湖南省长沙市百强校2025届高三上学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为分，分以上含分为及格．阅卷结果显示，全年级名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数难度系数平均分满分为，标准差为，则该次数学考试及格的人数约为( )附：若，记，则，．
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. ， C. D.
8.已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，点是平面的中心，则下列结论正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 平面
C. 平面平面
D. 正方体被平面截得的截面是等腰梯形
10.已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有个交点，则
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 ．
14.已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，已知．
求角；
若角的平分线交于点，，，求的长．
16.本小题分
已知为函数的极值点．
求的值；
设函数，若对，，使得，求的取值范围．
17.本小题分
已知四棱锥中，平面底面，，，，，为的中点，为棱上异于，的点．
证明：；
试确定点的位置，使与平面所成角的余弦值为．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到准线的距离等于椭圆：的短轴长，点在抛物线上，圆：其中．
若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；
设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，证明：直线经过定点．
19.本小题分
某景区为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下表是该景区在购票平台天销售优惠券情况．
日期
销售量千张
经计算可得：，，．
由于同时在线人数过多，购票平台在第天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第天数据，求关于的回归方程精确到，并估计第天的正常销量；
假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中套餐包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求；
记中所得概率的值构成数列
求数列的最值；
数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，是一个确定的实数，则称数列收敛于根据数列收敛的定义证明数列收敛．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：由，
根据正弦定理可得，
则，
所以，整理得，
因为均为三角形内角，所以，，
因此，所以角；
因为是角的平分线，，，
所以在和中，由正弦定理可得，，，
因此，即，所以，
又由余弦定理可得，即，
解得，所以，
又，
即，
即，所以．
16.解：，，
由，得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，
所以；
由知，
函数的导函数，
若，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
对，，
使得，即，符合题意
若，，取，对，有，不符题意
若时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
若对，，使得，
只需，即，解得
综上所述，的取值范围为，
17.解：如图，连接，，交于点．
因为为的中点，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
直角三角形中，，直角三角形中，，
且，，
所以≌，
所以，所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
如图，取的中点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
则，，，，
设，，
所以，
所以，，，即．
则，，，
设平面的法向量为，则
，即，取，
设与平面所成的角为，
由，得．
所以
，
整理得，
因为，所以，即，
故当位于棱靠近的三等分点时，与平面所成角的余弦值为．
18.解：由题意得椭圆的方程：，所以．
所以，所以抛物线的方程是．
设点，则
，
所以当时，线段长度取最小值．
是抛物线上位于第一象限的点，
，且，；
设，，
则直线：，
即，即，
直线：，即，
由直线与圆相切得，
即，
同理，由直线与圆相切得，
所以，是方程的两个解，
，，
代入方程得，
，解得．
直线恒过定点．
19.解：剔除第天数据后的，，，，
所以，
故，
所以，
当时，，
即估计第天的正常销量约为千张；
由题意可知，其中，，
则，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故成立，
则有
，
故，，
又因为，满足上式，
所以 ．
当为偶数时，单调递减，最大值为，
当为奇数时，单调递增，最小值为，
综上，数列的最大值为，最小值为；
证明：对任意总存在正整数，其中表示取整函数，
当时，．
所以数列收敛．
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