2024-2025学年四川省内江一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，分式有( )
A. B. C. D.
2.人体中红细胞的直径约为用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.函数中，自变量的取值范围为( )
A. B. C. 且 D.
5.选项中的曲线不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
6.某班七个合作学习小组人数如下：，，，，，，，已知这组数据的平均数为，则这组数据的中位数和众数是( )
A. ， B. ， C. 和 D. 和
7.如上图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为( )
A. B.
C. D.
8.函数和函数在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
9.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
10.已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是( )
A. 如果，，那么四边形是矩形
B. 如果，，那么四边形是矩形
C. 如果，，那么四边形是菱形
D. 如果，，那么四边形是菱形
11.一次函数与的图象如图所示，则下列结论：，；随的增大而增大；当时，；其中正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12.如图， 中，，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动的面积与点的运动时间的关系图象如图所示有下列说法：点的运动速度是；的长度为；的值为；当时，的值为其中正确的个数( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为______．
14.若点，，都在反比例函数的图象上，若则，，的大小关系是______请用“”号连接
15.如图，在中，，，，在边、、上分别取点、、使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是______．
16.如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点则周长的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多本．
求打折前每本笔记本的售价是多少元？
由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共件，笔袋每个原售价为元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于元，且不超过元，问有哪几种购买方案？
18.本小题分
计算：
．
化简：．
19.本小题分
如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
求证：；
连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
20.本小题分
某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八、八班根据初赛成绩，各选出名选手，两个班各选出的名选手的决赛成绩如图表．
平均数分 中位数分 众数分
八
八
写出上表中、、的值；
结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？
计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定．
21.本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
直接写出时的取值范围．
22.本小题分
在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列，点的位置随点的位置变化而变化．
如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连结后证明得到与的数量关系是______；
如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
当点在的延长线上时，其他条件不变，连结，若，，求的长．
参考答案
1.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或或
16.
17.解：设打折前售价为元，则打折后售价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为元．
设购买笔记本件，则购买笔袋件，
由题意得，，
解得：，
为正整数，
可取，，，
故有三种购买方案：
方案一：购买笔记本本，购买笔袋个；
方案二：购买笔记本本，购买笔袋个；
方案三：购买笔记本本，购买笔袋个．
18.解：原式．
原式．
19.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
20.解：八班的平均成绩是：分，
在八班成绩中出现了次，出现的次数最多，则众数分；
把八班的成绩从小到大排列为：，，，，，最中间的数是，则中位数分；
答：，，；
八班成绩好些，
因为两个队的平均数都相同，八班的中位数高，
所以在平均数相同的情况下，中位数高的八班成绩好些；
八班的方差是：，
八班的方差是：，
，
八班代表队选手的成绩较为稳定．
21.解：把代入中，
解得：，
故反比例函数的解析式为；
把代入，解得，
故B，
把，代入，
得，解得：，
故一次函数解析式为；
如图，设一次函数与轴交于点，
令，得．
点的坐标是，
．
由图象可知，当或时，，
所以时的取值范围是或．
22.，理由如下：
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
中的结论仍然成立，理由如下：
如图，连结，
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
中的结论仍然成立；
如图，当点在的延长线上时，连结交于点，连结，
四边形是菱形，
，平分，
，
，
，
，
同可知：≌，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
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