2024-2025学年清华大学附中朝阳学校、望京学校高三（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为( )
A. B. C. D.
4.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若向量，满足，，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.已知，，满足，则( )
A. B. C. D.
8.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.函数，若存在，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为( )
A. B. C. D. 无数
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为______．
12.已知函数是上的奇函数，并且是周期为的周期函数，若，则 ______； ______．
13.已知，则的最小值为______，此时等于______．
14.已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为______．
15.已知，给出以下命题：
当时，存在，有两个不同的零点；
当时，存在，有三个不同的零点；
当时，对任意的，的图象关于直线对称；
当时，对任意的，有且只有两个零点．
其中所有正确的命题序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
某公司在年生产经营某种产品的相关数据如表所示：
年份
年生产台数单位：万台
年返修台数单位：台
年利润单位：百万元
注：年返修率
Ⅰ从年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于元台的概率；
Ⅱ公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从年中随机选出年，记表示这年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
Ⅲ记公司在年，年，年的年生产台数的方差分别为，，．
若，其中表示，这两个数中最大的数．请写出的最大值和最小值．只需写出结论
18.本小题分
在中，，．
Ⅰ求；
Ⅱ从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：，；
条件：，边上的高为；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数在点处的切线方程；
Ⅱ若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
Ⅲ讨论函数的零点个数．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
Ⅰ分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
，；，．
Ⅱ给定，，点集，，，．
求集合中与点相关的点的个数；
若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
，
所以函数的最小正周期，
由，解得，
所以函数的单调递增区间为；
Ⅱ令，，则，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
因为在区间上有且只有两个零点，
所以，解得，
故的范围为
17.解：Ⅰ由图表知，年年中，产品的平均利润少于元台的年份只有年，年，
从年年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于元台的概率为．
Ⅱ由图表得，年中，返修率超过千分之一的年份只有年和年，
的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
．
Ⅲ的最大值为，最小值为．
18.解：Ⅰ已知中，，．
则，
即，
又，
则；
Ⅱ选，即，，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，
又，
则，，
则，
即存在且唯一确定，此时的面积为；
选，即，边上的高为，
即，
由余弦定理可得：，
则，
即存在但不唯一确定；
选，即，，
结合正弦定理及可得：，，
由余弦定理可得：，
即，
则，
即存在且唯一确定，此时的面积为．
19.Ⅰ解：由，可得，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
Ⅱ解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
Ⅲ证明：由Ⅱ可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证，
而，则，否则方程不成立，
所以即证，化简得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，而，
所以，
所以，得证．
20.解：Ⅰ当时，，则，
所以切线的斜率，切点为，
所以切线方程：；
Ⅱ由，
由函数在区间上单调递增，
所以，当时，恒成立，即恒成立，
所以，
由，当且仅当，即时，
所以有最小值，最小值为，
所以，
经检验，时，函数在区间上单调递增，
所以实数的取值范围；
Ⅲ当时，由Ⅱ可知，在上单调递增，且，
所以在恰有个零点，
当时，令，得，
，故设两个根为，，因为，，
所以，
所以与的情况如下：
增 极大 减 极小 增
因为，所以，，
当时，，
取，，
再取，有，
所以函数在区间，各有个零点，且，共个零点，
综上所述，当时，的零点个数为，当时，的零点个数为．
21.解：若点，相关，不妨设，，，，
则，
，
Ⅰ，因此相关；
，因此不相关
Ⅱ若相关，则满足，
在第一象限内，可知且，有个点满足条件，
同理可得在第二、三、四象限各有个点满足条件，
在轴上，点，满足条件，
在轴上，点，满足条件，
原点满足条件，
因此集合中共有个点与点相关，
若两个不同的点，相关，其中，，，，
可知，下面证，
若，则，成立，
若，则，亦成立，
若，则，亦成立．
由于，
因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限，最少有个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，
因此中元素个数的最大值为．
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