深圳实验学校高中园高二数学第一次培优考试
满分 150分 时间 120分钟 命题人：魏兆民 审题人：万明
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量 BA与向量 AB的长度相等
2．已知A ， B，C三点不共线，O是平面 ABC外任意一点，若由
1 2 OP OA OB OC R 确定的一点 P与A ， B，C三点共面，则 的值为（ ）
5 3
2 1 3 2
A． B． C． D．
15 3 5 5
3．在空间四边形PABC中， PB AB CA （ ）
A． AP B． PC C． AB D． AC
a b c 4．已知空间单位向量a，b， c两两垂直，则 （ ）
A． 6 B． 3 C．3 D．6
5．如图，在平行六面体 ABCD A B C D 中，点 E，F分别为 AB，DD 的中点，则 EF （ ）
1 1 1 1 1
A． AB AA AD B． AB AA AD
2 2 2 2 2
1 1
C． AB AA AD
1 AB 1 AA 1 D． AD
2 2 2 2 2
6．如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，G为棱 AD的中点，若BA a，BC=b，BD c，则CG
（ ）
3 a 1 b 1 c 1
a b 1
c 3
a 1
1 1 1
A． B． C． b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
试卷第 1页，共 4页
π
7．已知空间向量a，b的夹角为 ，且 a 2， b 1，则3 a 2b
与b的夹角是（ ）
π 5π π 3π
A． B． C． D．
6 6 4 4
8．如图，已知二面角 l 的大小为60o， A ， B ，C,D l， AC l, BD l且
AC BD 3，CD 5，则 AB （ ）
A． 34 B．6 C． 2 13 D．7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A ．若 a b 0，则向量 a，b的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
1 1 OP OA OB 2
C．若对空间中任意一点 O，有 OC，则 P，A，B，C四点共面
12 4 3
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10．如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，则下列计
算结果正确的是（ ）
A． EF BA
1
B． EF BD
1
C． EF DC
1
D． AB CD 1
4 2 4 2
11．在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，E,F分别为 BC, AD的中点，则下列命题正确的是（ ）
1 A. EF AB AC AD B 2． EF 2 2
2
C． BC 平面 AEF D． AE和CF夹角的正弦值为
3
试卷第 2页，共 4页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
b 3 12．已知 ， a在 b 方向上的投影向量为 1 ，则a b ．b
2
13 ．已知向量 a， b， c是空间向量的一组基底， AB 2a b， AC a c， AD b c，
若 A，B，C，D四点共面．则实数 的值为 ．
14．已知三棱锥 P ABC ，点G满足：GP GA GB GC 0，过点G作平面，与直线 PA，
PB， PC分别相交于D,E,F三点，且 PD xPA， PE yPB， PF zPC，则
1 1 1
x y z .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.（其中 15题 13分，16，17题为 15分，
18，19题为 17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）已知 a 2， b 3，且 a b，求 a b 2a b 的值；
（2）已知 a,b都是空间向量，且 a b a b ，求 a b．
16．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 a，CD1 和DC1相交于点O．
(1)求CD1 CD；
(2)判断 AO与CD1 是否垂直．
17．已知 a, b, c是空间中的三个单位向量, 且 a b , a ,c b ,c 60 ，若
OM 2a b c，OA a b c, OB a 2b c .
(1)求 MB ;
(2)求MB和OA夹角的余弦值.
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18 a
．已知 ， b， c 是空间中不共面的向量，若 AB 2a b c ， AC a 2b c ，
AD a mb nc .
(1)若 B,C ,D三点共线，求m,n的值；
(2)若 A,B,C,D四点共面，求mn的最大值．
19．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为 2，且两
两夹角为60 ．求：
(1) BD1的长；
(2) BD1 与 AC夹角的余弦值．
试卷第 4页，共 4页
参考答案：
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D
BA a BC b BD c ， ， ，则
CG CB BD DG b c 1 DA 1 b c ( DB BA) b c 1( c 1 1 a) a b c．
2 2 2 2 2
故选：A．
π 2
7．A【详解】由 a，b的夹角为 ，且 a 2，b 1得 (a 2b) b a b 2b 2 1
1
2 3 ，
3 2
a 2b a 2 4b 2 4a
1
b 4 4 4 2 1 2 3 ，
2
a
2b b 3 3
设 a 2b与b的夹角为 ，则 cos
a
，
2b b 2 3 2
π
由于 0, π ，故 故选：A
6
8．A【详解】因为二面角 l 的大小为60 ，A ，B ，C,D l，AC l ，BD l，
所以 AC与DB的夹角为120 ，又因为 AB AC CD DB，
2 2 2 2 2
所以 AB AC CD DB AC CD BD 2AC CD 2CD DB 2DB AC
9 25 9 0 0 2 3 3 1 34，
2
所以 AB 34 ，即 AB 34 ．故选：A．
π
9．BC【详解】对 A，若 a b 0 ，则 a,b 0,
，则向量 a，b的夹角可以为 0 不是锐角,
2
故 A 错误；
对 B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定
共面，故 B 正确.
1
对 C，因为OP OA
1
OB 2 OC 1 1 2，且 1，所以 P,B, A,C四点共面,故 C 正确.
12 4 3 12 4 3
对 D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的
平行线可以共面，故 D 错误.
故选：BC.
1
10．ABC【详解】因为 E，F分别是 AB，AD的中点，所以 EF BD，
2
1 1
所以 EF BA BD BA BD BA cos BD,BA
1
cos 60 1 ，A 正确；
2 2 2 4
1 1 2EF BD BD BD BD 1 ，B 正确；
2 2 2
EF DC 1 BD DC 1 BD DC cos BD DC 1 cos120 1 ，C 正确；
2 2 2 4
答案第 1页，共 4页
AB CD AB (AD AC) AB AD AB AC AB AD cos AB, AD AB AC cos AB, AC
cos 60 cos 60 0，D 错误．
故选：ABC.
11．BC【详解】由正四面体 ABCD各个侧面都是等边三角形，
连接DE，G为其中点，连接 FG，又 E,F分别为 BC, AD的中点，
1 1 1 1 1 EF EA AF EB BA AD CB AB AD (CA AB) AB AD
2 2 2 2 2
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1
AB AC AD (AB AC AD) ，A 错；
2 2 2 2
易知 AE DE 3 ,EF AD EF AE 2 AF 2 2 ，则 ，B 对；
2 2
由 AE BC,DE BC, AE DE E, AE,DE 面 ADE，则 BC 面 ADE ，
即 BC 平面 AEF，C 对；
连接CG，显然 FG / /AE，则 AE和CF夹角，即为 GFC或其补角，
GE 3 ,CE 1 2又 ，可得CG GE 2 CE 2
7
，
4 2 16
3 3 7
GF 2 CF 2 CG 2
GCF CF 3 ,FG 3 cos GFC 16 4 16
2
中， ，有
2 4 2GF CF
，
2 3 3
3
2 4
所以 sin GFC 5 ，D 错.
3
故选：BC
9
12． / 4.5
2
13． 2【详解】由于 A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对 x, y，使得 AD xAB yAC ,
即b c x 2a b y a c 2x y a xb yc，
2x y 0
所以 1 x 2 ，故答案为： 2
y
答案第 2页，共 4页
14． 4 【详解】由GP GA GB GC 0可得GP GP PA
GP PB GP PC 0，
即可得 4GP PA PB PC 0，所以 4PG PA PB PC，
1 1 1
又 PD xPA， PE yPB，PF zPC，所以 PA PD ,PB PE ,PC PFx y z ，
1 1 1
即 4PG PA PB PC PD PE PFx y z ，
又G,D,E,F
1 1 1
四点共面，由空间向量共面定理可得 4x y z .故答案为： 4
15．（1）-1；（2）0
【分析】（1）根据题意可得 a b 0 ，再利用平面向量数量积的运算性质即可求解.
（2）将 a b a b 两边平方，即可得到答案.
2 r 2
【详解】（1）∵ a 2， b 3，且 a b，∴ a 4， b 9，a b 0，
∴ r r r ra b 2a b r 2 r r r 2 2 a a b b 2 4 9 1 .
（2 a b a b 2 2 2 2）由 两边同时平方，可得 a b 2a b a b 2a b
即 2a b 2a b，所以a b 0
16．(1)a2
(2)垂直
（2）计算 AO与CD1 的数量积，根据结果可得答案.
【详解】（1）正方体 ABCD A1B1C1D1中， CD1 2a , CD a, CD1 ,CD
π
，
4
故CD1 CD 2a a cos
π
a2 .
4
（2）由题意， AB AD 0, AB AA1 0, AA1 AD 0 ，
AO CD1 AD DO CC1 CD AD 1 DC DD 1 CC1 CD 2
1 1 2 1 2 AD AB AA1 AA1 AB AA1 AB 0 ，故 AO与CD 垂直. 2 2 2 1
17 ．【详解】（1）由已知可得MB OB OM a b 2c，
2 MB a
所以 b 2c 6 2a b 4a c 4c b 6；
2
（2）由OA a b c OA a b c 3 2a b 2a c 2c b 5 ，
所以MB和OA夹角的余弦值为
2 2 2
cosMB,OA M B O A a b 2c a c 3c b 4 2 30
MB OA 6 5 30 15 .
18．【详解】（1）因为B,C,D三点共线，则 BD BC，
答案第 3页，共 4页
又BC AC AB a 3b 2c， BD AD AB 3a
(m 1)b (n 1)c ，
3 ,
m 8,
有 m 1 3 ,
}解得
n 5.
；
n 1 2 .
（2）因为 A,B,C,D四点共面，则 AD xAB yAC，
则 a mb nc x(2a b c) y(a 2b c) ，
1 2x y,
有 m x 2y , 解得3m 5n 1，
n x y.
1 3m 3 1 3 1
2
1
所以mn m m
2 m m ，
5 5 3 5 6 60
1
当m 时，mn 1取到最大值 .
6 60
r r r
19．【详解】（1）设 AB=a， AD b， AA1 c，由题意知： a b c 2，
a,b b,c c,a 60 ，
r r r r r r
∴ a b b c c a 2 2 cos 60 2 ，
又∵ BD1 BA AA1 A1D1 a c b，
2 2 2 2 2 ∴ BD1 b c a b c a 2b c 2b a 2c a 4 4 4 4 4 4 8，
∴ BD1 2 2 ，即 BD1 的长为 2 2 ，
（2）∵ AC AB AD a b，
2 2 2 2∴ AC a b a 2a b b 4 2 2 4 12，
∴ AC 2 3 ，
2 2 BD1 AC b c a a b a b a c a b b c a b 4，
∴ cos BD1, AC
B D 1 A C 4 6
BD AC 2 2 2 3 6 ，1
即 BD1 与 AC
6
夹角的余弦值为 ．
6
答案第 4页，共 4页
