第 8 讲整式的除法
知识方法
整式的除法，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式.
像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念.一般地，一个一元多项式 f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立,其中r(x)的次数小于g(x)的次数.特别地,当r(x)=0时,称f(x)能被g(x)整除或g(x)整除f(x).
当除式是一次式时，有如下的结论.
(1) 余数定理:多项式f(x)除以x-a 所得的余数等于f(A).
(2)因式定理:若多项式f(x)除以x-a所得的余数f(A)=0,则f(x)含有因式x-a.
经典例题解析
【例8-1】 已知3 =4,3y=6,求 的值.
解
【例8-2】 已知 求 f(x)除以g(x)的商式q(x)和余式r(x).
解 用竖式除法，有
所以有
【例8-3】 已知 求 的值.
解: 因 所以
= -3a.
又 于是原式=-1.
【例8-4】 多项式 能被 整除，则 的值是( ).
(A) -2 (B) -12 (C) 6 (D)4
解:利用待定系数法解
因为 能被 整除，可设2
化简整理，得
2n.
比较对应项系数，得
所以 故选 A.
【例8-5】 试确定a 和b,使 能被 整除.
解 由于 因此，设 假如 f(x)能被 整除,则x+1和x+2必是f(x)的因式.因此,
当x=-1时,f(-1)=0,即
1+a+b+2=0. ①
当x=—2时,f(-2)=0,即
16+4a+2b+2=0. ②
由式①、式②联立，则有
【例8-6】 当x=2或x=3时,多项式 的值都为0，试求多项式 f(x)除以 的商式和余式.
解 因当x=2或x=3时，多项式 的值都为0，可设
令 得
①
令x=3,得
②
解由式①和式②组成的方程组,得a=-8,b=-73.
故 ,所以商式q(x)= 余式r(x)=0.
【例8-7】 求x 被. 除所得的余式.
解
.
故x 被. 除所得的余式为 1.
评注 例8-7也可采用竖式除法，但逆用乘法公式解答更为简洁.
【例8-8】 已知多项式 除以x--1时，所得的余数是1，除以. 时所得的余数是 3，那么多项式 除以(x--1)(x--2)时,所得的余式是( )
(A) 2x--1 (B)2x+1 (C)x+1 (D)x-1
解: 设f(x)=ax +bx + cx+d=(x-1)(x-2)q(x)+r(x),显然r(x)是一次式,令r(x)= kx+m,则f(1)=k+m=1,f(2)=2k+m=3.于是有k=2,m=-1,r(x)=2x-1,故选 A.
强化训练
一、选择题
1.计算所得商式、余式用q(x)、r(x)表示，则下列叙述正确的是( ).
(D) 以上答案都不对
2.当多项式 除以多项式 时，其余式为( ).
(A) 2 (B) -2 (C) -2x-2
(D)2x+2 (E)2x-2
3.若 被 3x—1除后余 3,则 k 的值为( ).
(A)7 (B) 8 (C)9 (D) 10
4.如果是 的一个因式，则b 的值为( ).
(A) -2 (B) -1 (C)0 (D) 2
5.已知关于x 的三次四项式 能被 整除,则b-6a的值等于( ).
(A)6 (B) 7 (C)8 (D) 9
二、填空题
6.已知 则f(x)除以g(x)的余数是 .
7.若多项式 能被g(x)=x+1整除,则k= .
8.一个长方形的面积为 它的一条边长为x-2y，则它的周长为 .
9.设a 为常数，多项式 除以 所得的余式为x+3，则
10.对任意有理数 x，若 都能被 整除,则a-b+c 的值是 .
三、解答题
11. 若 求 xy 的值.
12. 如果 a 是方程 的一个根，试求 的值.
13.已知关于x 的多项式被x+2除的余数为 2，而被3x-2 整除，求这个多项式被(3x-2)(x+2)除的余式.
14. 已知 且 求 m 的值.
15.已知a、b、c 为实数,且多项式 能被 整除.
(1) 求 4a+c 的值.
(2)求2a-2b-c 的值.
(3) 若a、b、c 为整数,且c≥a>1,试确定a、b、c的值.
一、选择题
1.【答案】A.
2.【答案】B.
【解析】用竖式除法，有所以余式为2x-2.
3.【答案】D.
【解析】因为 被 3x-1除后余 3,所以 能被3x-1整除.
令 3x-1=0,即
所以 解得k=10.
4.【答案】A.
【解析】设 令x=1,得a+b+1=-a+1;
令x=-1,得-a+b+1=-a-1,b=-2.
5.【答案】A.
【解析】由于x -999x+1994=(x-2)(x-997),故 含有因式(x-2)(x-997).
当x=2或x=997时,值为0.
解得a=996,b=5982.于是b-6a=6.
二、填空题
6.【答案】91.
7.【答案】-5.
【解析】因为 能被g(x)=x+1整除,令x+1=0,即 解得k=-5.
8.【答案】4x-10y.
【解析】另一边长为 =x—3y,周长为2[(x--2y)+(x--3y)]=4x-10y.
9.【答案】2.
【解析】设 令x=1,a+2=4,a=2.
10.【答案】1.
【解析】设 1),取.x=-1,-1+a-b+c=0,a-b+c=1.
三、解答题
11.【答案】50.
【解析】
故 解得
12.
【解析】因为 a 是方程 的一个根，所以 所以
因为
所以
13.
【解析】设已知多项式f(x)除以(3x-2)(x+2)
的商式为q(x),余式为 ax+b,
则f(x)=(3x-2)(x+2)q(x)+ ax+b.
因为这个多项式能被 3x-2整除，即f(x)=
所以这个多项式被3x-2除以后所得的余数为
①
又因为这个多项式被x+2除的余数为 2，即f(x)=(3x-2)(x+2)q(x)+a(x+2)-2a+b,所以这个多项式被x+2除的余数为
-2a+b=2, ②
解式①、式②得 故这个多项式被(3x-2)(x+2)除的余式为
14.【答案】9.
【解析】
故
15.【答案】(1)12;(2) 14;(3)a=2,b=-7,c=4.
(1) 因多项式 能被 整除，故
(b+4)-(3a-9)=0, ①
c+4a-12=0. ②
由式②得4a+c=12.
(2) 由式①得b+4=3a-9,解得b=3a-13.而c=12-4a,故 2a-2b-c=2a-2(3a--13)-(12-4a)=2a-6a+26-12+4a=14.
(3) 由4a+c=12,得
因为a、b、c为整数,且c≥a>1,所以1
