26.2 反比例函数综合应用
【考点 1 行程与工程应用】
【考点 2 物理学中的应用】
【考点 3 经济学的应用】
【考点 4 生活中其他的应用】
【考点 5 反比例函数与一次函数综合】
【考点 1 行程与工程应用】
【典例 1】（2023 西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河
的某标段工程需要运送的土石方总量为 300000 立方米，某运输公司承担了该项工程运送
土石方的任务．
（1）设该运输公司平均的运送速度为 y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间
为 x（单位：天）．
①请直接写出 y 与 x 的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方 6000 立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长
时间？
（2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多 2500 立方米，
结果工期比原计划减少了 10 天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．
【变式 1-1】（2023 秋 顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程
所需的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．
（1）请写出这个反比例函数的解析式．
（2）甲乙两地间的距离是 km．
（3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过 120km/h，若汽车行驶全程不进入服务
区休息，且要求在 4.5h 以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．
【变式 1-2】（2023 松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架
的工程，所需天数 y（单位：天）与每天完成的工程量 x（单位：m/天）之间的函数关系
图象是如图所示的双曲线的一部分．
（1）请根据题意，求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15m，则该工程队需用多
少天才能完成此项任务？
【变式 1-3】（2023 滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总
量为 106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为 y 立方米，完成运送任务所需时间为 t 天．
①求 y 关于 t 的函数表达式．
②当 0＜t≤80 时，求 y 的取值范围．
（2）若 1 辆卡车每天可运送土石方 102立方米，工期要求在 80 天内完成，公司至少要安
排多少辆相同型号卡车运输？
【考点 2 物理学中的应用】
【典例 2】（2023 春 宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受
的压强 P（Pa）是它的受力面积 S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P 关于 S 的函数关系式为 ．
（2）求当 S＝0.25m2时，物体所受的压强是 Pa．
（3）当 1000＜P＜4000 时，求受力面积 S 的变化范围．
【变式 2-1】（2023 南海区校级模拟）小明利用如图 1 所示的电路探究电流与电阻的关系，
已知电源电压为 3V 且保持不变，更换了 5 个阻值不同的定值电阻 Rx，依据五次实验的
数据描点绘制了如图 2 所示的图象，已知 I 与 Rx 成反比例函数关系．以下说法不正确的
是（ ）
A．本实验中电压表的读数为 2.5V
B．当定值电阻 Rx＝10Ω 时，电流表的示数为 0.25A
C．当电流表的示数为 0.1A 时，定值电阻 Rx＝20Ω
D．电流 I 与电阻 Rx之间的函数关系式为
【变式 2-2】（2023 平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需
药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝
阻力×阻力臂）．如图 1，当天平左盘放置质量为 60 克的物品时，右盘中放置 20 克砝码
天平平衡；如图 2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置 12 克砝码，才可使天平再次平
衡，则该药品质量是（ ）
A．6 克 B．4 克 C．3.5 克 D．3 克
【变式 2-3】（2023 大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两
端电压 U（单位：V）一定时，通过导体的电流 I（单位：A）与导体的电阻 R（单位：
Ω）满足关系式 ，其中 I 与 R 满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当 I＝1A
时，R＝3Ω．
（1）求电流 I 关于电阻 R 的函数关系式；
（2）若 1.5A≤I≤7.5A，求电阻 R 的变化范围．
【考点 3 经济学的应用】
【典例 3】（2023 前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量 y
与上市的天数 x 之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量 y 与上市的天数 x 之间成
反比例函数（如图所示），现已知上市 20 天时，当日销售量为 100 件．
（1）写出该商品上市以后日销售量 y 件与上市的天数 x 天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于 80 件，并且持续天数不少于 10 天时，广告设计
师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并
说明理由？
【变式 3-1】（2022 秋 顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空
调，计划是每天组装的数量 y（台/天）与组装的时间 x（天）之间的关系如下表：
组装的时间 x（天） 30 45 60
每天组装的数量（y 台 300 200 150
/天）
（1）求 y 关于 x 的关系式；
（2）某商场以进货价为每台 2500 元购进这批空调．调查发现，当销售价为 2900 元时，
平均每天能售出 8 台；当销售价每降低 100 元时，平均每天就能多售出 4 台．商场要想
这批空调的销售利润平均每天达到 3500 元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为
多少元？
【变式 3-2】（2022 春 邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与
上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已
知上市 30 天时，当日销售量为 120 万件．
（1）写出该商品上市以后销售量 y（万件）与时间 x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第 100 天（含第 100 天），日销售量在 36 万件以下（不含 36 万件）的天
数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于 100 万件，并且持续天数不少于 12 天时，广告设
计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
（说明：天数可以为小数，如 3.14 天等）
【变式 3-3】（2022 抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，
余额要在 30 个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为 12 万元的汽车，
交了首付款后平均每月付款 y 万元，x 个月结清．y 与 x 的函数关系如图所示，根据图象
回答下列问题：
（1）确定 y 与 x 的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用 20 个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过 4000 元，王先生至少要几个月才能结清余额？
【考点 4 生活中其他的应用】
【典例 4】（2023 春 原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用
药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间
x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间 x（分钟）成反比例，如图所
示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求当药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式；求药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进入教室，则从
消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
【变式 4-1】（2022 秋 渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对
教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量 y
（mg）与燃烧时间 x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于 3mg 时，对人体无毒害作用．从消毒
开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
【变式 4-2】（2022 冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水
机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10℃，待加
热到 100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y（℃）与和通电时间 x（min）
成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温
和室温均为 20℃，接通电源后，水温 y（℃）和通电时间 x（min）的关系如图所示，回
答下列问题：
（1）分别求出当 0≤x≤8 和 8≤x≤a 时，y 与 x 之间的函数表达式；
（2）求出图中 a 的值；
（3）李老师这天早上 7：30 将饮水机电源打开，若他想在 8：10 上课前喝到不低于 40℃
的开水，则他要在什么时间段内接水？
【变式 4-3】（2023 春 靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝 0.25kg 低度白酒后，
1.5 小时内其血液中酒精含量 y（毫克/百毫升）与时间 x（时）成正比例；1.5 小时后（包
括 1.5 小时）y 与 x 成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般情况下，成人喝 0.25kg 低度白酒后，y 与 x 之间的函数关系式及相应的自
变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于
“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：00 在家喝完
0.25kg 低度白酒，第二天早上 7：00 能否驾车去上班？请说明理由．
【考点 5 反比例函数与一次函数综合】
【典例 5】（2023 秋 朝阳期末）如图，一次函数 y＝k1x+b 与反比例函数 y＝ （x＞0）的
图象交于 A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和 n 的值；
（2）根据图象直接写出不等式 k1x+b 的 x 的取值范围；
（3）求△AOB 的面积．
【变式 5-1】（2023 开阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）
的图象与反比例函数 y2＝ （m≠0）的图象相交于第一，三象限内的 A（3，5），B（a，
﹣3）两点，与 x 轴交于点 C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在 y 轴上找一点 P 使 PB﹣PC 最大，求 PB﹣PC 的最大值．
【变式 5-2】（2023 春 清江浦区期末）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝
的图象交于点 A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式 kx+b≥ 的解集；
（3）若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 的面积为 10，求点 P 的坐标．
一、单选题
1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为 m 的气体，当改变容积 V 时，气体的
m
密度 p 也随之改变，与 V 在一定范围内满足 r = ，它的图象如的质量 m 为（
V ）
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
2 2．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa 是它的受力面积 S m
的反比例函数，其函数图象如图所示．当 S = 0.25m2时，该物体承受的压强 p 的值为（ ）
A．400 B．600 C．800 D．1000
U
3．根据欧姆定律 I = 可知，若一个灯泡的电压 U（V）保持不变，通过灯泡的电流 I（A）
R
越大，则灯泡就越亮．当电阻 R = 30W 时，可测得某灯泡的电流 I = 0.4 A．若电压保持不变，
电阻 R 减小为 15Ω 时，该灯泡亮度的变化情况为（ ）
A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定
4．有一段平直的公路 AB ，A 与 B 间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车
辆经过 A 和 B 处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差 t s 输入程序后，随即输出此车
在 AB 段的平均速度 v km h ，则 v 与 t 间的关系式为（ ）
v 50 v 180 v 125 360A． = B． = C． = D． v =
t t 9t t
5．嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流 I (A) 随着电阻
R(W)的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小
电阻为1.5W ，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 24A B．最大电流是 27A
C．最小电流是36A D．最小电流是 24A
6．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小
康通过改变动力臂 L，测量出相应的动力F 数据如下表：（动力 动力臂=阻力 阻力臂）请
根据表中数据规律探求，当动力臂 L长度为 2.0m时，所需动力最接近的是（ ）
动力臂 (L / m) … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力 (F / N) … 600 302 200 a 120 …
A．300N B．180N C．150N D．120N
7．已知某电路的电流 I A 与电阻R Ω 的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．当电流为 4A 时，该电路电阻为3W B．当电流为 2A 时，该电路电压为6V
C．当电阻为5W 时，该电路电流为 2.4A D．该电路的电流随着电阻的增大而减小
8．已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流 I（单位：A）
与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．蓄电池的电压是 10V B．当 I 5A 时，R 4.8Ω
6
C．反比例函数关系式为 I = D．当R = 3WR 时， I = 4A
二、填空题
9．小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点 O 的左侧固定
位置 B 处悬挂重物 A，在中点 O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的
距离 x（单位：cm），观察弹簧秤的示数 y（单位：N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x/ cm … 10 15 20 25 30 …
y/ N … 60 40 30 24 20 …
猜测 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量 x 的取
值范围）
10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例，y 关于 x 的
函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由 0.125 米调整到 0.4 米，
则近视眼镜的度数减少了 度．
11．杠杆平衡时，“阻力 阻力臂= 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N 和
0.5m，动力为F (N) ，动力臂为 l(m)．则动力F 关于动力臂 l的函数表达式为 ．
U 2
12．图 1 是某电路图，滑动变阻器为 R ，电源电压为U ，电功率为P P = ÷，P 关于 R 的
è R
函数图象如图 2 所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当 R 从10W增加到 20W时，电功率
P 减少了20w，则当R =15W 时， P 的值为 w．
13．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气
3
中含药量 y mg / m 与药物点燃后的时间 x min 成正比例，药物燃尽后， y 与 x 成反比例，
已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．根据灭蚊药品使用说
明，当每立方米空气中含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能有效杀灭室内的
蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟．
14．图 1 是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变
化来实现．该台灯的电流 I A 与电阻R W 成反比例函数，其图象如图 2 所示，该图象经过
点P 880,0.25 ．根据图象可知，当880 < R < 1000时， I 的取值范围是 ．
15．某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第 5 分钟起每分钟每毫
升血液中含药量增加 0.1 微克，第 100 分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时 y 与 x 成反比
例函数关系．血液中含药量 y(微克)与时间 x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量 y(微克)与时间 x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于 5 微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过 130
分钟吗？
16．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 20℃，加热到100℃时，饮水机
自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温 y （单位：℃）与通电时间 x
（单位：min ）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过
程．设某天水温和室温均为 20℃，接通电源后，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示．
(1)在降温过程中，求 y 关于 x 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
(2)在一个加热周期内，求水温不低于40℃的时间．
17．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试
验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 y ℃ 与时间 x h 之间的函数关系，
其中线段 AB 、BC 表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
(2)若大棚内的温度低于12℃时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤
害？26.2 反比例函数综合应用
【考点 1 行程与工程应用】
【考点 2 物理学中的应用】
【考点 3 经济学的应用】
【考点 4 生活中其他的应用】
【考点 5 反比例函数与一次函数综合】
【考点 1 行程与工程应用】
【典例 1】（2023 西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河
的某标段工程需要运送的土石方总量为 300000 立方米，某运输公司承担了该项工程运送
土石方的任务．
（1）设该运输公司平均的运送速度为 y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间
为 x（单位：天）．
①请直接写出 y 与 x 的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方 6000 立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长
时间？
（2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多 2500 立方米，
结果工期比原计划减少了 10 天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．
【答案】（1）①y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x＞0，y＞0）；②公司完成全部运
输任务需要 50 天；
（2）该公司原计划每天运送土石方 7500 立方米．
【解答】解：（1）①根据题意得：yx＝300000，
∴y＝ ，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x＞0，y＞0）；
②当 y＝6000 时，x＝ ＝50（天），
答：公司完成全部运输任务需要 50 天；
（2）设该公司原计划每天运送土石方 a 立方米，
根据题意得： ﹣ ＝10，
整理得；a2+2500a﹣30000×2500＝0，
解得 a＝7500 或 a＝﹣10000（舍去），
经检验 a＝7500 是原方程的根，
∴该公司原计划每天运送土石方 7500 立方米．
【变式 1-1】（2023 秋 顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程
所需的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．
（1）请写出这个反比例函数的解析式．
（2）甲乙两地间的距离是 90 km．
（3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过 120km/h，若汽车行驶全程不进入服务
区休息，且要求在 4.5h 以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．
【答案】（1）t＝ （v＞0）；
（2）90km；
（3）20≤v≤120．
【解答】解：（1）设这个反比例函数的解析式是 ，
代入（10，9）得 k＝90，
∴解析式 t＝ （v＞0）；
（2）由（1）得，
∵k＝90，
∴甲乙两地间的距离是 90km．
故答案为：90；
（3）将 t＝4.5 代入 ，得 v＝20，
∴20≤v≤120．
【变式 1-2】（2023 松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架
的工程，所需天数 y（单位：天）与每天完成的工程量 x（单位：m/天）之间的函数关系
图象是如图所示的双曲线的一部分．
（1）请根据题意，求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15m，则该工程队需用多
少天才能完成此项任务？
【答案】（1） ．
（2）40 天．
【解答】解：（1）设 ，
∵点（24，50）在其图象上，
∴50＝ ，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为 ．
（2）由题意知，2 台挖掘机每天能够开挖水渠 15×2＝30（米），
当 x＝30 时，y＝ ＝40，
答：该工程队需要用 40 天才能完成此项任务．
【变式 1-3】（2023 滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总
量为 106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为 y 立方米，完成运送任务所需时间为 t 天．
①求 y 关于 t 的函数表达式．
②当 0＜t≤80 时，求 y 的取值范围．
（2）若 1 辆卡车每天可运送土石方 102立方米，工期要求在 80 天内完成，公司至少要安
排多少辆相同型号卡车运输？
【答案】（1）①y 关于 t 的函数表达式为 y＝ ；②y 的取值范围为 y≥12500；（2）
公司至少要安排 125 辆相同型号卡车运输．
【解答】解：（1）①由题意得；y＝ ，
∴y 关于 t 的函数表达式为 y＝ ；
②当 0＜t≤80 时，y 随 t 的增大而减小，
∴当 t＝80 时，y 有最小值为 ＝12500，
当 t 接近于 0，y 的值越来越接近 y 轴，趋于无穷大，
∴y 的取值范围为 y≥12500；
（2）设至少要安排 x 辆相同型号卡车运输，
依题意得：102x×80≥106，
解得：x≥125，
∴公司至少要安排 125 辆相同型号卡车运输．
【考点 2 物理学中的应用】
【典例 2】（2023 春 宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受
的压强 P（Pa）是它的受力面积 S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P 关于 S 的函数关系式为 P＝ ，（S＞0） ．
（2）求当 S＝0.25m2时，物体所受的压强是 400 Pa．
（3）当 1000＜P＜4000 时，求受力面积 S 的变化范围．
【答案】（1）P＝ ，（S＞0）；（2）400；（3）0.025＜S＜0.1．
【解答】解：（1）设 P＝ ，
∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，
∴1000＝ ．
∴k＝100．
∴P 与 S 的函数关系式为 P＝ ，（S＞0）．
故答案为：P＝ ，（S＞0）．
（2）当 S＝0.25m2时，P＝ ＝400（pa）．
故答案为：400．
（3）令 P＝1000，S＝ ＝0.1（m2），
令 P＝4000，S＝ ＝0.025（m2），
∴当 1000＜p＜4000 时，0.025＜S＜0.1．
【变式 2-1】（2023 南海区校级模拟）小明利用如图 1 所示的电路探究电流与电阻的关系，
已知电源电压为 3V 且保持不变，更换了 5 个阻值不同的定值电阻 Rx，依据五次实验的
数据描点绘制了如图 2 所示的图象，已知 I 与 Rx 成反比例函数关系．以下说法不正确的
是（ ）
A．本实验中电压表的读数为 2.5V
B．当定值电阻 Rx＝10Ω 时，电流表的示数为 0.25A
C．当电流表的示数为 0.1A 时，定值电阻 Rx＝20Ω
D．电流 I 与电阻 Rx之间的函数关系式为
【答案】C
【解答】解：由图象可知，电流 I 与电阻 Rx之积为 0.5×5＝2.5V，
∴本实验中电压表的读数为 2.5 V，
∴电流 I 与电阻 Rx之间的函数关系式为 ，选项 A，D 正确，故该选项不符合题意；
当 Rx＝10Ω 时， A，选项 B 正确，故该选项不符合题意；
当 I＝0.1A 时，由图象可知 R＝25Ω≠20Ω，选项 C 错误，故该选项符合题意．
故选：C．
【变式 2-2】（2023 平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需
药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝
阻力×阻力臂）．如图 1，当天平左盘放置质量为 60 克的物品时，右盘中放置 20 克砝码
天平平衡；如图 2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置 12 克砝码，才可使天平再次平
衡，则该药品质量是（ ）
A．6 克 B．4 克 C．3.5 克 D．3 克
【答案】B
【解答】解：设该药品质量是 x 克，由题意，得
，
解得：x＝4，
答：该药品质量是 4 克．
故选：B．
【变式 2-3】（2023 大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两
端电压 U（单位：V）一定时，通过导体的电流 I（单位：A）与导体的电阻 R（单位：
Ω）满足关系式 ，其中 I 与 R 满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当 I＝1A
时，R＝3Ω．
（1）求电流 I 关于电阻 R 的函数关系式；
（2）若 1.5A≤I≤7.5A，求电阻 R 的变化范围．
【答案】（1）电流 I 关于电阻 R 的函数关系式为 ；
（2）若 1.5A≤I≤7.5A 时，电阻 R 的变化范围为 0.4Ω≤R≤2Ω．
【解答】解：（1）设 I 与 R 满足反比例函数关系为 ，
根据图象可知，该函数过点（1，3），
∴ ，
∴k＝3，
∴ ，
∴电流 I 关于电阻 R 的函数关系式为 ；
（2）当 I＝1.5A 时，R＝2Ω，
当 I＝7.5A 时，R＝0.4Ω，
∴若 1.5A≤I≤7.5A 时，电阻 R 的变化范围为 0.4Ω≤R≤2Ω
【考点 3 经济学的应用】
【典例 3】（2023 前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量 y
与上市的天数 x 之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量 y 与上市的天数 x 之间成
反比例函数（如图所示），现已知上市 20 天时，当日销售量为 100 件．
（1）写出该商品上市以后日销售量 y 件与上市的天数 x 天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于 80 件，并且持续天数不少于 10 天时，广告设计
师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并
说明理由？
【答案】（1）y＝ ；
（2）设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【解答】解：（1）当 0＜x≤20 时，设 y＝k1x，把（20，100）代入得 k1＝5，
∴y＝5x；
当 x≥20 时，设 y＝ ，把（20，100）代入得 k2＝2000，
∴y＝ ；
（2）当 0＜x≤20 时，又 5x≥80 得，x≥16，即 16≤x≤20，有 5 天；
当 x＞20 时，由 ≥80，
解得：x≤25，即 20＜x≤25，有 5 天，
共有 5+5＝10（天），
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【变式 3-1】（2022 秋 顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空
调，计划是每天组装的数量 y（台/天）与组装的时间 x（天）之间的关系如下表：
组装的时间 x（天） 30 45 60
每天组装的数量（y 台 300 200 150
/天）
（1）求 y 关于 x 的关系式；
（2）某商场以进货价为每台 2500 元购进这批空调．调查发现，当销售价为 2900 元时，
平均每天能售出 8 台；当销售价每降低 100 元时，平均每天就能多售出 4 台．商场要想
这批空调的销售利润平均每天达到 3500 元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为
多少元？
【答案】（1）y 关于 x 的关系式为 ；
（2）每台空调的定价为 2750 元．
【解答】解：（1）∵30×300＝45×200＝60×150＝9000，
∴y 关于 x 的函数关系为反比例函数关系，
设 y 关于 x 的函数解析式为 ，
把 x＝30，y＝300 代入 得， ，
解得 k＝9000，
∴y 关于 x 的关系式为 ；
（2）设销售单价降低 x 元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销
售量为 台，
依题意得： ，
整理得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝150，x2＝50，
让顾客得到最大优惠，销售单价应降低 150 元，
∴每台空调的定价为 2900﹣150＝2750（元）．
答：每台空调的定价为 2750 元．
【变式 3-2】（2022 春 邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与
上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已
知上市 30 天时，当日销售量为 120 万件．
（1）写出该商品上市以后销售量 y（万件）与时间 x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第 100 天（含第 100 天），日销售量在 36 万件以下（不含 36 万件）的天
数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于 100 万件，并且持续天数不少于 12 天时，广告设
计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
（说明：天数可以为小数，如 3.14 天等）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当 0＜x≤30 时，设 y＝k1x，把（30，120）代入得 k1＝4，∴y＝4x；
当 x≥30 时，设 y＝ ，把（30，120）代入得 k2＝3600，
∴y＝ ；
（2）当 0＜x≤30 时，由 4x＜36，
解得：x＜9，
即 0＜x＜9；
当 30＜x≤100 时，由 ＜36，
解得：x＞100，
不合条件，
∴共有 8 天；
（3）当 0＜x≤30 时，又 4x≥100 得，x≥25，即 25≤x≤30，有 6 天；
当 x＞30 时，由 ≥100，解得：x≤36，即 30＜x≤36，有 6 天，
共有 6+6＝12 天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【变式 3-3】（2022 抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，
余额要在 30 个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为 12 万元的汽车，
交了首付款后平均每月付款 y 万元，x 个月结清．y 与 x 的函数关系如图所示，根据图象
回答下列问题：
（1）确定 y 与 x 的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用 20 个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过 4000 元，王先生至少要几个月才能结清余额？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图象可知 y 与 x 成反比例，设 y 与 x 的函数关系式为 y＝ ，
把（5，1.8）代入关系式得 1.8＝ ，
∴k＝9，
∴y＝ ，
∴12﹣9＝3（万元）．
答：首付款为 3 万元；
（2）当 x＝20 时，y＝ ＝0.45（万元），
答：每月应付 0.45 万元；
（3）当 y＝0.4 时，0.4＝ ，
解得：x＝ ，
答：他至少 23 个月才能结清余款．
【考点 4 生活中其他的应用】
【典例 4】（2023 春 原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用
药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间
x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间 x（分钟）成反比例，如图所
示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求当药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式；求药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进入教室，则从
消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
【答案】（1）正比例函数关系式是 y＝2x，反比例函数关系式是 y＝ ；（2）从消毒开
始，至少需要经过 20 分钟后，学生才能回到教室．
【解答】解：（1）设正比例函数关系式为 y＝mx，设反比例函数关系式为 y＝ ，
由图象可知，点（4，8）在函数图象上，
∴8＝4m，8＝ ，
∴m＝2，k＝32，
∴正比例函数关系式是 y＝2x，反比例函数关系式是 y＝ ．
（2）当 y＝1.6 时，x＝ ＝20．
则从消毒开始，至少需要经过 20 分钟后，学生才能回到教室．
【变式 4-1】（2022 秋 渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对
教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量 y
（mg）与燃烧时间 x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于 3mg 时，对人体无毒害作用．从消毒
开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？
【答案】（1） ， ；
（2）60 分钟．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为 ，
将（24，8）代入解析式得 k＝xy＝24×8＝192，
∴反比例函数解析式为 ，
将 y＝12 代入解析式得， ，
解得：x＝16，
故 A 点坐标为（16，12），
∴反比例函数解析式为 ，
设正比例函数解析式为 y＝nx
将 A（16，12）代入得： ，
∴正比例函数解析式为 ；
（2）由 可得：当 y＝3 时， ，
由 可得：当 y＝3 时，x＝4，
由函数图象可得：当 4≤x≤64 时，y≥3 毫克，
∵64﹣4＝60 分钟，
∴师生至少在 60 分钟内不能进入教室．
【变式 4-2】（2022 冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水
机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10℃，待加
热到 100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y（℃）与和通电时间 x（min）
成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温
和室温均为 20℃，接通电源后，水温 y（℃）和通电时间 x（min）的关系如图所示，回
答下列问题：
（1）分别求出当 0≤x≤8 和 8≤x≤a 时，y 与 x 之间的函数表达式；
（2）求出图中 a 的值；
（3）李老师这天早上 7：30 将饮水机电源打开，若他想在 8：10 上课前喝到不低于 40℃
的开水，则他要在什么时间段内接水？
【答案】（1）当 0≤x≤8 时，y＝10x+20；当 8＜x≤a 时，y＝ ；
（2）a＝40；
（3）李老师要在 7：38 到 7：50 之间接水．
【解答】解：（1）当 0≤x≤8 时，设 y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入 y＝k1x+b 得 ，
解得 k1＝10，b＝20，
∴当 0≤x≤8 时，y＝10x+20，
当 8＜x≤a 时，设 y＝ ，
将（8，100）的坐标代入 y＝ ，
得 k2＝800，
∴当 8＜x≤a 时，y＝ ．
综上，当 0≤x≤8 时，y＝10x+20；当 8＜x≤a 时，y＝ ；
（2）将 y＝20 代入 y＝ ，
解得 x＝40，
即 a＝40；
（3）当 y＝40 时，x＝ ＝20．
∴要想喝到不低于 40℃的开水，x 需满足 8≤x≤20，
即李老师要在 7：38 到 7：50 之间接水．
【变式 4-3】（2023 春 靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝 0.25kg 低度白酒后，
1.5 小时内其血液中酒精含量 y（毫克/百毫升）与时间 x（时）成正比例；1.5 小时后（包
括 1.5 小时）y 与 x 成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般情况下，成人喝 0.25kg 低度白酒后，y 与 x 之间的函数关系式及相应的自
变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于
“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：00 在家喝完
0.25kg 低度白酒，第二天早上 7：00 能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）第二天早上 7：00 不能驾车去上班，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得：当 0≤x＜1.5 时，
设函数关系式为：y＝kx，则 150＝1.5k，解得：k＝100，
故 y＝100x（0≤x＜1.5），
当 x≥1.5 时，设函数关系式为： ，则 a＝150×1.5＝225，解得：a＝225，
故 ，
综上所述：y 与 x 之间的两个函数关系式为： ，
（2）第二天早上 7：00 不能驾车去上班．
∵晚上 8：00 到第二天早上 7：00 有 11 个小时，
∴x＝11 时， ，
∴第二天最早上 7：00 不能驾车去上班．
【考点 5 反比例函数与一次函数综合】
【典例 5】（2023 秋 朝阳期末）如图，一次函数 y＝k1x+b 与反比例函数 y＝ （x＞0）的
图象交于 A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和 n 的值；
（2）根据图象直接写出不等式 k1x+b 的 x 的取值范围；
（3）求△AOB 的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，n）在 y＝ 的图象上，
∴k2＝6，
∴反比例函数的解析式是 y＝ ．
∴n＝ ＝2；
（2）当 0＜x＜1 或 x＞3 时，k1x+b＜ ；
（3）∵A（1，6），B（3，2）在函数 y＝k1x+b 的图象上，
∴ ，
解得： ，
则一次函数的解析式是 y＝﹣2x+8，
设直线 y＝﹣2x+8 与 x 轴相交于点 C，C 的坐标是（4，0）．
S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝ OC（|yA|﹣|yB）＝8．
【变式 5-1】（2023 开阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）
的图象与反比例函数 y2＝ （m≠0）的图象相交于第一，三象限内的 A（3，5），B（a，
﹣3）两点，与 x 轴交于点 C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在 y 轴上找一点 P 使 PB﹣PC 最大，求 PB﹣PC 的最大值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为 y2＝ ，一次函数的解析式为 y1＝x+2．
（2）3 ．
【解答】解：（1）把 A（3，5）代入 y2＝ （m≠0），可得 m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为 y2＝ ．
把点 B（a，﹣3）代入，可得 a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把 A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入 y1＝kx+b，可得 ．
∴ ．
∴一次函数的解析式为 y1＝x+2．
（2）一次函数的解析式为 y1＝x+2，令 x＝0，则 y＝2．
∴一次函数与 y 轴的交点为 P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC 最大，P 即为所求，
令 y＝0，则 x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
过 B 点向 x 轴作垂线，
由勾股定理可得：
BC＝ ＝3 ．
故所求 PB﹣PC 的最大值为 3 ．
【变式 5-2】（2023 春 清江浦区期末）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝
的图象交于点 A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式 kx+b≥ 的解集；
（3）若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 的面积为 10，求点 P 的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝ 的图象经过 B（2，3），
∴m＝2×3＝6．
∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
∵A（﹣3，n）在 y＝ 上，所以 n＝ ＝﹣2．
∴A 的坐标是（﹣3，﹣2）．
把 A（﹣3，﹣2）、B（2，3）代入 y＝kx+b．得： ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 y＝x+1．
（2）由图象可知：不等式 kx+b≥ 的解集是﹣3≤x＜0 或 x≥2；
（3）设直线与 x 轴的交点为 D，
∵把 y＝0 代入 y＝x+1 得：0＝x+1，
x＝﹣1，
∴D 的坐标是（﹣1，0），
∵P 为 x 轴上一点，且△ABP 的面积为 10，A（﹣3，﹣2），B（2，3），
∴ DP×2+ DP×3＝10，
∴DP＝4，
∴当 P 在负半轴上时，P 的坐标是（﹣5，0）；
当 P 在正半轴上时，P 的坐标是（3，0），
即 P 的坐标是（﹣5，0）或（3，0）．
一、单选题
1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为 m 的气体，当改变容积 V 时，气体的
m
密度 p 也随之改变，与 V 在一定范围内满足 r = ，它的图象如的质量 m 为（
V ）
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数 k 值的求法，根据反比例函数的性质求出 m 值即可．
【详解】解：m = xy = 5 1.4 = 7kg，
故选：D．
2 2．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa 是它的受力面积 S m
的反比例函数，其函数图象如图所示．当 S = 0.25m2时，该物体承受的压强 p 的值为（ ）
A．400 B．600 C．800 D．1000
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式
是解题关键．本题先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把 S = 0.25代入，问题得解．
k
【详解】解：设反比例函数的解析式为 p = k 0 ，
S
由函数图象得反比例函数经过点 0.1,1000 ，
∴ k = 0.1 1000 =100，
100
∴反比例函数的解析式为 p = ，
S
100
当 S = 0.25时， p = = 400．
0.25
故答案为：A．
3．根据欧姆定律 I
U
= 可知，若一个灯泡的电压 U（V）保持不变，通过灯泡的电流 I（A）
R
越大，则灯泡就越亮．当电阻 R = 30W 时，可测得某灯泡的电流 I = 0.4 A．若电压保持不变，
电阻 R 减小为 15Ω 时，该灯泡亮度的变化情况为（ ）
A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，根据题意求出电压是解题的关键．根
据欧姆定律，结合已知条件可求出电压U = IR =12 （V），若电压保持不变，电阻 R 减小为
15Ω 时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解．
U
【详解】解：Q I = ，当R = 30W 时， I = 0.4 A，
R
\ U = IR = 0.4 30 =12（V），
若电压保持不变，即U =12 （V），电阻 R 减小为 15Ω 时，
I U 12则 = = = 0.8 > 0.4 ，电流变大了，
R 15
\ 灯泡亮度的变化情况为变亮．
故选：B．
4．有一段平直的公路 AB ，A 与 B 间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车
辆经过 A 和 B 处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差 t s 输入程序后，随即输出此车
在 AB 段的平均速度 v km h ，则 v 与 t 间的关系式为（ ）
v 50 v 180 v 125 v 360A． = B． = C． = D． =
t t 9t t
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系
“速度=路程 时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键．
【详解】解：∵1m s = 3.6km h，
v 50\ = 3.6 180= ，
t t
故选：B．
5．嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流 I (A) 随着电阻
R(W)的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小
电阻为1.5W ，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 24A B．最大电流是 27A
C．最小电流是36A D．最小电流是 24A
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数
关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
U
可设 I = ，由于点 (4,9) 代入这个函数解析式，则可求得 k 的值，然后代入R =1.5求得 I 的
R
值即可．
U
【详解】解：根据电压=电流 电阻，设 I = ，
R
将点 (4,9) 代入，
可得：9
U
= ，
4
解得：U = 36，
36
\ I = ，
R
36
若该电路的最小电阻值为1.5W ，该电路能通过的最大电流是 = 24(A) ，
1.5
故选：A．
6．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小
康通过改变动力臂 L，测量出相应的动力F 数据如下表：（动力 动力臂=阻力 阻力臂）请
根据表中数据规律探求，当动力臂 L长度为 2.0m时，所需动力最接近的是（ ）
动力臂 (L / m) … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力 (F / N) … 600 302 200 a 120 …
A．300N B．180N C．150N D．120N
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设
L k k 300= ，将 0.5,600 代入 L = 得出 L = ，再令 L = 2.0，计算即可得解，解题的关键是
F F F
从表格中得出动力臂与动力成反比的关系．
【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，
L k设 = k 0 ，
F
将 0.5,600 代入 L k= 得：600 k= ，
F 0.5
解得： k = 300，
L 300\ = ，
F
2.0 300把 L = 2.0代入得： = ，
F
解得：F =150，
即当动力臂 L长度为 2.0m时，所需动力最接近的是 a =150．
故选：C．
7．已知某电路的电流 I A 与电阻R Ω 的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．当电流为 4A 时，该电路电阻为3W B．当电流为 2A 时，该电路电压为6V
C．当电阻为5W 时，该电路电流为 2.4A D．该电路的电流随着电阻的增大而减小
【答案】B
U
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由欧姆定律可知 I = ，则可求出
R
I 12= ，逐一判断即可得到答案．
R
U
【详解】解：由欧姆定律可知 I = ，
R
把 6 U U，2 代入 I = 中得：2 = ，
R 6
∴U =12 ，
I 12∴ = ，
R
∴该电路的电流随着电阻的增大而减小，故 D 说法正确，不符合题意；
12
当 I = 4A 时，4 = ，解得R = 3W，故 A 说法正确，不符合题意；
R
电路中的电压恒为12V，故 B 说法错误，符合题意；
12
当R = 5W 时， I = = 2.4A，故 C 说法正确，不符合题意；
5
故选：B．
8．已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流 I（单位：A）
与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．蓄电池的电压是 10V B．当 I 5A 时，R 4.8Ω
6
C．反比例函数关系式为 I = DR ．当R = 3W时， I = 4A
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，从函数图象中获取信息，求出反比例函数的解析
式，逐一进行判断即可．
U
【详解】解：设反比例函数的解析式为 I = ，把 4,6 代入，得：
R
U = 4 6 = 24，
∴ I
24
= ，蓄电池的电压是 24V ；故选项 A，C 错误；
R
∴当 I 5A
24 24
= 时，R = = 4.8，当R = 3W时， I = = 8A ；
5 3
∴当 I 5A 时，R 4.8Ω；故选项 B 正确，选项 D 错误；
故选 B．
二、填空题
9．小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点 O 的左侧固定
位置 B 处悬挂重物 A，在中点 O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的
距离 x（单位：cm），观察弹簧秤的示数 y（单位：N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x/ cm … 10 15 20 25 30 …
y/ N … 60 40 30 24 20 …
猜测 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量 x 的取
值范围）
600
【答案】 y =
x
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，观察可知表格中每对 x 与 y 的乘积相等，
则猜测 y 与 x 之间满足反比例关系，据此利用待定系数法求解即可．
【详解】解析：Q表格中每对 x 与 y 的乘积相等，
\猜测 y 与 x 之间满足反比例关系，
k
设 y 与 x 之间的函数解析式为 y = ，
x
将点 10,60 y k代入 = ，得 k =10 60 = 600．
x
\ y 600与 x 之间的函数解析式为 y = ．
x
将其余各点代入验证均成立．
y 600故答案为： = ．
x
10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例，y 关于 x 的
函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由 0.125 米调整到 0.4 米，
则近视眼镜的度数减少了 度．
【答案】550
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，理解题意，
k
掌握待定系数法是解决问题的关键．由已知设 y = ，则由图象知点 0.25,400 满足解析式，
x
100
代入求 k = 100，则解析式为： y = ，令 x = 0.125, x = 0.4时，分别求 y 的值后作差即可得
x
解.
k
【详解】解：设 y = k 0 ，
x
Q 0.25,400 在图象上，
\k = 400 0.25 = 100，
\ y 100函数解析式为： = ，
x
y 100当 x = 0.125时， = = 800，
0.125
100
当 x = 0.4时， y = = 250，
0.4
\度数减少了800 - 250 = 550 (度)，
故答案为：550．
11．杠杆平衡时，“阻力 阻力臂= 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N 和
0.5m，动力为F (N) ，动力臂为 l(m)．则动力F 关于动力臂 l的函数表达式为 ．
800
【答案】F =
l
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得 l × F =1600 0.5，进
而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， l × F =1600 0.5，
∴ l·F = 800 F
800
，即 = ，
l
F 800故答案为： = ．
l
U 2
12．图 1 是某电路图，滑动变阻器为 R ，电源电压为U ，电功率为P P = ÷，P 关于 R 的
è R
函数图象如图 2 所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当 R 从10W增加到 20W时，电功率
P 减少了20w，则当R =15W 时， P 的值为 w．
80
【答案】
3
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为
解题的关键．
设当 R 为10W时的功率为 P，则当 R 为 20W时的功率为 P - 20 ，然后列方程组求得函数解
析式，然后将R =15W 代入计算即可．
【详解】解：设当 R 为10W时的功率为 P，则当 R 为 20W时的功率为 P - 20 ,
ì 2
P
U
=
10
由题意可得： í 2 ，
P - 20
U
=
20
解得：U 2 = 400（舍弃负值）
P 400所以 = ，
R
400 80
当R =15W 时，P = = W ．
15 3
80
故答案为： ．
3
13．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气
中含药量 y mg / m3 与药物点燃后的时间 x min 成正比例，药物燃尽后， y 与 x 成反比例，
已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．根据灭蚊药品使用说
明，当每立方米空气中含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能有效杀灭室内的
蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟．
【答案】12
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，
以及药物燃尽后 y 与 x 的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到3mg 的时间，以及每立
方米空气中含药量降到3mg 的时间，即可求解．
【详解】解：设药物燃烧时 y 与 x 的关系式为 y = kx ，
3
将 8,6 代入 y = kx ，得8k = 6，解得 k = ，
4
\ 3药物燃烧时 y 与 x 的关系式为 y = x4 ，
令 y
3
= x = 3，得 x = 44 ，
即 4 分钟后每立方米空气中含药量达到3mg ；
m
设药物燃尽后 y 与 x 的关系式为 y = ，
x
将 8,6 y m 48代入 = ，得m = 6 8 = 48，解得 y = ，
x x
y 48令 = = 3，得 x =16 ，
x
即 16 分钟后每立方米空气中含药量降到3mg ；
Q16 - 4 =12 >10，
\此次灭蚊的有效时间为12min ，
故答案为：12．
14．图 1 是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变
化来实现．该台灯的电流 I A 与电阻R W 成反比例函数，其图象如图 2 所示，该图象经过
点P 880,0.25 ．根据图象可知，当880 < R < 1000时， I 的取值范围是 ．
【答案】0.22 < I < 0.25
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决
问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出R = 880和R =1000
时对应的 I，最后观察图象即可求解．
U
【详解】解：设 I 与 R 的函数关系式是 I = U > 0 ，
R
∵图象经过点P 880,0.25 ，
U
∴ 0.25 = 880 ，
∴U = 220，
∴ I
220
= ，
R
当R = 880 I 220时， = = 0.25880 ；
当R =1000 220时， I = = 0.22R ，
∴当880 < R < 1000时， I 的取值范围是0.22 < I < 0.25．
故答案为：0.22 < I < 0.25．
15．某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第 5 分钟起每分钟每毫
升血液中含药量增加 0.1 微克，第 100 分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时 y 与 x 成反比
例函数关系．血液中含药量 y(微克)与时间 x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量 y(微克)与时间 x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于 5 微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过 130
分钟吗？
950
【答案】(1)当5 x 100时， y = 0.1x - 0.5；当 x >100 时， y =
x
(2)能超过 130 分钟，见解析
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数
值求自变量的值的方法是解题的关键．
（1）根据“从第 5 分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加 0.1 微克”可得 a的值，运用待定系
数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解；
（2）令 y = 5分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解．
【详解】（1）解：从第 5 分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加 0.1 微克，
∴ a = 0.1 100 - 5 = 9.5，
当5 x 100时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y = kx + b，
∵经过点 5,0 ， 100,9.5 ，
ì5k + b = 0
∴ í100k b 9.5， + =
ìk = 0.1
解得 íb 0.5， = -
∴ y = 0.1x - 0.5；
k
当 x >100 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y = ，
x
∵经过点 100,9.5 ，
k
∴ = 9.5，
100
y 950解得 k = 950，即 = ；
x
（2）解：令 y = 0.1x - 0.5 = 5，
解得 x = 55，
y 950令 = = 5，
x
解得 x = 190，
∴一次服药后的有效视角为：190 - 55 =135（分钟），超过130分钟．
16．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 20℃，加热到100℃时，饮水机
自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温 y （单位：℃）与通电时间 x
（单位：min ）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过
程．设某天水温和室温均为 20℃，接通电源后，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示．
(1)在降温过程中，求 y 关于 x 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
(2)在一个加热周期内，求水温不低于40℃的时间．
400
【答案】(1) y = 4 < x 20
x
(2)在一个加热周期内，水温不低于 40o C 的时间是9 min
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
k
（1）设反比例函数的表达式为 y = ，将点 4,100 代入可得 k 的值，再求出 a的值，由此
x
即可得；
（2）先求出0 x 4时，y 与 x 之间的函数表达式，再求出 y = 40 时，x 的值，由此即可得．
k
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为 y = ，
x
将点 4,100 代入得： k = 4 100 = 400，
∴ y x
400
与 之间的函数表达式为 y = ，
x
y = 20 x 400当 时， = = 2020 ，
∴ y x
400
与 之间的函数表达式为 y = 4 < x 20 ．
x
（2）解：设当0 x 4时， y 与 x 之间的函数表达式为 y = mx + n ，
ìn = 20
m = 20
将点 0,20 , 4,100
ì
代入得： í4m n 100 ，解得+ = í ， n = 20
则 y = 20x + 20 0 x 4 ，
当 y = 40 时， 20x + 20 = 40，解得 x =1，
y 400对于 = 4 < x 20 ，
x
当 y = 40
400
时， x = = 1040 ，
∵10 -1 = 9 min ，
∴加热一次，水温不低于 40°C的时间为9 min ．
17．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试
验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 y ℃ 与时间 x h 之间的函数关系，
其中线段 AB 、BC 表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
(2)若大棚内的温度低于12℃时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤
害？
【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为： 20℃．
47
(2)这天内有 小时水果生长不受伤害．
3
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键．
（1）设线段 AB 解析式为 y = kx + b(k 0)，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即
可；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函
数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出
y = 12 时 x 的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设线段 AB 解析式为 y = kx + b(k 0)，
∵线段 AB 过点 (0,10) ， (2,14)，
ì b =10
∴ í
2k b
，
+ =14
ì k = 2
解得 í ，
b =10
∴线段 AB 的解析式为： y = 2x +10 0 x 5
当 x = 5时， y = 20 ，
∴这个恒温系统设定的恒定温度为： 20℃．
（2）解：根据解析（1）可知，线段 AB 的解析式为： y = 2x +10 0 x 5
当 x = 5时， y = 20 ，
∴B 坐标为 (5, 20) ，
∴点 C 的坐标为 10,20 ，
∴线段BC 的解析式为： y = 20 5 x 10 ，
m
设双曲线CD解析式为： y = m 0
x
∵ C 10,20 ，
∴ .m = 200，
200
∴双曲线CD的解析式为： y = 10 x 24 ，
x
∵当0 x 5时，12 = 2x +10，
∴ x =1，
12 200∵当10 x 24时， = ，
x
x 50∴ = ，
3
50 47
∴气温不低于12℃的适宜温度是： -1 = h ．
3 3
47
答：这天内有 小时水果生长不受伤害．
3
