第二十二章 二次函数
一、选择题
下列以x为变量的函数中，不是二次函数的是
A．
B．
C．
D．
抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
下列对二次函数 的图象的描述，正确的是
A．对称轴是 轴 B．开口向下
C．经过原点 D．顶点在 轴右侧
对于二次函数：① ；② ；③ ，它们的图象在同一坐标系中，开口大小顺序用序号表示应该为
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．② ① ③
若抛物线 先向下平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
已知函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范
围是
A． B．
C． 且 D． 且
一个小球被抛出后，如果距地面的高度 （米）和运行时间 （秒）的函数解析式 ，那么小球到达最高点时距离地面的高度是
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图（1）），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图（2）所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 ， 两点，拱高为 米（最高点 到 的距离为 米），跨径为 米（即 米），以最高点 为坐标原点，以平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为
A． B． C． D．
已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
正确的是
A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，点 在点 左侧，顶点在折线 上移动，它们的坐标分别为 ，，．若在抛物线移动过程中，点 横坐标的最小值为 ．则 的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题
已知一个二次函数具有性质：①图象不经过第三、四象限；②点 在函数的图象上；③当 时，函数值 随自变量 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数表达式： ．
抛物线 经过点 ，则 ．
若二次函数 的图象过原点，则 ．
已知 ，当 时，它的图象是开口向下的抛物线，当 时， 随 的增大而增大．
如图，边长为 的正方形 的中心在直角坐标系的原点 ， 轴，以 为顶点且过 ， 两点的抛物线与以 为顶点且过 ， 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，在 中，，，，动点 从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合)，动点 从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合)．如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过 秒，四边形 的面积最小．
三、解答题
已知抛物线 ．
(1) 求证：无论 为何值，该抛物线与 轴总有两个交点；
(2) 该抛物线与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左侧，且 ，求 的值．
如图，若要建一个长方形仓库，仓库一边靠墙，墙长 ，墙对面有一个 宽的门，另三边用 的竹篱笆围成．
(1) 设与墙垂直的一边长为 ，仓库的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(2) 求出能围成的最大面积是多少？
如图，平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点 ，，与 轴交于点 ．
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 点 为 轴下方二次函数图象上一点，连接 ，，，，若 的面积是 面积的一半，求 点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （）的图象经过点 ，点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求 ， 的值；
(2) 若点 为直线 上一点，点 到 ， 两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点 ，求新抛物线的顶点坐标．
如图，抛物线 经过 ， 两点，交 轴于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ，点 为 的中点．请解答下列问题：
(1) 求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2) 在 轴上找一点 ，使 的值最小，则 的最小值为 ．
如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽 为 ，拱高为 ，该隧道为双向车道，且两车道之间有 的隔离带，一辆宽为 的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于 的空隙，以 的中点 为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．
(1) 求该抛物线对应的函数关系式；
(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上．
(1) 求点 的坐标（用含 的式子表示）；
(2) 求抛物线的对称轴；
(3) 已知点 ，．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
某超市销售一种时尚玩具，进价为每件 元，售价为每件 元，当天的销售量为 件．在销售过程中发现：售价每上涨 元，当天的销售量就减少 件．设当天售价统一为每件 元（，且是按着 元的倍数上涨），当天的销售利润为 元．
(1) ① 与 之间的函数关系式为 ；
②若每件玩具的利润不超过 ，则每件玩具的售价 的取值范围为 ．
(2) 在（）的条件下，当每件玩具的售价为多少元时，当天的销售利润最大？最大利润为多少元？
答案
一、选择题
1. C
2. A
3. C
4. C
5. D
6. B
7. D
8. B
9. D
10. A
二、填空题
11. 答案不唯一，如
12. 或
13.
14. ；
15.
16.
三、解答题
17.
(1) ，
无论 为何值时，该抛物线与 轴总有两个交点
(2) 令 ，得 ．
解得 ，．
，点 在点 的左侧，
．解得 或 ，即 的值为 或 ．
18.
(1) 由题意，得与墙平行的一边长为 ．
，
墙长 ，
，即 ．
(2) ，
，，
当 时，．
答：能围成的最大面积是 ．
19.
(1) 设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
即 ．
(2) 设 ，
的面积是 的面积的一半，
，
整理得 ，
解得 ，，
点的坐标为 或 ．
20.
(1) 二次函数 （）的图象经过点 ，点 ，
解得
(2) ，
抛物线的对称轴为直线 ，，
点 到 ， 两点的距离相等，
点 在抛物线的对称轴 上，
，，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，设平移后的新抛物线的解析式为 ，
新抛物线经过点 ，
，解得 ，，
新抛物线的顶点坐标为 或 ．
21.
(1) 因为抛物线 经过 ，，
所以 解得
所以所求函数的解析式为 ，
所以顶点 的坐标为 ．
(2)
22.
(1) 如图，
，，
设抛物线的解析式为 ，
由题意，得
解得
抛物线的解析式为 ．
(2) ，
当 时，，
．
答：该货车能够安全通行的最大高度为 ．
23.
(1) 点 向右平移 个单位长度，得到点 ．
(2) 与 关于对称轴 对称，
所以抛物线对称轴 ．
(3) 因为对称轴 ，
所以 ．
所以 ．
① 时，
当 时，，
当 时， 或 ，
所以函数与 无交点；
② 时．
当 时，，
解得 或 ，
当 时，．
所以当 时，抛物线与线段 恰有一个公共点．
24.
(1) ；
(2) ，
因为 ，，
所以当 时， 有最大值 ．
答：当每件玩具的售价为 元时，当天的销售利润最大，最大利润为 元．
