5 实验：用单摆测量重力加速度
[学习目标] 1.理解用单摆测量重力加速度的原理，会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。2.掌握用图像处理实验数据的方法，会进行误差分析(重难点)。
一、实验思路
在摆角较小(小于5°)时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可得g＝。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
二、实验装置
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺等。
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的金属小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图。
2．测摆长：用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。
3．测周期：把单摆拉开一个角度，角度小于5°，静止释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1 g＝
2
3
2.图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2．偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2．单摆摆线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过5°。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
例1 (2023·徐州市高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝
答案 (1)AD (2)丙 (3)D
解析 (1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝，故D正确。
例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，取π2＝9.87。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆全振动50次所用的时间如图乙所示为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2；
(2)某同学通过改变几次摆长l，测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，如图丙所示。
①理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，造成图线不过坐标原点的原因可能是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
②由图像求出的重力加速度g＝______ m/s2。
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
答案 (1)2.125 98.49 99.8 1.996 9.76
(2)①测量摆长时漏掉了摆球的半径
②9.87 (3)B
解析 (1)游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
单摆的摆长为
l＝l′＋＝97.43 cm＋ cm≈98.49 cm
停表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
单摆的周期为T＝＝ s＝1.996 s
根据单摆的周期公式有T＝2π
解得g＝≈9.76 m/s2
(2)①T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
②由单摆周期公式T＝2π可得T2＝·l，则T2－l图像的斜率为k＝；由题图丙得k＝4 s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2。
(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
拓展 实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计算摆球的半径，具体做法如下：第一次用的悬线长为L1，测得的振动周期为T1；第二次用的悬线长为L2，测得的振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
答案
解析 由题可知T1＝2π，T2＝2π
联立以上两式可解得g＝。
例3 (2023·湖北省高二期末)在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为________ cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为________ cm；
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g＝__________。
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲____，乙________。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
答案 (1)99.15 2.075 (2)
(3)偏大 无影响
解析 (1)刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm
用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d＝2 cm＋15× mm＝2.075 cm
(2)由单摆的周期公式
T＝2π，另由题图丙可知T＝4t0
可得重力加速度的表达式为g＝
(3)甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值，由g真＝，g测＝
可知，结果偏大。
乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，由T2＝，T2＝
斜率不变，结果无影响。
课时对点练(共50分)
1题6分，2题12分，3题8分，4题10分，5题14分，共50分
1．(6分)(2023·宜春市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中。
(1)(2分)下列操作正确的是__________。
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)(2分)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是__________。
(3)(2分)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将__________。(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角不超过5°时，才可以认为摆球的运动是简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)根据T＝2π，得T2＝，可知T2与L成正比，所以D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝可知，测得的重力加速度偏大。
2．(12分)(2023·遵义市高二期中)在做用单摆测量重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________ m。若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是__________ s，单摆摆动周期是__________ s。
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图丙所示。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝__________ m/s2。(结果取2位有效数字)
答案 0.875 0 75.2 1.88 见解析图 9.9
解析 由单摆的周期公式T＝2π，可知g＝，如题图甲所示，则单摆摆长为l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m
据停表的读数规则，题图乙内圈示数为60 s；题图乙外圈示数为15.2 s，所以停表的示数为t＝75.2 s，单摆摆动周期是T＝＝ s＝1.88 s。把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如图所示，则直线斜率k＝＝＝4 s2/m，重力加速度g＝＝，解得g≈9.9 m/s2。
3．(8分)(2023·大庆市高二月考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)(2分)某实验小组在测量单摆的周期时，摆球在竖直平面内稳定摆动后，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次通过平衡位置时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝__________(用t、n表示)。
(2)(4分)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，由此得到的T2－L图像是图乙中的__________(选填“①”“②”或“③”)。然后用图像的斜率k来计算重力加速度。这样算出来的g值会__________(填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
(3)(2分)实验中小红同学测重力加速度时，没有用图像处理，直接利用单摆周期公式计算，她算得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是__________。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．开始计时，秒表过早按下
D．把小球直径当作半径来计算摆长
答案 (1) (2)③ 无影响 (3)BD
解析 (1)摆球通过平衡位置时从1开始计数，则第n次通过平衡位置时，小球实际全振动次数为，而整个过程所用时间为t，则可知该单摆的周期为T＝＝；
(2)由单摆周期公式T＝2π，可得T2＝·L，而小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，则有T2＝(L＋r)，由此得到的T2－L图像不过原点，且与纵轴上方有交点，相当于将标准图像向左平移，因此得到的应该是③这条图线；而由T2＝·L可知，即使摆长取错，但用图像的斜率k来计算重力加速度，得到的重力加速度仍然是准确的，并无影响；
(3)摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际测量值偏小，由公式g＝·L可知，计算得到的重力加速度偏小，故A不符合题意；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，则测得的周期偏小，由重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，故B符合题意；开始计时，秒表过早按下，则测得的周期偏大，可知重力加速度的测量值将会偏小，故C不符合题意；把小球直径当作半径来计算摆长，则测量摆长大于实际摆长，因此会造成重力加速度的测量值大于实际值，故D符合题意。
4．(10分)(2023·泰安市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)(3分)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下。若要计算当地的重力加速度值，第________组实验数据最合理；
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
(2)(3分)用游标卡尺测小球的直径如图甲所示，其值为________ cm；
(3)(4分)该同学查资料得知，单摆在最大摆角θ较大时，周期公式近似为T＝2π(1＋sin2)。为了用图像法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图乙所示的图线。
设图线延长后与横轴交点的坐标为b，则重力加速度的测量值g＝____________(用l、b表示)。
答案 (1)2 (2)1.18 (3)
解析 (1)为了减小误差，摆球选择质量较大、体积较小的，摆长大约1 m左右，通过累积法求出单摆的周期，取全振动次数为30～50次，同时最大摆角不能超过5°。所以选择第2组实验数据最合理。
(2)用游标卡尺测小球的直径，题图甲读数为11 mm＋8× mm＝11.8 mm＝1.18 cm
(3)单摆在最大摆角θ较大时周期公式近似为T＝2π(1＋sin2)，则sin2＝T－4
根据单摆周期T和最大摆角θ的关系图，
该图线延长后与横轴交点的坐标为b，
即0＝b－4
解得g＝。
5．(14分)(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)(6分)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)(2分)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)(6分)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
答案 (1)0.006 20.035 20.029 (2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，
则T＝ s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π，
可得g＝≈9.83 m/s2。(共55张PPT)
DIERZHANG
第二章
5 实验：用单摆测量重力加速度
1.理解用单摆测量重力加速度的原理，会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。
2.掌握用图像处理实验数据的方法，会进行误差分析(重难点)。
学习目标
一、实验思路
在摆角较小(小于5°)时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式T＝
可得g＝_____。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
二、实验装置
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺等。
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的金属小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图。
2.测摆长：用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球
的直径d，则摆长为l＝________。
3.测周期：把单摆拉开一个角度，角度小于5°，静止释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝ 中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
2
3
五、误差分析
1.系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2.偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1.选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2.单摆摆线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过5°。
4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
(2023·徐州市高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
例1
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用_____(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
AD
为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图____(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是____。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同
时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置
的时间t，则T＝
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用
停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位
置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，
则T＝
D
在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误；
以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝ 故C错误；
以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝ 故D正确。
在“用单摆测量重力加速度”的实验中，取π2＝9.87。
例2
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为______ cm，则单摆的摆长为_______ cm；然后用停表记录了单摆全振动50次所用的时间如图乙所示为_____ s，则单摆的周期为_____ s；当地的重力加速度为g＝_____ m/s2；
2.125
98.49
99.8
1.996
9.76
游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
单摆的摆长为
停表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
(2)某同学通过改变几次摆长l，测出多组单摆的摆
长l和运动周期T，作出T2－l图像，如图丙所示。
①理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，造
成图线不过坐标原点的原因可能是_____________
_______________。
测量摆长时漏
掉了摆球的半径
T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
②由图像求出的重力加速度g＝_____ m/s2。
9.87
由题图丙得k＝4 s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2。
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是____。
A.测摆长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.开始计时时，停表过迟按下
D.实验时误将49次全振动记为50次
B
测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；
摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；
开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；
实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计算摆球的半径，具体做法如下：第一次用的悬线长为L1，测得的振动周期为T1；第二次用的悬线长为L2，测得的振动周期
为T2，由此可推得重力加速度为g＝___________。
拓展
(2023·湖北省高二期末)在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为________ cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为________ cm；
例3
99.15
2.075
刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm
用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d＝2 cm＋15× ＝2.075 cm
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g＝
_____。
由单摆的周期公式
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲______，乙________。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
偏大
无影响
可知，结果偏大。
斜率不变，结果无影响。
课时对点练
1.(2023·宜春市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中。
(1)下列操作正确的是_____。
A.甲图：小球从偏离平衡位置60°
开始摆动
B.乙图：细线上端用铁夹子固定
C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
1
2
3
4
5
BD
1
2
3
4
5
摆线与竖直方向的夹角不超过5°时，
才可以认为摆球的运动是简谐运动，
故A错误；
细线上端应用铁夹子固定，防止松
动引起摆长变化，故B正确；
当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；
实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝ 其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是____。
1
2
3
4
5
D
1
2
3
4
5
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将_____。(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
1
2
3
4
5
偏大
2.(2023·遵义市高二期中)在做用单摆测量重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计
算重力加速度的公式是g＝_____。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，
1
2
3
4
5
如图甲所示，则单摆摆长是________ m。若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是_____ s，单摆摆动周期是______ s。
0.875 0
75.2
1.88
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图丙所示。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______ m/s2。(结果取2位有效数字)
1
2
3
4
5
9.9
答案 见解析图
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.(2023·大庆市高二月考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)某实验小组在测量单摆的周期时，摆球在竖直平面内稳定摆动后，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次通过平衡位置时停止计
时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝_______(用t、n表示)。
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
(2)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，由此得到的T2－L图像是图乙中的_____(选填“①”“②”或“③”)。然后
1
2
3
4
5
用图像的斜率k来计算重力加速度。这样算出来的g值会________(填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
③
无影响
1
2
3
4
5
(3)实验中小红同学测重力加速度时，没有用图像处理，直接利用单摆周期公式计算，她算得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是_____。
A.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B.把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C.开始计时，秒表过早按下
D.把小球直径当作半径来计算摆长
1
2
3
4
5
BD
1
2
3
4
5
摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际测量值偏小，由公式g＝ 可知，计算得到的重力加速
度偏小，故A不符合题意；
把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，则测得的周期偏小，由重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，故B符合题意；
开始计时，秒表过早按下，则测得的周期偏大，可知重力加速度的测量值将会偏小，故C不符合题意；
把小球直径当作半径来计算摆长，则测量摆长大于实际摆长，因此会造成重力加速度的测量值大于实际值，故D符合题意。
4.(2023·泰安市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下。若要计算当地的重力加速度值，第____组实验数据最合理；
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2
3
4
5
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
2
1
2
3
4
5
为了减小误差，摆球选择质量较大、体积较小的，摆长大约1 m左右，通过累积法求出单摆的周期，取全振动次数为30～50次，同时最大摆角不能超过5°。所以选择第2组实验数据最合理。
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
(2)用游标卡尺测小球的直径如图甲所示，其值为______ cm；
1
2
3
4
5
1.18
(3)该同学查资料得知，单摆在最大摆角θ较
大时，周期公式近似为T＝
为了用图像法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图乙所示的图线。
1
2
3
4
5
设图线延长后与横轴交点的坐标为b，则重力加速度的测量值g＝____(用l、b表示)。
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2
3
4
5
根据单摆周期T和最大摆角θ的关系图，
该图线延长后与横轴交点的坐标为b，
5.(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
1
2
3
4
5
0.006
20.035
20.029
题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm
1
2
3
4
5
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角_____5°(填“大于”或“小于”)。
1
2
3
4
5
大于
若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
1
2
3
4
5
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为_____ s，该小组测得的重力加速度大小为_____ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
1
2
3
4
5
82.5
1.82
9.83
摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，
1
2
3
4
55 实验：用单摆测量重力加速度
[学习目标] 1.理解用单摆测量重力加速度的原理，会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。2.掌握用图像处理实验数据的方法，会进行误差分析(重难点)。
一、实验思路
在摆角较小(小于5°)时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可得g＝________________。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
二、实验装置
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺等。
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的金属小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图。
2．测摆长：用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝________________。
3．测周期：把单摆拉开一个角度，角度小于5°，静止释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1 g＝
2
3
2.图像法：由T＝2π得T2＝____________，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2．偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2．单摆摆线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过5°。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
例1 (2023·徐州市高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝
例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，取π2＝9.87。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为____________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆全振动50次所用的时间如图乙所示为______ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2；
(2)某同学通过改变几次摆长l，测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，如图丙所示。
①理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，造成图线不过坐标原点的原因可能是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
②由图像求出的重力加速度g＝______ m/s2。
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
拓展 实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计算摆球的半径，具体做法如下：第一次用的悬线长为L1，测得的振动周期为T1；第二次用的悬线长为L2，测得的振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝_____________。
例3 (2023·湖北省高二期末)在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为______ cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为________ cm；
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g＝________。
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲____________，乙________。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)5 实验：用单摆测量重力加速度
(分值：50分)
1题6分，2题12分，3题8分，4题10分，5题14分，共50分
1．(6分)(2023·宜春市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中。
(1)(2分)下列操作正确的是__________。
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)(2分)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是__________。
(3)(2分)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将__________。(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
2．(12分)(2023·遵义市高二期中)在做用单摆测量重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________ m。若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是__________ s，单摆摆动周期是__________ s。
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图丙所示。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝__________ m/s2。(结果取2位有效数字)
3．(8分)(2023·大庆市高二月考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)(2分)某实验小组在测量单摆的周期时，摆球在竖直平面内稳定摆动后，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次通过平衡位置时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝__________(用t、n表示)。
(2)(4分)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，由此得到的T2－L图像是图乙中的__________(选填“①”“②”或“③”)。然后用图像的斜率k来计算重力加速度。这样算出来的g值会__________(填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
(3)(2分)实验中小红同学测重力加速度时，没有用图像处理，直接利用单摆周期公式计算，她算得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是__________。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．开始计时，秒表过早按下
D．把小球直径当作半径来计算摆长
4．(10分)(2023·泰安市高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)(3分)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下。若要计算当地的重力加速度值，第________组实验数据最合理；
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
(2)(3分)用游标卡尺测小球的直径如图甲所示，其值为________ cm；
(3)(4分)该同学查资料得知，单摆在最大摆角θ较大时，周期公式近似为T＝2π(1＋sin2)。为了用图像法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图乙所示的图线。
设图线延长后与横轴交点的坐标为b，则重力加速度的测量值g＝____________(用l、b表示)。
5．(14分)(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)(6分)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)(2分)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)(6分)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
1．(1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角不超过5°时，才可以认为摆球的运动是简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)根据T＝2π，得T2＝，可知T2与L成正比，所以D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝可知，测得的重力加速度偏大。
2. 0.875 0 75.2 1.88
见解析图 9.9
解析 由单摆的周期公式T＝2π，可知g＝，如题图甲所示，则单摆摆长为l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m
据停表的读数规则，题图乙内圈示数为60 s；题图乙外圈示数为15.2 s，所以停表的示数为t＝75.2 s，单摆摆动周期是T＝＝ s＝1.88 s。把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如图所示，则直线斜率k＝＝＝4 s2/m，重力加速度g＝＝，解得g≈9.9 m/s2。
3．(1) (2)③ 无影响 (3)BD
解析 (1)摆球通过平衡位置时从1开始计数，则第n次通过平衡位置时，小球实际全振动次数为，而整个过程所用时间为t，则可知该单摆的周期为T＝＝；
(2)由单摆周期公式T＝2π，可得T2＝·L，而小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，则有T2＝(L＋r)，由此得到的T2L图像不过原点，且与纵轴上方有交点，相当于将标准图像向左平移，因此得到的应该是③这条图线；而由T2＝·L可知，即使摆长取错，但用图像的斜率k来计算重力加速度，得到的重力加速度仍然是准确的，并无影响；
(3)摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际测量值偏小，由公式g＝·L可知，计算得到的重力加速度偏小，故A不符合题意；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，则测得的周期偏小，由重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，故B符合题意；开始计时，秒表过早按下，则测得的周期偏大，可知重力加速度的测量值将会偏小，故C不符合题意；把小球直径当作半径来计算摆长，则测量摆长大于实际摆长，因此会造成重力加速度的测量值大于实际值，故D符合题意。
4．(1)2 (2)1.18 (3)
解析 (1)为了减小误差，摆球选择质量较大、体积较小的，摆长大约1 m左右，通过累积法求出单摆的周期，取全振动次数为30～50次，同时最大摆角不能超过5°。所以选择第2组实验数据最合理。
(2)用游标卡尺测小球的直径，题图甲读数为11 mm＋8× mm＝11.8 mm＝1.18 cm
(3)单摆在最大摆角θ较大时周期公式近似为T＝2π(1＋sin2)，则sin2＝T－4
根据单摆周期T和最大摆角θ的关系图，该图线延长后与横轴交点的坐标为b，即0＝b－4
解得g＝。
5．(1)0.006 20.035 20.029
(2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)读数为
0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，
则T＝ s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π，
可得g＝≈9.83 m/s2。
