2024-2025学年北京理工大学附中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，值域为且区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则它的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数满足，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是( )
A. B.
C. D.
9.某厂以千克小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求，每小时可获得利润元，要使生产千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是( )
A. 千克小时 B. 千克小时 C. 千克小时 D. 千克小时
10.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.已知关于的不等式的解集为，则的值______．
13.已知函数，则______；的最小值为______．
14.已知函数，若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围______．
15.已知函数，有如下四个结论：
函数在其定义域内单调递减；函数的值域为；
函数的图象是中心对称图形；方程有且只有一个实根．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列的公差为，且，，成等比数列．
求的通项公式及前项和；
求数列前项和．
17.本小题分
己知二次函数的最小值为，且．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若在区间上不单调，求实数的取值范围；
Ⅲ在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
18.本小题分
近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排遥遥计划在，，，，，这个国产新能源品牌或在，，，这个国产燃油汽车品牌中选择购车预计购买新能源汽车比燃油车多花费元据测算，每行驶公里，燃油汽车约花费元，新能源汽车约消耗电千瓦时如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准精确到元千瓦时如表：
充电时间段 充电价格元千瓦时 充电服务费元千瓦时
峰时 ：：和：：
平时 ：：，：：和：：
谷时 当日：次日：
若遥遥在个新能源汽车品牌中选出个品牌作比较，求品牌被选中的概率；
若遥遥选购新能源汽车，他在：，：，：，：，，：这个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电千瓦时用时不超过半小时设为遥遥每次充电的费用，求的分布列和数学期望；
假设遥遥一年驾车约行驶公里，按新车使用年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求的零点个数．
在区间上有两个零点，求的范围？
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数的极小值为，求的值；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若对任意的，成立，求实数的最小值
21.本小题分
对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有
；
对于，记．
对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数．
Ⅰ设数列的通项公式为，计算，并判断是否为数列的阶系数；
Ⅱ设数列的通项公式为，且数列的阶系数为，求的值；
Ⅲ设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，且，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.
16.解：等差数列的公差为，且，，成等比数列，
可得，即为，
解得，则，
；
数列前项和．
17.解：Ⅰ根据题意，二次函数满足，则的对称轴为，
又由其最小值为，则设，
又由，则有，解可得，
则；
Ⅱ由Ⅰ的结论，，
若在区间上不单调，则有，
解可得：，
即的取值范围为；
Ⅲ根据题意，由Ⅰ的结论，，
若在区间上，的图象恒在的图象上方，
则有在区间上恒成立，
则在区间上恒成立，
设，其对称轴为，则在上递减，
其最小值为，则有，
即的取值范围为．
18.解：若遥遥在个新能源汽车品牌中选出个品牌，共有中，
若品牌被选中，则有种选择，
从而所求概率为；
在峰时充电，每次充电千瓦时需要花费，
在平时充电，每次充电千瓦时需要花费，
在谷时充电，每次充电千瓦时需要花费，
所以的所有可能取值为，，，
在：，：，：，：，，：这个时间点中随机选择一个时间点中：
峰时充电有：：，：，：，：，：，：，共六个时间点，
平时充电有：：，：，：，：，共四个时间点，
谷时充电有：：，：，共两个时间点，
所以，，，
所以的分布列为：
则；
设燃油车购车成本为万元，则新能源汽车购车成本为万元，
燃油车能源消耗支出为，
设为在某个时间段充电千瓦时的费用，
在峰时充电，每次充电千瓦时需要花费，
在平时充电，每次充电千瓦时需要花费，
在谷时充电，每次充电千瓦时需要花费，
则的所有可能取值为，，，
且，，，
所以，
所以新能源汽车能源消耗支出为万元，
如果只考虑购车成本与能源消耗支出，
则燃油汽车的总花费为，
新能源汽车的总花费为，
综上所述，选择新能源汽车的总花费最少．
19.解：由题可得：，
令，解得：或，
令，解得：；
令，解得：或；
所以的单调减区间为：；单调增区间为：，
因为的单调减区间为：；单调增区间为：，，
由于，则在上无零点；
由于，则在上无零点；
由于，则在上存在唯一零点；
综上，函数在上存在唯一零点．
若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；
由知，在上单调递增，上单调递减；
，，，
所以函数与在区间上有两个交点，则，
即在区间上有两个零点，则的范围为
20.解：Ⅰ时，函数，；所以，
，且，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ因为，；所以，
令，得，由知，时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以得时，函数取得极小值为，解得；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，，，，
当时，取，得，不满足；
当时，设，
则，令，得或，
当时，，在上恒成立，在上单调递减，所以；
所以对任意的，成立；
当时，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减；
所以存在，使得，即，不符合题意；
综上，当时，对任意，成立，所以的最小值为．
21.解：因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且．
得．
数列通项公式为，所以当时，．
所以是数列的阶系数．
因为数列的阶系数为，所以当时，存在，使成立．
设等差数列的前项和为，则．
令，则．
所以，
设等差数列的前项和为，，
则．
令，则．
所以，
当时，，
当时，，
则，解得．
设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，，
则存在，使成立．
设数列的公差为，构造函数．
由已知得 ．
所以，函数至少有三个零点，，．
由函数的图象与性质，可知为偶数，且满足，
得
所以，解得．
构造等差数列为：，，，，．
可知当时命题成立，即的最大值为．
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