__________时，平面BCD.（填一个满足题意的条件即可）
14．如图，在五面体中，四边形为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__________.
四、解答题
15．已知正方体，求证：平面.
16．如图,在正方体1中,E为的中点.
求证:平面ACE;
17．斗笠是一个防晒遮雨的用具，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.现测量一顶斗笠，得到图中圆锥PO模型，若点C在上，且D为AC的中点.求证：平面.
18．如图，在四面体中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
（1）平面EFG；
（2）平面EFG.
19．如图，已知长方体中，E为的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，且，在图中作出与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：对于A，内有无数条直线与平行，与相交或;
对于B，，平行于同一条直线，与相交或;
对于C，，直直于同一条直线，则;
对于D，，垂直于同一平面，与相交或.
2．答案：A
解析：因为，所以.又平面，平面DEF，所以平面DEF.
3．答案：D
解析：这条直线在另一个平面内,成立;若这条直线不在另一个平面内,则它们平行.故它们的位置关系为平行或直线在平面内.故选D.
4．答案：B
解析：在平面内，，
.
又平面，平面，
平面.
又在平面内，
H，G分别是，的中点，
.
又，，
.
在四边形中，且，
∴四边形为梯形.
故选：B.
5．答案：B
解析：对于A,若,,则或,故A中条件不是充分条件,故A错误;
对于B,若,,由面面平行的定义可得,
故B中条件是的充分条件,故B正确;
对于C,若,,则或,C中条件不是充分条件,故C错误;
对于D,,,,则或,D中条件不是充分条件,
故D错误;
故选：B.
6．答案：D
解析：
A × 平行于同一直线的两平面平行或相交.
B × 如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则该直线可能在另一个平面内.
C × 夹在两平行平面间的相等线段可能平行，可能相交，也可能异面.
D √ 由平面与平面平行的性质定理，易得夹在两平行平面间的平行线段相等.
7．答案：D
解析：如图，在直线m上任取一点O，过点O作.因为，所以直线和m确定一个平面.又，，，所以.故选D.
8．答案：A
解析：对于①，若，，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设m，n相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，，根据平行平面的传递性得知.
故选：A.
9．答案：CD
解析：对A：结合图形可知A错误；
对B：结合图形可知B错误；
对C：由平面平行的传递性可以得证；
对D：由两平面平行的判定定理即可得证.
故选：CD.
10．答案：AD
解析：对于A，如图1，记顶点为C，连接BC交NP于点O，连接MO.易得O为BC的中点，MO为的中位线，所以.又平面，平面MNP，所以平面MNP，故A正确.
对于B，如图2，记顶点分别为C，D，E，连接BE，CD交于点O，连接NO.易得O为BE的中点，NO为的中位线，所以.因为平面，平面MNP，所以平面MNP显然不成立，故B错误.
对于C，如图3，连接BN.因为N，P分别为其所在棱的中点，所以，所以平面MNP即为平面MBNP.又平面，平面MBNP，所以平面MNP显然不成立，故C错误.
对于D，如图4，记顶点分别为C，D，连接CD.易知.又N，P分别为其所在棱的中点，所以，所以.又平面，平面MNP，所以平面MNP，故D正确.
11．答案：BCD
解析：对于选项A，如图①，，与平面MNQ是相交的位置关系，故AB与平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，如图②，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ，故B正确；
对于选项C，如图③，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ，故C正确；
对于选项D，如图④，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ，故D正确.
故选BCD.
12．答案：
解析：由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线b在平面外，即.
故答案为：.
13．答案：P是的中点（答案不唯一）
解析：取点P为的中点，连接，为的中点，，平面，平面，平面.当点P满足条件P是的中点时，平面BCD.（其他满足题意的条件均可.）
14．答案：平行
解析：，N分别是BF，BC的中点，.又四边形为矩形，，.又平面，平面，平面.
15．答案：证明：在正方体中，易知，
因为平面，平面，
所以平面.
解析：
16．答案：答案见解析
解析：
证明:连接BD,设,连接EF,如图,则,
又平面ACE,平面ACE,所以平面ACE.
17．答案：证明见解析
解析：证明：因为AB为底面圆O的直径，所以O为AB的中点.因为点D为AC的中点，所以因为平面，平面POD，所以平面POD.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）F，G分别是BC，CD的中点，
.
平面EFG，平面EFG，
平面EFG.
（2）E，F分别是AB，BC的中点，.
平面EFG，平面EFG，平面EFG.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）作图见解析，12
解析：（1）证明：如图，连接交于P，连接，
在长方体中，由为矩形得P为的中点，
由E为的中点，得，
又平面，平面，
所以平面.
（2）设M，N分别为，的中点，连接，，，，，
因为E为的中点，所以四边形为矩形，
所以，，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，，所以，，
所以四边形为平行四边形，
因为，平面，平面，
所以平面，同理可证得平面，
因为，平面，
所以平面平面，
所以与长方体的面的交线围成平行四边形，
由已知得，，，
所以，，
所以四边形的面积为
.
