5 共点力的平衡
第1课时 共点力平衡的条件 三力平衡问题
[学习目标] 1.知道什么是共点力,理解平衡状态,掌握共点力平衡的条件(重点)。2.会根据平衡条件,利用合成法和正交分解法解决简单的三力平衡问题(重难点)。
一、共点力平衡的条件
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于平衡状态的情况,这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系,可以把上述四种情况的受力分成两类,你认为哪些情况属于同一类 你是根据什么来划分的
答案 图甲和图丁中各力的作用线相交于同一点,这样的几个力是共点力;图乙和图丙中各力的作用线无法相交于同一点,这样的力是非共点力。
1.平衡状态:保持静止或匀速直线运动的状态。
2.共点力的平衡条件:物体所受到的合力为0。
3.共点力平衡条件的推论:
(1)二力平衡:物体在两个共点力的作用下处于平衡状态,其平衡条件是这两个力的大小相等、方向相反,作用在同一直线上。
(2)三力平衡:若物体在三个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。
(3)多力平衡:物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时,其平衡条件是所受合力为0。
平衡状态中所说的“静止”如何理解 一个物体在某一时刻速度v=0,那么物体在这一时刻一定受力平衡吗
答案 “静止”要满足两个条件:v=0,a=0,两者缺一不可。“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别。例如,竖直上抛的物体运动到最高点时,这一瞬时速度为零,但这一状态不可能保持,因而上抛物体在最高点不能称为静止,即速度为零不等同于静止,物体在这一时刻不一定受力平衡。
(1)只有静止的物体才受力平衡。 ( × )
(2)某时刻物体的速度不为零,也可能处于平衡状态。 ( √ )
(3)作用在一个物体上的两个力如果是一对平衡力,则这两个力是共点力。 ( √ )
例1 物体在五个共点力的作用下保持平衡,如图所示,其中F1大小为10 N,方向水平向右,求:
(1)若撤去力F1,而保持其余四个力不变,其余四个力的合力的大小和方向;
(2)若将F1转过90°,物体所受的合力大小。
答案 (1)10 N 方向水平向左 (2)10 N
解析 (1)五个共点力平衡时合力为零,则其余四个力的合力与F1等大、反向,故其余四个力的合力大小为10 N,方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1',则F1'与其余四个力的合力F垂直,F合== N=10 N。
二、三力平衡问题
如图所示,一个质量为m的物体在倾角为θ的斜面上保持静止,重力加速度为g,请分别用力的合成法和正交分解法求出物体所受的支持力和摩擦力。
答案 方法一 力的合成法
如图所示,由平衡条件和几何关系可知
FN=Fcos θ=mgcos θ
Ff=Fsin θ=mgsin θ
方法二 正交分解法
如图所示,建立直角坐标系,由平衡条件和几何关系可知
y方向上FN=Gy=mgcos θ
x方向上Ff=Gx=mgsin θ
处理共点力平衡问题的常用方法
1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力;
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力;
注意:根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向);
(3)根据三角函数或勾股定理解三角形。
2.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系,让尽量多的力与坐标轴重合;
(2)正交分解不在坐标轴上的各力;
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
例2 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示,悬吊重物的细绳,其O点被一水平绳BO牵引,使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G,则悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力各等于多大 (用两种方法进行求解)
答案 Gtan θ
解析 方法一 合成法
如图所示,取O点为研究对象进行受力分析,由共点力的平衡条件可知F4=F3=G
由图示几何关系可知
悬绳AO所受的拉力F1==
水平绳BO所受的拉力F2=F4tan θ=Gtan θ
方法二 正交分解法
如图所示,以O为原点建立直角坐标系,取O点为研究对象进行受力分析,悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2,
由共点力的平衡条件和几何关系可知在x方向上F2=F1x=F1sin θ ①
在y方向上F3=F1y=F1cos θ=G ②
由①②式解得,F1=,F2=Gtan θ
根据牛顿第三定律,悬绳AO和水平绳BO所受的拉力大小分别为和 Gtan θ。
例3 如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O为球心。一质量为m的滑块,在水平力F的作用下静止于P点,设滑块所受支持力为FN,OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g,下列关系式正确的是 ( )
A.F= B.F=mgtan θ
C.FN= D.FN=mgtan θ
答案 A
解析
对滑块进行受力分析,如图所示,将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解,根据平衡条件列方程,水平方向有:FNcos θ=F
竖直方向有:FNsin θ=mg
联立解得FN=,F=。
例4 (2024·玉溪市高一期末)风洞(如图甲)是测试飞机性能、研究流体力学的一种重要设备。某次飞行实验中,处于平衡状态的飞机机身水平,简化模型如图乙所示。其中发动机产生的牵引力F1沿水平方向,与机身所在平面(图中ab方向)平行;气流产生的升力F2的方向与机翼所在平面(图中cd方向)垂直,ab与cd之间的夹角为α=30°。飞机的质量为m,重力加速度为g。下列关系式正确的是 ( )
A.F1=mg B.F1=mg
C.F2=mg D.F2=2mg
答案 A
解析 飞机受力分析如图所示,可得F2cos 30°=mg、F2sin 30°=F1,解得F1=mg,F2=mg。故选A。
课时对点练 [分值:100分]
1~8题每题7分,共56分
考点一 共点力平衡的条件
1.(2023·海林市高级中学高一开学考试)关于物体在共点力作用下,下列说法正确的是 ( )
A.物体的速度在某一时刻等于0,物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时,物体一定处于平衡状态
C.物体处于平衡状态,所受合力一定为0
D.物体处于平衡状态时,物体一定做匀速直线运动
答案 C
解析 速度为零时,物体不一定处于平衡状态,如竖直上抛到最高点时,速度为零,加速度竖直向下为g,A错误;物体相对另一物体保持静止时,不一定处于平衡状态,如两个物体一起做变速运动,故B错误;物体处于平衡状态,受力平衡,合外力一定为零,C正确;物体处于平衡状态,物体可能保持静止或匀速直线运动状态,D错误。
2.下列图中,哪组共点力作用在一个物体上可能使物体平衡 ( )
答案 C
解析 根据力的平行四边形定则,选项A、B、D中F1 和F2 的合力方向不能与F3的方向相反,则合力一定不为零,不能使物体平衡,而C选项中F1 和F2 的合力方向可能与F3的方向相反,则合力可以为零,可能使物体平衡,选项A、B、D错误,C正确。
3.一个物体受到三个共点力的作用,如果三个力的大小为如下各组中的情况,那么有可能使物体处于平衡状态的是 ( )
A.1 N 4 N 7 N B.2 N 6 N 9 N
C.2 N 5 N 8 N D.6 N 8 N 6 N
答案 D
4.如图所示,一箱苹果沿着倾角为θ的斜面,以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果,它受到周围苹果对它作用力的合力的方向 ( )
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下
C.竖直向上 D.垂直斜面向上
答案 C
解析 一箱苹果整体向下匀速运动,其中央的一个苹果也一定是做匀速运动,受到的合力为零。由于中央的那一个苹果只受重力与它周围苹果对它的作用力,故重力与它周围苹果对它作用力的合力为一对平衡力,大小相等、方向相反,则它受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上,故选C。
考点二 三力平衡问题
5.(多选)如图所示,静止斜面倾角为θ,斜面上固定着竖直挡板AB,质量为m的光滑圆球静止在斜面上,挡板对球的弹力大小为FN1,斜面对球的支持力大小为FN2,重力加速度为g,则 ( )
A.FN1=mgtan θ B.FN1=mgcos θ
C.FN2= D.FN2=
答案 AD
解析 圆球受重力、挡板对它的弹力和斜面对它的支持力,受力分析如图所示,
根据平衡条件和几何关系可得
FN1=mgtan θ,FN2=,故选A、D。
6.(多选)(2023·宝鸡市陈仓区高一期末)如图,一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态,该树枝与水平方向的夹角为30°,松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是 ( )
A.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向竖直向上
B.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向垂直树枝向上
C.树枝对松鼠的摩擦力大小为,方向沿树枝向上
D.树枝对松鼠的作用力大小等于G,方向竖直向上
答案 BC
解析 对树枝上的松鼠进行受力分析,如图所示。
树枝对松鼠的支持力大小为
FN=Gcos 30°=G,
方向垂直树枝向上,故A错误,B正确;摩擦力大小Ff=Gsin 30°=,方向沿树枝向上,C正确;根据平衡条件可知,树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大反向,即大小等于G,方向竖直向上,故D错误。
7.(2023·浙江6月选考)如图所示,水平面上固定两排平行的半圆柱体,重为G的光滑圆柱体静置其上,a、b为相切点,∠aOb=90°,半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为 ( )
A.Fa=0.6G,Fb=0.4G
B.Fa=0.4G,Fb=0.6G
C.Fa=0.8G,Fb=0.6G
D.Fa=0.6G,Fb=0.8G
答案 D
解析 对光滑圆柱体受力分析如图,由题意有Fa=Gsin 37°=0.6G,Fb=Gcos 37°=0.8G,故选D。
8.(2022·广东卷)如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时,连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点,F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小,F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是 ( )
A.F=F1 B.F=2F1
C.F=3F1 D.F=F1
答案 D
解析 以O点为研究对象,受力分析如图所示,由几何关系可知θ=30°,
在竖直方向上,由平衡条件可得
F1cos 30°+F2cos 30°=F,又F1=F2,
可得F=F1,故D正确,A、B、C错误。
9~11题每题9分,12题17分,共44分
9.(多选)(2024·宁夏银川一中高一月考)在古代,弓箭是军队与猎人使用的重要武器之一。明代宋应星在《天工开物》中记载了用秤称量弓力的方法:将一个足够重的物块捆在弓的中央,用秤钩钩住弦的中点往上拉,弦满之时,推移秤砣使秤杆水平,根据秤称量的示数即可衡量弓力大小。如图所示,若弦拉满时,秤钩两侧弦弯折的夹角恰好为106°,秤称量的示数为24 kg,取g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,则下列判断正确的是 ( )
A.弓力的大小为200 N
B.弓力的大小为240 N
C.弦的弹力大小为240 N
D.弦的弹力大小为200 N
答案 BD
解析 弦中点受力分析如图所示
由平衡条件可知F秤=mg=240 N,弓力与F秤大小相等,故A错误,B正确;
由平衡条件得F==200 N
故C错误,D正确。
10.(多选)(2024·厦门市双十中学高一期中)如图所示,AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子,现用这两根绳子吊起一重物,O为结点,已知重物的质量m=40 kg,AO绳的拉力记为FTA,BO绳的拉力记为FTB,重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法中正确的是 ( )
A.FTA=320 N,FTB=240 N
B.FTA=240 N,FTB=320 N
C.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
答案 AC
解析 分析重物的受力情况如图所示,FTA=mgcos 37°=320 N,FTB=mgsin 37°=240 N,A正确,B错误;由重物水平方向合力为零知FTAsin 37°=FTBcos 37°,所以OA绳先达到最大承受力,令FTA=720 N,此时mmaxg=,得mmax=90 kg,C正确,D错误。
11.(多选)(2024·柳州市高级中学高一期中)如图所示,用一根长为0.8 m轻质细绳将一幅重力为10 N的画框对称悬挂在墙壁上,已知绳子能承受的最大拉力为10 N,两个水平挂钉之间的最大距离为l,此时两侧细绳的夹角为θ,则 ( )
A.θ=120° B.θ=60°
C.l= m D.l= m
答案 AD
解析 对画框进行受力分析如图,画框受到重力G和两个大小相等的细绳拉力F1、F2的作用而处于静止状态,当F1=F2=Fmax=10 N时,两个水平挂钉之间的最大距离为l,由平衡条件知F1、F2的合力F合=G=10 N,所以力F1与F2之间的夹角是120°,故A正确,B错误;由cos 30°=,可得两个水平挂钉之间的最大距离为l= m,故C错误,D正确。
12.(17分)如图所示,质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂,三段轻绳的结点为O,轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连,轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°,物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求:
(1)(6分)轻绳OA、OB中的张力大小;
(2)(4分)人受到的摩擦力;
(3)(7分)若人的质量m2=60 kg,人与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3,欲使人在水平面上不滑动,则物体甲的质量m1最大不能超过多少
答案 (1)m1g m1g (2)m1g,水平向左 (3)24 kg
解析 (1)以结点O为研究对象,进行受力分析如图,根据共点力的平衡条件:FOA与FOB的合力与重力等大反向,由几何关系得:FOA==m1g
FOB=m1gtan θ=m1g
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力和水平面的摩擦力Ff作用,根据平衡条件有
Ff=FOB=m1g,方向水平向左。
(3)人在竖直方向上受重力m2g和水平面的支持力FN作用,因此有FN=m2g,则Ff'=μFN=μm2g=180 N
要使人在水平面上不滑动,需满足Fmax= m1g≤Ff'
解得m1≤24 kg。(共49张PPT)
DISANZHANG
第三章
5 第1课时 共点力平衡的条件
三力平衡问题
1.知道什么是共点力,理解平衡状态,掌握共点力平衡的条件(重点)。
2.会根据平衡条件,利用合成法和正交分解法解决简单的三力平衡问题(重难点)。
学习目标
一、共点力平衡的条件
二、三力平衡问题
课时对点练
内容索引
共点力平衡的条件
一
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于平衡状态的情况,这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系,可以把上述四种情况的受力分成两类,你认为哪些情况属于同一类 你是根据什么来划分的
答案 图甲和图丁中各力的作用线相交于同一点,这样的几个力是共点力;图乙和图丙中各力的作用线无法相交于同一点,这样的力是非共点力。
梳理与总结
1.平衡状态:保持 或 的状态。
2.共点力的平衡条件:物体所受到的 。
3.共点力平衡条件的推论:
(1)二力平衡:物体在两个共点力的作用下处于平衡状态,其平衡条件是这两个力的大小 、方向 ,作用在同一直线上。
(2)三力平衡:若物体在三个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意两个力的合力与第三个力 、 、共线。
(3)多力平衡:物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时,其平衡条件是所受 。
静止
匀速直线运动
合力为0
相等
相反
等大
反向
合力为0
思考与讨论
平衡状态中所说的“静止”如何理解 一个物体在某一时刻速度v=0,那么物体在这一时刻一定受力平衡吗
答案 “静止”要满足两个条件:v=0,a=0,两者缺一不可。“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别。例如,竖直上抛的物体运动到最高点时,这一瞬时速度为零,但这一状态不可能保持,因而上抛物体在最高点不能称为静止,即速度为零不等同于静止,物体在这一时刻不一定受力平衡。
(1)只有静止的物体才受力平衡。( )
(2)某时刻物体的速度不为零,也可能处于平衡状态。( )
(3)作用在一个物体上的两个力如果是一对平衡力,则这两个力是共点力。( )
√
×
√
物体在五个共点力的作用下保持平衡,如图所示,其中F1大小为10 N,方向水平向右,求:
例1
答案 10 N 方向水平向左
(1)若撤去力F1,而保持其余四个力不变,其余四个力的合力的大小和方向;
五个共点力平衡时合力为零,则其余四个力的合力与F1等大、反向,故其余四个力的合力大小为10 N,方向水平向左。
(2)若将F1转过90°,物体所受的合力大小。
答案 10 N
若将F1转过90°得到F1',则F1'与其余四个力的合力F垂直,F合== N=10 N。
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三力平衡问题
二
如图所示,一个质量为m的物体在倾角为θ的斜面上保持静止,重力加速度为g,请分别用力的合成法和正交分解法求出物体所受的支持力和摩擦力。
答案 方法一 力的合成法
如图所示,由平衡条件和几何关系可知
FN=Fcos θ=mgcos θ
Ff=Fsin θ=mgsin θ
方法二 正交分解法
如图所示,建立直角坐标系,由平衡条件和几何关系可知
y方向上FN=Gy=mgcos θ
x方向上Ff=Gx=mgsin θ
处理共点力平衡问题的常用方法
1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力;
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力;
注意:根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向);
(3)根据三角函数或勾股定理解三角形。
提炼·总结
2.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系,让尽量多的力与坐标轴重合;
(2)正交分解不在坐标轴上的各力;
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示,悬吊重物的细绳,其O点被一水平绳BO牵引,使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G,则悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力各等于多大 (用两种方法进行求解)
例2
答案 Gtan θ
方法一 合成法
如图所示,取O点为研究对象进行受力分析,由共点力的平衡条件可知F4=F3=G
由图示几何关系可知
悬绳AO所受的拉力F1==
水平绳BO所受的拉力F2=F4tan θ=Gtan θ
方法二 正交分解法
如图所示,以O为原点建立直角坐标系,取O点为研究对象进行受力分析,悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2,
由共点力的平衡条件和几何关系可知在x方向上F2=F1x=F1sin θ ①
在y方向上F3=F1y=F1cos θ=G ②
由①②式解得,F1=,F2=Gtan θ
根据牛顿第三定律,悬绳AO和水平绳BO所受
的拉力大小分别为和 Gtan θ。
如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O为球心。一质量为m的滑块,在水平力F的作用下静止于P点,设滑块所受支持力为FN,OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g,下列关系式正确的是
A.F= B.F=mgtan θ
C.FN= D.FN=mgtan θ
例3
√
对滑块进行受力分析,如图所示,将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解,根据平衡条件列方程,水平方向有:FNcos θ=F
竖直方向有:FNsin θ=mg
联立解得FN=,F=。
(2024·玉溪市高一期末)风洞(如图甲)是测试飞机性能、研究流体力学的一种重要设备。某次飞行实验中,处于平衡状态的飞机机身水平,简化模型如图乙所示。其中发动机产生的牵引力F1沿水平方向,与机身所在平面(图中ab方向)平行;气流产生的升力F2的方向与机翼所在平面(图中cd方向)垂直,ab与cd之间的夹角为α=30°。飞机的质量为m,重力加速度为g。下列关系式正确的是
A.F1=mg B.F1=mg
C.F2=mg D.F2=2mg
例4
√
飞机受力分析如图所示,可得F2cos 30°=mg、
F2sin 30°=F1,解得F1=mg,F2=mg。故选A。
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课时对点练
三
考点一 共点力平衡的条件
1.(2023·海林市高级中学高一开学考试)关于物体在共点力作用下,下列说法正确的是
A.物体的速度在某一时刻等于0,物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时,物体一定处于平衡状态
C.物体处于平衡状态,所受合力一定为0
D.物体处于平衡状态时,物体一定做匀速直线运动
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基础对点练
√
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速度为零时,物体不一定处于平衡状态,如竖直上抛到最高点时,速度为零,加速度竖直向下为g,A错误;
物体相对另一物体保持静止时,不一定处于平衡状态,如两个物体一起做变速运动,故B错误;
物体处于平衡状态,受力平衡,合外力一定为零,C正确;
物体处于平衡状态,物体可能保持静止或匀速直线运动状态,D错误。
2.下列图中,哪组共点力作用在一个物体上可能使物体平衡
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√
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根据力的平行四边形定则,选项A、B、D中F1 和F2 的合力方向不能与F3的方向相反,则合力一定不为零,不能使物体平衡,而C选项中F1 和F2 的合力方向可能与F3的方向相反,则合力可以为零,可能使物体平衡,选项A、B、D错误,C正确。
3.一个物体受到三个共点力的作用,如果三个力的大小为如下各组中的情况,那么有可能使物体处于平衡状态的是
A.1 N 4 N 7 N B.2 N 6 N 9 N
C.2 N 5 N 8 N D.6 N 8 N 6 N
1
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√
4.如图所示,一箱苹果沿着倾角为θ的斜面,以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果,它受到周围苹果对它作用力的合力的方向
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下
C.竖直向上 D.垂直斜面向上
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一箱苹果整体向下匀速运动,其中央的一个苹果也
一定是做匀速运动,受到的合力为零。由于中央的
那一个苹果只受重力与它周围苹果对它的作用力,
故重力与它周围苹果对它作用力的合力为一对平衡力,大小相等、方向相反,则它受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上,故选C。
考点二 三力平衡问题
5.(多选)如图所示,静止斜面倾角为θ,斜面上固定着竖直挡板AB,质量为m的光滑圆球静止在斜面上,挡板对球的弹力大小为FN1,斜面对球的支持力大小为FN2,重力加速度为g,则
A.FN1=mgtan θ B.FN1=mgcos θ
C.FN2= D.FN2=
1
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√
√
1
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12
圆球受重力、挡板对它的弹力和斜面对它的支持力,受力分析如图所示,
根据平衡条件和几何关系可得
FN1=mgtan θ,FN2=,故选A、D。
6.(多选)(2023·宝鸡市陈仓区高一期末)如图,一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态,该树枝与水平方向的夹角为30°,松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是
A.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向竖直向上
B.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向垂直树枝向上
C.树枝对松鼠的摩擦力大小为,方向沿树枝向上
D.树枝对松鼠的作用力大小等于G,方向竖直向上
1
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√
√
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8
9
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11
12
对树枝上的松鼠进行受力分析,如图所示。
树枝对松鼠的支持力大小为
FN=Gcos 30°=G,
方向垂直树枝向上,故A错误,B正确;
摩擦力大小Ff=Gsin 30°=,方向沿树枝向上,C正确;
根据平衡条件可知,树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大反向,即大小等于G,方向竖直向上,故D错误。
7.(2023·浙江6月选考)如图所示,水平面上固定两排平行的半圆柱体,重为G的光滑圆柱体静置其上,a、b为相切点,∠aOb=90°,半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为
A.Fa=0.6G,Fb=0.4G
B.Fa=0.4G,Fb=0.6G
C.Fa=0.8G,Fb=0.6G
D.Fa=0.6G,Fb=0.8G
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3
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5
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√
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对光滑圆柱体受力分析如图,由题意有Fa=Gsin 37°
=0.6G,Fb=Gcos 37°=0.8G,故选D。
8.(2022·广东卷)如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时,连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点,F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小,F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是
A.F=F1 B.F=2F1
C.F=3F1 D.F=F1
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√
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以O点为研究对象,受力分析如图所示,由几何关系可知θ=30°,
在竖直方向上,由平衡条件可得
F1cos 30°+F2cos 30°=F,又F1=F2,
可得F=F1,故D正确,A、B、C错误。
9.(多选)(2024·宁夏银川一中高一月考)在古代,弓箭是军队与猎人使用的重要武器之一。明代宋应星在《天工开物》中记载了用秤称量弓力的方法:将一个足够重的物块捆在弓的中央,用秤钩钩住弦的中点往上拉,弦满之时,推移秤砣使秤杆水平,根据秤称量的示数即可衡量弓力大小。如图所示,若弦拉满时,秤钩两侧弦弯折的夹角恰好为106°,秤称量的示数为24 kg,取g=10 m/s2,sin 53°
=0.8,cos 53°=0.6,则下列判断正确的是
1
2
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4
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7
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能力综合练
A.弓力的大小为200 N
B.弓力的大小为240 N
C.弦的弹力大小为240 N
D.弦的弹力大小为200 N
√
√
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11
12
弦中点受力分析如图所示
由平衡条件可知F秤=mg=240 N,弓力与F秤大小相等,故A错误,B正确;
由平衡条件得F==200 N
故C错误,D正确。
10.(多选)(2024·厦门市双十中学高一期中)如图所示,AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子,现用这两根绳子吊起一重物,O为结点,已知重物的质量m=40 kg,AO绳的拉力记为FTA,BO绳的拉力记为FTB,重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法中正确的是
A.FTA=320 N,FTB=240 N
B.FTA=240 N,FTB=320 N
C.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
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√
√
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分析重物的受力情况如图所示,FTA=mgcos 37°=320 N,
FTB=mgsin 37°=240 N,A正确,B错误;
由重物水平方向合力为零知FTAsin 37°=FTBcos 37°,所以OA绳先达到最大承受力,令FTA=720 N,此时mmaxg=,
得mmax=90 kg,C正确,D错误。
11.(多选)(2024·柳州市高级中学高一期中)如图所示,用一根长为0.8 m轻质细绳将一幅重力为10 N的画框对称悬挂在墙壁上,已知绳子能承受的最大拉力为10 N,两个水平挂钉之间的最大距离为l,此时两侧细绳的夹角为θ,则
A.θ=120° B.θ=60°
C.l= m D.l= m
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√
√
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对画框进行受力分析如图,画框受到重力G和两个大小
相等的细绳拉力F1、F2的作用而处于静止状态,当F1=
F2=Fmax=10 N时,两个水平挂钉之间的最大距离为l,由
平衡条件知F1、F2的合力F合=G=10 N,所以力F1与F2之
间的夹角是120°,故A正确,B错误;
由cos 30°=,可得两个水平挂钉之间的最大距离为l= m,故C错误,D正确。
12.如图所示,质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂,三段轻绳的结点为O,轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连,轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°,物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求:
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答案 m1g m1g
(1)轻绳OA、OB中的张力大小;
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以结点O为研究对象,进行受力分析如图,根据共点力的平衡条件:FOA与FOB的合力与重力等大反向,由几何关系得:FOA==m1g
FOB=m1gtan θ=m1g
(2)人受到的摩擦力;
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答案 m1g,水平向左
人在水平方向仅受绳OB的拉力和水平面的摩擦力Ff作用,根据平衡条件有
Ff=FOB=m1g,方向水平向左。
(3)若人的质量m2=60 kg,人与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3,欲使人在水平面上不滑动,则物体甲的质量m1最大不能超过多少
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答案 24 kg
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返回
人在竖直方向上受重力m2g和水平面的支持力FN作用,因此有FN=m2g,则Ff'=μFN=μm2g=180 N
要使人在水平面上不滑动,需满足Fmax= m1g≤Ff'
解得m1≤24 kg。5 共点力的平衡
第1课时 共点力平衡的条件 三力平衡问题
［学习目标］ 1.知道什么是共点力，理解平衡状态，掌握共点力平衡的条件(重点)。2.会根据平衡条件，利用合成法和正交分解法解决简单的三力平衡问题(重难点)。
一、共点力平衡的条件
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于平衡状态的情况，这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系，可以把上述四种情况的受力分成两类，你认为哪些情况属于同一类？你是根据什么来划分的？
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1.平衡状态：保持 或 的状态。
2.共点力的平衡条件：物体所受到的 。
3.共点力平衡条件的推论：
(1)二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小 、方向 ，作用在同一直线上。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 、 、共线。
(3)多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是所受 。
平衡状态中所说的“静止”如何理解？一个物体在某一时刻速度v=0，那么物体在这一时刻一定受力平衡吗？
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(1)只有静止的物体才受力平衡。 ( )
(2)某时刻物体的速度不为零，也可能处于平衡状态。 ( )
(3)作用在一个物体上的两个力如果是一对平衡力，则这两个力是共点力。 ( )
例1 物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
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二、三力平衡问题
如图所示，一个质量为m的物体在倾角为θ的斜面上保持静止，重力加速度为g，请分别用力的合成法和正交分解法求出物体所受的支持力和摩擦力。
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处理共点力平衡问题的常用方法
1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
注意：根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向)；
(3)根据三角函数或勾股定理解三角形。
2.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系，让尽量多的力与坐标轴重合；
(2)正交分解不在坐标轴上的各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
例2 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力各等于多大？(用两种方法进行求解)
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例3 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是 ( )
A.F= B.F=mgtan θ
C.FN= D.FN=mgtan θ
例4 (2024·玉溪市高一期末)风洞(如图甲)是测试飞机性能、研究流体力学的一种重要设备。某次飞行实验中，处于平衡状态的飞机机身水平，简化模型如图乙所示。其中发动机产生的牵引力F1沿水平方向，与机身所在平面(图中ab方向)平行；气流产生的升力F2的方向与机翼所在平面(图中cd方向)垂直，ab与cd之间的夹角为α=30°。飞机的质量为m，重力加速度为g。下列关系式正确的是 ( )
A.F1=mg B.F1=mg
C.F2=mg D.F2=2mg
答案精析
一、图甲和图丁中各力的作用线相交于同一点，这样的几个力是共点力；图乙和图丙中各力的作用线无法相交于同一点，这样的力是非共点力。
梳理与总结
1.静止 匀速直线运动
2.合力为0
3.（1）相等 相反 （2）等大 反向 （3）合力为0
思考与讨论
“静止”要满足两个条件：v=0，a=0，两者缺一不可。“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别。例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止，物体在这一时刻不一定受力平衡。
易错辨析
（1）× （2）√ （3）√
例1 （1）10 N 方向水平向左
（2）10 N
解析 （1）五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
（2）若将F1转过90°得到F1'，则F1'与其余四个力的合力F垂直，F合== N
=10 N。
二、
方法一 力的合成法
如图所示，由平衡条件和几何关系可知
FN=Fcos θ
=mgcos θ
Ff=Fsin θ
=mgsin θ
方法二 正交分解法
如图所示，建立直角坐标系，由平衡条件和几何关系可知
y方向上FN=Gy=mgcos θ
x方向上Ff=Gx=mgsin θ
例2 Gtan θ
解析
方法一 合成法
如图所示，取O点为研究对象进行受力分析，由共点力的平衡条件可知F4=F3=G
由图示几何关系可知
悬绳AO所受的拉力F1==
水平绳BO所受的拉力F2=F4tan θ=Gtan θ
方法二 正交分解法
如图所示，以O为原点建立直角坐标系，取O点为研究对象进行受力分析，悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2，
由共点力的平衡条件和几何关系可知在x方向上F2=F1x=F1sin θ ①
在y方向上F3=F1y=F1cos θ=G ②
由①②式解得，F1=，F2=Gtan θ
根据牛顿第三定律，悬绳AO和水平绳BO所受的拉力大小分别为和 Gtan θ。
例3 A ［
对滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解，根据平衡条件列方程，水平方向有：FNcos θ=F
竖直方向有：FNsin θ=mg
联立解得FN=，F=。］
例4 A ［
飞机受力分析如图所示，可得F2cos 30°=mg、F2sin 30°=F1，解得F1=mg，F2=mg。故选A。］作业26 共点力平衡的条件 三力平衡问题
1~8题每题7分,共56分
考点一 共点力平衡的条件
1.(2023·海林市高级中学高一开学考试)关于物体在共点力作用下,下列说法正确的是 ( )
A.物体的速度在某一时刻等于0,物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时,物体一定处于平衡状态
C.物体处于平衡状态,所受合力一定为0
D.物体处于平衡状态时,物体一定做匀速直线运动
2.下列图中,哪组共点力作用在一个物体上可能使物体平衡 ( )
3.一个物体受到三个共点力的作用,如果三个力的大小为如下各组中的情况,那么有可能使物体处于平衡状态的是 ( )
A.1 N 4 N 7 N B.2 N 6 N 9 N
C.2 N 5 N 8 N D.6 N 8 N 6 N
4.如图所示,一箱苹果沿着倾角为θ的斜面,以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果,它受到周围苹果对它作用力的合力的方向 ( )
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下
C.竖直向上 D.垂直斜面向上
考点二 三力平衡问题
5.(多选)如图所示,静止斜面倾角为θ,斜面上固定着竖直挡板AB,质量为m的光滑圆球静止在斜面上,挡板对球的弹力大小为FN1,斜面对球的支持力大小为FN2,重力加速度为g,则 ( )
A.FN1=mgtan θ B.FN1=mgcos θ
C.FN2= D.FN2=
6.(多选)(2023·宝鸡市陈仓区高一期末)如图,一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态,该树枝与水平方向的夹角为30°,松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是 ( )
A.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向竖直向上
B.树枝对松鼠的支持力大小为G,方向垂直树枝向上
C.树枝对松鼠的摩擦力大小为,方向沿树枝向上
D.树枝对松鼠的作用力大小等于G,方向竖直向上
7.(2023·浙江6月选考)如图所示,水平面上固定两排平行的半圆柱体,重为G的光滑圆柱体静置其上,a、b为相切点,∠aOb=90°,半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为 ( )
A.Fa=0.6G,Fb=0.4G
B.Fa=0.4G,Fb=0.6G
C.Fa=0.8G,Fb=0.6G
D.Fa=0.6G,Fb=0.8G
8.(2022·广东卷)如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时,连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点,F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小,F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是 ( )
A.F=F1 B.F=2F1
C.F=3F1 D.F=F1
9~11题每题9分,12题17分,共44分
9.(多选)(2024·宁夏银川一中高一月考)在古代,弓箭是军队与猎人使用的重要武器之一。明代宋应星在《天工开物》中记载了用秤称量弓力的方法:将一个足够重的物块捆在弓的中央,用秤钩钩住弦的中点往上拉,弦满之时,推移秤砣使秤杆水平,根据秤称量的示数即可衡量弓力大小。如图所示,若弦拉满时,秤钩两侧弦弯折的夹角恰好为106°,秤称量的示数为24 kg,取g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,则下列判断正确的是 ( )
A.弓力的大小为200 N
B.弓力的大小为240 N
C.弦的弹力大小为240 N
D.弦的弹力大小为200 N
10.(多选)(2024·厦门市双十中学高一期中)如图所示,AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子,现用这两根绳子吊起一重物,O为结点,已知重物的质量m=40 kg,AO绳的拉力记为FTA,BO绳的拉力记为FTB,重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法中正确的是 ( )
A.FTA=320 N,FTB=240 N
B.FTA=240 N,FTB=320 N
C.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断,O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
11.(多选)(2024·柳州市高级中学高一期中)如图所示,用一根长为0.8 m轻质细绳将一幅重力为10 N的画框对称悬挂在墙壁上,已知绳子能承受的最大拉力为10 N,两个水平挂钉之间的最大距离为l,此时两侧细绳的夹角为θ,则 ( )
A.θ=120° B.θ=60°
C.l= m D.l= m
12.(17分)如图所示,质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂,三段轻绳的结点为O,轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连,轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°,物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求:
(1)(6分)轻绳OA、OB中的张力大小;
(2)(4分)人受到的摩擦力;
(3)(7分)若人的质量m2=60 kg,人与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3,欲使人在水平面上不滑动,则物体甲的质量m1最大不能超过多少
答案精析
1.C 2.C 3.D 4.C
5.AD ［
圆球受重力、挡板对它的弹力和斜面对它的支持力，受力分析如图所示，
根据平衡条件和几何关系可得FN1=mgtan θ，FN2=，故选A、D。］
6.BC ［
对树枝上的松鼠进行受力分析，如图所示。
树枝对松鼠的支持力大小为
FN=Gcos 30°
=G，
方向垂直树枝向上，故A错误，B正确；摩擦力大小Ff=Gsin 30°=，方向沿树枝向上，C正确；根据平衡条件可知，树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大反向，即大小等于G，方向竖直向上，故D错误。］
7.D ［对光滑圆柱体受力分析如图，由题意有Fa=Gsin 37°=0.6G，Fb=Gcos 37°=0.8G，故选D。］
8.D ［
以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ=30°，
在竖直方向上，
由平衡条件可得
F1cos 30°+F2cos 30°=F，又F1=F2，
可得F=F1，故D正确，A、B、C错误。］
9.BD ［
弦中点受力分析如图所示
由平衡条件可知F秤=mg=240 N，弓力与F秤大小相等，故A错误，B正确；
由平衡条件得F==200 N
故C错误，D正确。］
10.AC ［
分析重物的受力情况如图所示，FTA=mgcos 37°=320 N，FTB=mgsin 37°=240 N，A正确，B错误；由重物水平方向合力为零知FTAsin 37°=FTBcos 37°，所以OA绳先达到最大承受力，令FTA=720 N，此时mmaxg=，得mmax=90 kg，C正确，D错误。］
11.AD ［
对画框进行受力分析如图，画框受到重力G和两个大小相等的细绳拉力F1、F2的作用而处于静止状态，当F1=F2=Fmax=10 N时，两个水平挂钉之间的最大距离为l，由平衡条件知F1、F2的合力F合=G=10 N，所以力F1与F2之间的夹角是120°，故A正确，B错误；由cos 30°=，可得两个水平挂钉之间的最大距离为l= m，故C错误，D正确。］
12.（1）m1g m1g （2）m1g，水平向左 （3）24 kg
解析
（1）以结点O为研究对象，进行受力分析如图，根据共点力的平衡条件：FOA与FOB的合力与重力等大反向，由几何关系得：FOA=
=m1g
FOB=m1gtan θ=m1g
（2）人在水平方向仅受绳OB的拉力和水平面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有Ff=FOB=m1g，方向水平向左。
（3）人在竖直方向上受重力m2g和水平面的支持力FN作用，因此有FN=m2g，则Ff'=μFN=μm2g=180 N
要使人在水平面上不滑动，需满足Fmax= m1g≤Ff'
解得m1≤24 kg。
