重庆市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若幂函数在上单调递减，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于论语卫灵公此名言中的“善其事”是“利其器”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的 部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为的是( )
A. B. C. D.
8.若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B.
C. 若，，，则
D. 函数有唯一零点
11.定义在上的可导函数满足，若，则下列说法正确的是( )
A. 函数在处取得极大值
B.
C. 过原点可以作条直线与曲线相切
D. 若在上恒成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则 ．
13.已知某次数学期末试卷中有道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中道题，在剩下的道题中，有道题有思路，还有道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从个选项中随机选一个答案．若小万从这个题中任选题，则他做对的概率为 ．
14.已知函数，，用表示中较小者，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知定义在上的奇函数．
求实数的值：
若在上的值域为，求实数的值．
16.本小题分
甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局．首先获得分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
求比赛结束时恰好打了局的概率：
若甲以的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．
17.本小题分
已知函数在时取得极值，且满足．
求函数的解析式；
若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
求抛物线的方程：
已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
若点是抛物线上一点不同于坐标原点，是的内心，求面积的取值范围．
19.本小题分
如果函数的导数，可记为若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积其中．
若，且，求；
当时，证明：；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.解：由于，故，
，由为奇函数得
，
故，解得或舍，
故；
，故，
又，
解得，
故．
16.解：第一种情况：比赛结束时恰好打了局且甲获胜，
则概率为；
第二种情况：比赛结束时恰好打了局且乙获胜，
则概率为；
所以比赛结束时恰好打了局的概率为．
甲队以的比分领先，甲队目前的战绩两胜一负，
接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，
局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，
的可能取值为，，，
又，
，
，
随机变量的分布列为：
，即的数学期望为．
17.解：由题意知的定义域为，，
由于函数在时取得极值，且满足，
故，且，
解得，则，
经验证函数在时取得极小值，适合题意
故；
由题意存在实数，使得成立，
即恒成立；
令，，则，
令，则在上恒成立，
故在单调递增，
又，
故存在唯一的使得，即，
则当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，结合，得，故整数的最小值为．
18.解：由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为
所以，
所以抛物线方程为，
由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离；
联立
显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为，
所以的最小值为焦点到直线的距离为．
设点，已知点
所以的面积，
设的内切圆半径为，
则有，
所以，
所以，
因为点是抛物线上一点不同于坐标原点，
所以，，
所以，
经整理得：，
构造函数，
得，
显然单调增，
令，解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递増；
所以，
所以．
19.解：因为，所以设，
又，代入上式可得，解得，
所以；
因为，所以，
设，，则恒成立，
所以在上单调递增，，所以．
令，当，，
在上单调递减，，时恒成立；
知当时，当且仅当时取等．
，，
，，，
，
累加得，
即，
得证．
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