四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则( )
A. B. C. D.
5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量单位：，将全部数据按区间，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是( )
A. 图中的值为
B. 这天中有天的日销售量不低于
C. 这天销售量的中位数的估计值为
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要在天中，大约有天可以满足顾客的需求，则每天的苹果进货量应为
6.函数，的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为( )
A. B. C. D.
8.已知，且满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 的 最小正周期为，则( )
A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
10.已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则( )
A.
B.
C. 当不共线时，的周长为
D. 设点到直线的距离为，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的极小值一定小于
B. 函数有个互不相同的零点
C. 若对于任意的，，则的值为
D. 过点有且仅有条直线与曲线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
13.已知数列满足，，，设的前项和为，则 ．
14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率某商场进行促销活动，凡在该商场每消费元，可有次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了元，共获得次抽奖机会设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若的平分线交边于点，且，，求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证；平面平面；
若，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求的取值范围；
若，证明：．
18.本小题分
甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分
求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；
记甲、乙每轮投篮得分之和为．
求的分布列和数学期望；
若，则称该轮次为一个“成功轮次”在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，的值最大？
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为为坐标原点按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为．
求的值；
求数列的通项公式；
数列中，是否存在连续三项按原顺序构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.【小问详解】
因为，
所以，则，
所以，
因为，所以；
【小问详解】
根据题意及余弦定理有，
所以，
则，
根据正弦定理有，
所以．
16.【小问详解】
证明：由题意得平面，因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
【小问详解】
因为，，，所以，
又因为三棱锥的 体积为，即，得，
由题意可得以为 原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设二面角为，则．
所以锐二面角的余弦值为．
17.【小问详解】
由，则，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
所以，即，
构造函数，所以，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取得极大值也是最大值，即，所以，
所以的取值范围为．
【小问详解】
由题意得的定义域为，
当时，要证，即证：，等价于证明
构造函数，即证；
所以，令，
因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，
且，，所以存在，使，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值也是最小值，
又因为，得，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，即，
所以即证，所以可证．
18.【小问详解】
甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为．
【小问详解】
由题知可能取值为，
，，
，
，，
所以的分布列为
数学期望．
由知，由题知，所以，
由
得到且，
整理得到，即
得到，所以，
由题有，所以，得到，又，所以或或．
19.【小问详解】
设直线，
联立，得，
得
由韦达定理可知：
由题可知：
因为面积的最小值为，且，
所以
【小问详解】
设，
由题可知，，两式求差可得
所以，
所以直线方程为，整理得
同理：方程为：
令可得
可知，方程为：
因为过焦点，所以有
方程为：
令可得
由，可知
因为，
得
取对数可得
由题可知，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以有
解得
【小问详解】
不存在，理由如下
假设存在，则一定有
因为，得
化简得
因为
显然
所以在无解；
故不存在连续的三项为等差数列．
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