1.2.1等差数列的概念及其通项公式——2023-2024学年高二数学北师大版2019选择性必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．已知数列为等差数列,且,则的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2．设是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
3．已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则的值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
4．在等差数列中,若,则公差( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．在等差数列中，已知，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6．已知等差数列中,,则的值是( )
A.6 B.9 C.12 D.15
7．已知,,则a,b的等差中项为( )
A.6 B.5 C.7 D.8
8．已知数列为等差数列,,,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
二、多项选择题
9．已知等差数列的公差,前n项和为,若,则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
10．如图,在每个空格中填入一个数字,使每一行方格中的数成等比数列,每一列方格中的数成等差数列,则( )
A. B. C. D.
11．在等差数列中,,,,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．在等差数列中，，则的前19项和_________.
13．已知为等差数列,,则的值为________.
14．在等差数列中，，则_________.
四、解答题
15．已知数列：,,…,.如果数列：,,满足,,其中,3,···,n则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：,,,的“衍生数列”是：5,-2,7,2,求;
(2)若n为偶数,且的“衍生数列”是,证明：的“衍生数列”是;
(3)若n为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,…依次将数列,,,…第（,2,···,n）项取出,构成数列：,,….求证：是等差数列.
16．已知数列满足，.
（1）数列是否为等差数列？请说明理由.
（2）求.
17．记为数列的前n项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
18．数列满足,,
(1)设,证明是等差数列;
(2)求的通项公式．
19．已知数列，，.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足：.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为数列为等差数列,又,
所以,则,所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：A.（误）
B.（误）
C.应用一般不等式有：,
又故不存在使原式取等情况,正确
D.与后式或无关且、只可能同时大于或小于（误）
3．答案：A
解析：,,.
4．答案：B
解析：在等差数列中,因为,所以,求得.
故选：B.
5．答案：B
解析：由，得，即，则.
6．答案：C
解析：设公差为d,
则.
故选：C.
7．答案：A
解析：设a,b的等差中项为m,
所以,
因为,,所以,
故选：A.
8．答案：C
解析：由,故,由,故,
又,即有,故
故选：C.
9．答案：BCD
解析：A.由已知,得.若,则,不满足,故A错;
B.由,故B正确;
C.当时,且,则,,所以,故C正确;
D.当时,且,则,,所以,所以,则,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：由题意得,则.
由,得,由,得,由,,得,.
因为,所以,.
11．答案：BC
解析：设等差数列的公差为d,则,,则,
,故,解得.
故选:BC.
12．答案：76
解析：设的公差为d，则，即.
故.
故答案为：76.
13．答案：180
解析：法一根据等差数列通项公式得:
,
,
,
故答案为:.
法二,
由等差数列的性质知:,
,,
,
故答案为:180.
14．答案：14
解析：在等差数列中，，则.
15．答案：(1)2,1,4,5
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）由题意知,,
,,
解得,,,.
所以,1,4,5;
（2）由,得,
所以,,
由于n为偶数,将上式n个等式中的第2,4,6,···,n,这个式子都乘以-1,
相加得,
即,所以,
又,,
根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”;
（3）设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列成等差数列,只需证明,,成等差数列,
即只要证明即可.
由（2）知,
,
所以,即,,成等差数列,
所以成等差数列.
16、
（1）答案：数列是等差数列，理由见解析
解析：（1）数列是等差数列.理由如下：
因为，，所以，
所以，
所以是首项为，公差的等差数列.
（2）答案：
解析：由（1）可知，，所以.
17．答案：证明见解析
解析：数列是等差数列，设公差为
，
，
当时，
当时，，满足，
的通项公式为，
是等差数列.
18．答案：(1)是首项为1,公差为2的等差数列
(2)
解析：(1)由得,
,由得,,
即,又,所以是首项为1,公差为2的等差数列．
(2)由(1)得,,
由得,,
则,,,…,,
所以,…,
又,所以的通项公式
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）由题意可知，，将两边同时取倒数可得，
，即，又，
所以，数列是以为首项，公差的等差数列，
即，得，
所以数列通项公式为
（2）（ⅰ）由可知，
，
所以
两式相减得
当时，，所以；
（ⅱ），所以.
