2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）入学数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若函数的最小正周期不小于，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，右顶点为，则( )
A. B. C. D.
5.若两个等比数列，的公比相等，且，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.若随机变量服从正态分布，则为了解使用新技术后的某果园的亩收入单位：万元情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差已知该果园使用新技术前的亩收入单位：万元服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入服从正态分布，则( )
A. B.
C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线：与曲线有两个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某部门名员工一年中请假天数未请假则请假天数为与对应人数的柱形图图中只有请假天数为的未显示如图所示，则( )
A. 该部门一年中请假天数为的人数为
B. 该部门一年中请假天数大于的人数为
C. 这名员工一年中请假天数的第百分位数为
D. 这名员工一年中请假天数的平均数小于
10.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B. 在其定义域内为增函数
C. 曲线的切线的斜率的最大值为
D. 曲线上任意一点与，两点连线的斜率之和为定值
11.若，为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度已知圆锥的底面直径与线长度分别为，，正四棱台的线长度为，且，，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 与底面所成角的正切值为
C. 圆锥内切球的线长度为
D. 正四棱台外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ______．
13.曲线：的周长为______．
14.如图，现有两排座位，第一排个座位，第二排个座位，将人含甲、乙、丙随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙人的座位互不相邻相邻包括左右相邻和前后相邻的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是抛物线：上的两点．
求的准线方程；
若直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，为的中点．
证明：平面D.
若，，，求二面角的余弦值．
17.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，且．
若，，为的中点，求的长；
若，，，求的值．
18.本小题分
在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器提出的问题是选择题，有个选项，且只有个是正确选项，机器和人分别从这个选项中选择个进行作答当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题重复提问，若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．
求位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．
19.本小题分
已知二阶行列式，三阶行列式，其中，，分别为，，的余子式某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式．
计算．
设函数．
若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于，求；
若，且，函数，证明：．
参考答案
1.
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14.
15.解：由，是抛物线：上的两点，
可得，，
解得，，或，舍去，
可得抛物线的方程为，准线方程为；
抛物线的焦点为，由直线经过的焦点，可得，
联立，可得，
设，两点的横坐标分别为，，可得，
由抛物线的定义可得，
当且仅当时，取得最小值．
16.解：证明：如图，设，连接，
则易知，又平面，平面，
平面；
取中点，连接，，则易知，，两两相互垂直，故建系如图：
又，，，，
则根据题意可得，，，，
，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，，
取，，
又由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．
17.解：因为，，
所以，所以，
因为为的中点，所以，
则，
即，
则；
因为，，
所以，则，
则，即，
得，又，所以，
因为，所以，
所以，则，为锐角，
所以，
所以，
整理得，解得或，
又，所以．
18.解：不妨设提出的问题的个选项依次为，，，且设正确选项为，人作答时能排除的选项为，记为人第一次答题时选择的是第个选项，为机器第一次答题时选择的是第个选项，
记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项．
所以人测试中不需要重复提问的概率为．
当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：
若第一次答题时人和机器都选择，则当重复提问时，人选择，机器选择或，且测试者随机判断机器为人，
则；
若第一次答题时人和机器都选择，则当重复提问时，机器和人都选择且测试者随机判断机器为人，或人选择且机器选择，或人选择，机器选择且测试者随机判断机器为人，
则；
若第一次答题时人选择，机器选择，则当重复提问时，人和机器都选择且测试者随机判断机器为人，或人选择，机器选择，或人选择，机器选择且测试者随机判断机器为人，
则，
，所以．
19.解：
．
函数，
．
．
当或时，；当时，．
在和上是增函数，在上是减函数，
的极大值点为，极小值点为．
的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于，
，
则公差，所以，
．
证明：，且，函数，
，，，
在上无零点，在上存在唯一零点，且．
令，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，
而，．
令，则．
在上单调递诚，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
，
而，．
综上，．
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