东北三省精准教学2025届高三上学期9月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是函数图象上的一点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是( )
A. B. 是奇函数
C. 是上的增函数 D.
8.已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
10.现统计具有线性相关关系的变量，，的组数据，如下表所示：
变量 平均数 方差
并对它们进行相关性分析，得到，与的相关系数是，，与的相关系数是，则下列判断正确的是( )
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数．
A. B. C. D.
11.如图，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面为，且，．是，的交点，是平面内的动点图中未画出则下列说法正确的是( )
A. 若，则动点的轨迹长度为
B. 若，则动点的轨迹是一条直线
C. 若，则动点的轨迹是一条直线
D. 若动点到直线的距离为，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数 ．
13.已知双曲线，点的坐标为，其中，存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且点为弦的中点，则点的坐标是 写出一个符合条件的答案即可
14.已知且时，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调递减区间；
若是函数的极小值点，求实数的取值范围．
16.本小题分
某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了名车主，并得到如下的列联表：
觉得交通拥堵 觉得交通不拥堵 合计
燃油车车主
新能源车车主
合计
将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取名，记“抽取到燃油车车主”为事件，“抽取到新能源车车主”为事件，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件，“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件，计算，，比较它们的大小，并说明其意义；
是否有的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与中结论进行比较，并作出解释．
附表及公式：
，．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，侧面侧面，侧面是矩形，侧面是菱形，，，点是棱的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知直线经过椭圆的右焦点且被椭圆截得的弦长为．
求椭圆的方程；
若过点的动直线与椭圆相交于，两点，且直线上的点满足，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
19.本小题分
二进制是在数学和数字电路中以为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号，来表示数如果十进制中的整数，则这个数在二进制下记为，即记十进制下的整数在二进制表示下的各位数字之和为，即．
计算；
证明：；
求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或，
14.
15.【小问详解】
当时，，
，
由解得，
所以函数的单调递减区间为．
【小问详解】
，时，或
若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极小值；
若，
当或时，，
因此不是函数的极值点；
若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极大值
综上，的取值范围是．
16.【小问详解】
由题意得
，
，
，
说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高
【小问详解】
，
因此没有的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关，
说明调查人数太少，中的结论不具有说服力，需要调查更多车主．
17.【小问详解】
证明：因为侧面是矩形，所以，
又因为侧面侧面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以
菱形中，，所以是等边三角形，
又是的中点，所以，得，
又，，平面，
所以平面．
【小问详解】
解：由，如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，
因此，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
．
所以二面角的余弦值为．
18.【小问详解】
由题意得，
将代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为，
所以，因此，
解得或舍去，，
即椭圆方程为．
【小问详解】
当直线的斜率为时，直线的方程为，此时；
当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，
代入椭圆方程，得到，
由，得到或，因此，点不在直线上，
设点，，
则，，
则，
因为，所以，
所以直线的方程为，
令，得到，
所以，
综上，直线过定点．
19.【小问详解】
因为，所以
【小问详解】
设，
即，
则，
所以．
【小问详解】
因为，
所以，
因此数列的前项和为．
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