辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.设集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.给出下列四个结论：
“”是“”的充分不必要条件；
若命题，则；
若，则是的充分不必要条件；
若命题：对于任意为真命题，则
其中正确结论 个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列函数中，既是奇函数又具有零点的是( )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量的分布列如下表所示，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等差数列，为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数且满足，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
8.已知命题为假命题，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量，且，则
B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
C. 若随机事件，满足：，则事件与相互独立
D. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为
10.已知函数定义域为，对，，恒有，则下列说法错误的有( )
A. B.
C. D. 若，则周期为
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上恒成立，则
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列满足，数列的前项和为，则
13.某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为 附，
14.已知函数，若，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。
15.设为奇函数，为常数．
求的值
若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16.已知数列的前项和为，且．
求证；数列是等比数列；
求证：．
17.已知
求的最小值；
若在内恒成立，求的取值范围．
18.在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：其中表示的次导数，以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
分别求在处的泰勒展开式；
若上述泰勒展开式中的可以推广至复数域，试证明：其中为虚数单位；
当时，求证：参考数据
19.现有标号依次为，，，的个盒子，标号为号的盒子里有个红球和个白球，其余盒子里都是个红球和个白球．现从号盒子里取出个球放入号盒子，再从号盒子里取出个球放入号盒子，，依次进行到从号盒子里取出个球放入号盒子为止．
当时，求号盒子里有个红球的概率；
当时，求号盒子里的红球的个数的分布列；
记号盒子中红球的个数为，求的期望
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：是奇函数，
，
．
经检验不合题意舍，
．
对于上的每一个的值，不等式恒成立，
即恒成立．
令．
只需，
而，
易得函数在上是减函数，函数在上是减函数，
故函数在上是增函数，
而对于函数在上是增函数，
故在上是增函数，
．
时原式恒成立．
故的取值范围是．
16.
由已知得，又，
所以作差得，故
所以
又当时，，又，故
故数列是首项为，公比为的等比数列
由可知：，故
所以
综上可知：
17.函数的定义域为
设，
由得：，由得：，
所以在单调递减，在单调递增，
，
若在内恒成立，
可得在内恒成立，
令，，
因为
所以，，，，
所以，可得在上单调递减，
所以当时，有最小值，
得，所以，
故的取值范围是
18.
因为函数在处的泰勒展开式为
其中表示的次导数，
所以，，在处的泰勒展开式分别为：
；
；
．
把在处的泰勒展开式中的替换为，可得
，
所以，即
由在处的泰勒展开式，先证当时，，
令，
，又 ，则，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以当时，恒成立，
则，
所以．
19.解：由题可知号盒子里有个红球的概率为
；
由题可知，可取，，，
，
，
，
所以号盒子里的红球的个数的分布列为：
记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
为第号盒子有一个红球和三个白球的概率，则，
且，
，
，
事实上，由及与即可知：，
且，得：，
因此．
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