2024-2025学年广东省佛山市南海区高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数其中为虚数单位在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则公差为( )
A. B. C. D.
4.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
5.设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆：上运动，点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，，且对于恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为：，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为，从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是( )
A. 李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B. 李明获胜的概率为
C. 若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D. 若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
10.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点
C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点
11.如图，几何体的底面是边长为的正方形，底面，，，，则( )
A. 当时，该几何体的体积为
B. 当时，该几何体为台体
C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为的球，则的最大值为
D. 当点到直线距离最大时，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项是______用数字作答
13.在中，，点在线段上，且，则的面积为______．
14.定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 ______若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别 是否喜欢篮球 合计
喜欢 不喜欢
男生
女生
合计
依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的名初中学生中抽取名学生做进一步调查，将这名学生作为一个样本，从中随机抽取人，用表示随机抽取的人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：参考数据
，其中．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，两动点，在双曲线上，线段的中点为．
证明：直线的斜率为定值；
为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；
若，证明：；
若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围．
19.本小题分
定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，，，，满足：
；
．
写出最小的“漂亮数”；
若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的人中男生有人，女生有人，
所以的为，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以．
16.证明：取的中点，连接，，
，，，
，，
为的中点，，，
四边形为平行四边形，
，，
四边形为正方形，
，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，，平面，
平面；
解：由可知、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，
，
，，，，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：证明：由已知可得，
解得，
所以双曲线方程为，
设，，
所以，两式相减可得：
，
又线段的中点为，
所以，，
所以，解得，
所以直线的斜率为定值；
由设直线的方程为，
联立，可得，
所以，解得或，
所以，，
所以
又原点到直线的距离为，
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
18.解：由题意可知：的定义域为，且，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或，
所以的值为或．
证明：若，则，
若，等价于，
设，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递减，
则，即，
所以．
由可知：，
令，整理可得，
设，
原题意等价于与在内有且仅有一个交点，
则，
若，则，，可得；
可知在内单调递减，
且，当趋近于，趋近于，如图所示：
可得，所以正实数的取值范围．
19.解：若是“漂亮数”，设满足．
则，，即．
故，得，从而，．
此时，假设，则，，，．
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，
计算可知它们都不等于，不满足；
．
，是“漂亮数”．
最小的“漂亮数”是．
若是“漂亮数”，设满足．
则，，即．
此时有
．
再由，即知．
而，
是“漂亮数”．
若，设满足．
则，，即．
而，故，即．
，得，即．
由于，故．
而，故，即．
若，则，．
假设，则，矛盾．
，故，得．
故只可能，从而，得，而，故．
但，矛盾．
只可能或．
当时，有，．
从而，，得，即．
，分别代入，，，，，
使得是正整数的有，，，，对应的分别为，，，．
当时，有，．
从而，，得，即．
，分别代入，，，使得是正整数的有，，对应的分别为，．
综上，全体满足条件的有，，
，，，．
所有满足的“漂亮数”的值为，，，，，．
的全部可能值为，，，，，，共个，
其中是质数的有，，，，，共个，
是质数的概率为．
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