河北省邢台市邢襄联盟2025届高三上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.某地区为研究居民用电量单位：度与气温单位：之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据：
气温
用电量度
由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得极小值，则( )
A. B. C. D. 或
8.有名男生名女生和个不同的道具记作和参与一个活动，活动要求：所有人男生和女生必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列假设女生的身高各不相同；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人可以是男生，也可以是女生，但这两人不能站在一起满足上述所有条件的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则( )
A. 圆柱和圆锥的体积之比为 B. 圆柱的底面半径和高之比为
C. 圆锥的母线和高之比为 D. 圆柱和圆锥的表面积之比为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点
11.已知，，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.已知实数满足，则的最大值为 ．
14.在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为，则四棱锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值；
若函数无零点，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某工厂生产的产品分为一等品二等品和三等品已知该工厂生产一等品的概率为，生产二等品的概率为，生产三等品的概率为一等品在出厂时，通过质量检测的概率为；二等品在出厂时，通过质量检测的概率为；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为．
已知随机抽取的件产品中，通过质量检测的有件，其中有件二等品和件三等品现在从这件通过检测的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，求分布列和期望，
求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率，
若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率
18.本小题分
已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为．
求的方程；
过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值．
19.本小题分
定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”．
已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列．
已知．
证明：数列为“线性数列”．
记，数列的前项和为，证明：．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：因为，所以，
又，则，
又曲线在点处的切线方程为，
所以，解得．
令，即，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，且当时，
依题意与无交点，所以，
所以要使函数无零点，则的取值范围为．
16.解：不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量，
又，所以，因为平面，所以平面．
因为平面，所以是平面的一个法向量，
又因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为通过质量检测的件产品中，有件二等品和件三等品，则一等品的数量为件，
所以的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以；
设事件表示产品通过质量检测，表示产品为一等品，表示产品为二等品，表示产品为三等品，
则，，，，，，
所以
，
即随机抽取的一件产品通过质量检测的概率为；
依题意所求概率为．
18.解：设，因为为的中点，所以点的坐标为，
又点是抛物线上任一点，所以，
整理得，即的方程为；
设，，，则，，，
由抛物线的方程为，即，则，
所以的方程为，即，
所以，同理可得，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离
，
当且仅当，即时取等号，
所以点到直线的距离的最小值为．
19.解：因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
因为，则，
令，即，解得，所以
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以．
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