第 12讲 分式的运算
知识方法
初中数学竞赛中与分式有关的问题和整式一样，包括分式的化简求值与恒等式的证明等，在处理分式恒等变形问题时，分式的基本性质是最重要的依据.
在解答有关分式的问题时，有如下几种方法：
(1) 逆用通分的步骤，将一个分式变形为两个分式的和或者一个整式与一个分式的和.
(2) 在等式两边“取倒数”也是处理分式问题的一种常用方法.
(3) 在证明恒等式时，可以采用逆推的方法(分析法)来思考.
(4) 在遇到条件中有比例式出现时，可以先将相等的比设成一个字母.
经典例题解析
【例12-1】 化简:
解 原式
=0.
【例 12-2】 求证:
证明 因为左边
=右边，
所以等式成立.
【例12-3】 已知 求 的值.
解 由 得
所以 myz+ nxz+ pxy=0.
故
【例12-4】 将 写成两个因式的积，使它们的和为 求这两个式子.
解
因为
所以所求的两个式子分别为 和
【例12-5】 已知 求证：
证明 因为
所以
将已知条件代入，得
①
因为 所以
②
联立式①、式②，解得
故
【例 12-6】 已知a+b=3, ab=1,c+d=4, cd=2且 求证：
证明 因为 所以a+b+c+d=7,a +b +c +d =(a+b) +(c+d) -2ab—2cd=19.
(1) 因为
所以 其余各式类似可得.
故
=7B-7.
(2) 因为 其余各式类似可得.
所以
=7(7B-7)-19
=49B—68.
【例 12-7】 已知 求证： =0.
分析 在有关分式的诸问题中，往往一道题牵涉多方面的知识，对于分式条件等式的证明，更是需要综合运用有理式的变形技巧及代入法、换元法等数学方法，通过分析推理在已知条件的约束下，将分式恒等变形，推出结论.本题并不复杂，但用常规的“直接代入法”无济于事，将已知条件作“整体变形”似乎也难奏效，我们考虑“化整为零”，把已知条件左边的三个分式分别用其他两个表示，这只需用到通分的基本变形方法就够了，再进行合成即得到所证结论.于是“化整为零”的小技巧解决了大问题.
证明 由已知条件，得
所以
同理得
所以
=0.
【例12-8】 在 1~2009 这 2009个正整数中,使 不是既约分数的n 共有多少个
解 分离分式 的整数部分，将分子 变形为n --1+3=(n--1)(n+1)+3,有
要使 不是既约分数，只要 不是既约分数即可；注意到3为质数，所以，n+1=3，6，9,12,…,3×669,3×670,共670个数.因此n=2,5,8,11,…,2006,2009,共670个数,使 不是既约分数.
强化训练
一、选择题
1.已知x、y、z满足 则 的值为( ).
(A)1
2. 化简分式 得( ).
3.设有理数a、b、c 都不为0,且a+b+c=0,则 的值为( ).
(A) 正数 (B) 负数 (C)0 (D) 不能确定
4.设 则 的值是( ).
(A) 1
5.若 则 的个位数是( ).
(A)1 (B) 3 (C)5 (D) 7
二、填空题
6.计算 的值，结果是 .
7.已知 则
8.已知a、b、c 为不等于 0 的实数,且a+b+c=0,则 的值为 .
9.若 则 的值_______
10.已知x+y+z=3a(a≠0),那么 的值是 .
三、解答题
11.化简下面表达式为最简结果：
12.设不等于0的三个数a、b、c 满足 求证：a、b、c中至少有两个互为相反数.
13. 已 知 x、y、z 是 实 数, 且 求 的值.
14.求最大的正整数n，使得 能被n+10整除.
15.已知非零实数a、b、c 满足a+b+c=0,求证:
第 12 讲 分式的运算
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】由 得 所以 故选 B.
2.【答案】B.
【解析】原式=
3.【答案】C.
【解析】由a+b+c=0,得 所以
同理
所以原式
4.【答案】C.
【解析】由条件知x≠0，因而 即
又
所以
5.【答案】D.
【解析】由已知条件知.x≠0,且
所以 的个位数是9-2=7.
二、填空题
6.【答案】
【解析】设a=22223,b=11112,则
原式
7.【答案】:
【解析】
8.【答案】-3.
【解析】原式
9.【答案】8 或-1.
【解析】设 则
a+b=(k+1)c, ①
a+c=(k+1)b, ②
b+c=(k+1)a, ③
式①+式②+式③得
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c).
若a+b+c≠0,k=1,则
若a+b+c=0,有a+b=-c,b+c=-a,a+c=--b,
则
10.【答案
【解析】由x+y+z=3a得(x-a)+(y-a)+
(z-a)=0,所以
=--2[(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-
a)(x-a)],所以
三、解答题
11.【答案】1.
【解析】设
因
即 B=C,
又
所以,原式=AB+CD+E=AC+CD+E=C(A+D)+E=C+E=1.
12.【答案】证明:将 改写成 即(a+b+c)( bc+ ca+ ab)= abc.
展开后,因式分解,得(a+b)(b+c)(c+a)=0.因此,三个等式a+b=0,b+c=0,c+a=0中必有一个成立.即a=-b,b=-c,c=-a中必有一个成立.根据互为相反数的定义，结论成立.
13.【答案】1.
【解析】设A=x--y,B=y--z,C=z-x,则A+B+C=0.
已知的等式可化为 化简得
①
因为A+B+C=0,所以 ②由式①、式②得. 所以A=B=C=0,于是x=y=z,故 =1.
14.【答案】890.
【解析】 所以n+10整除 必须且只需n+10整除900.因又要n取得最大值，故n+10=900，从而符合要求的正整数 n 的最大值是 890.
15.【答案】证明:(1) 由a+b+c=0,得a+b=-c.因此
于是有
故 =3abc.
(2) 因为
同理
故
=9.
