第1章《 勾股定理》（单元基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，25
2．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）
A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm
4．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ）
A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm
5．如图，直线上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．55 B．16 C．6 D．4e
6．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2
8．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
9．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
10．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11． Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为______．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3＝_____．
13．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2．
14．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和是______．
16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
17．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y 分别表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：
①；②；③．其中正确的是___．（写出所有正确结论的序号）
18．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．
(1) 求BC的长；
(2) 在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．（8分）观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；、、．根据你发现的规律，回答下列问题：
(1) 时，求、的值；
(2) 时，求、的值．
21．（10分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1) 用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2) 假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
22．（10分）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
23．（10分）有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1) 海港C会受台风影响吗？为什么？
(2) 若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
24．（12分）在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】
满足的三个正整数，称为勾股数，据此依次判断即可．
解：A．，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．，∴不是勾股数，不符合题意；
D．，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】
根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
3．D
【分析】
根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵长方形折叠点B与点D重合，
∴BE＝ED，
设AE＝x，则ED＝BE＝9﹣x，
在Rt△ABE中，，
即，
解得x＝4，
∴AE的长是4cm，
∴BE＝9﹣4＝5（cm），
故选：D．
4．B
【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，
则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．
∵圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，
∴AB2=142+482=196+2304=2500，
∴AB=50（cm）．
故选B．
5．B
【分析】
运用正方形边长相等，根据“AAS”证明△ACB≌△DCE，结合全等三角形和勾股定理即可得出答案．
解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故B正确．
故选：B．
6．C
【分析】
根据正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4S△ABE=9，求9的算术平方根即可得到结论．
解：如图，
∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，
∴正方形EFGH的边长＝3，
故小正方形的边长为3，
故选：C．
7．C
【分析】
首先设芦苇长x尺，则水深为（x 1）尺，根据勾股定理可得方程（x 1）2＋52＝x2．
解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x 1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
8．D
【分析】
依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．
解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，
依题意，由勾股定理，得：，
解得，
所以芦苇的长度为13尺．
故选D．
9．B
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
10．B
【分析】
设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
解：由题意，设，则，
，
，
、两社区到站的距离相等，
，
，即，
解得，
即，
故选：B．
二、填空题
11．18
【分析】
先由勾股定理求得a2+b2=c2=9，然后求得a2+b2+c2的值．
解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=22=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18，
故答案为：18．
12．17
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
解：∵∠ACB=90°，S1=5，S2=12，
∴AC2=5，BC2=12，
∴AB2=AC2+BC2=5+12=17，
∴S3=17，
故答案为：17．
13．24
【分析】
由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为即可得出结果．
解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），
故答案为：24．
14．m2+1
【分析】
2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
15．49
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，
则AC2+BC2=49．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49．
故答案为：49．
16．
【分析】
设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
17．①②③
【分析】
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故①正确；
由图可知，，即为小正方形的边长，
∵正方形EFGH的面积为1
∴EF=1，
∴x y=1，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
即，
∴，故③正确．
∴正确结论有①②③．
故答案为：①②③．
18．8
【分析】
先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
三、解答题
19．
(1)解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
(2)解：如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得．
20．
解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即
∵，，
∴，
∴，
∴．
(2)通过观察知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
21．
(1)解：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
(2)如图所示，可以证明a2+b2＝c2．
验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
22．
解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
23．
(1)解：海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD==240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响；
(2)解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED==70（km），
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7（小时），
即台风影响该海港持续的时间为7 h．
24．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
