专题强化 动态平衡问题
[学习目标] 1.掌握构建矢量平行四边形或三角形的方法,并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。
动态平衡:平衡问题中的一部分力是变力,是动态力,力的大小或方向缓慢变化,所以叫动态平衡,这是共点力平衡问题中的一类题型。
一、用图解法解决动态平衡问题
如图所示,A、B为同一水平线上的两个绕绳装置,转动A、B改变绳的长度,使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中,两绳之间的夹角如何变化 请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。
答案 如图所示,作出矢量平行四边形,两拉力F1、F2的合力为F,由平衡条件可知F=G,物体C下降的过程中,θ不断减小,则F1、F2不断变小。
例1 如图所示,用网兜把足球挂在竖直墙面上,悬绳对网兜的拉力为FT,墙壁对足球的支持力为FN,若不计墙面摩擦,缓慢增加悬绳的长度,下列选项正确的是 ( )
A.FT和FN都增大
B.FT和FN都减小
C.FT减小,FN增大
D.FT增大,FN减小
答案 B
解析 对足球受力分析,如图甲,足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN;画出力的矢量三角形,如图乙,缓慢增加悬绳长度过程中,重力不变,支持力的方向不变,悬线与墙壁间的夹角减小,由图乙可知,FT与FN均变小,故选B。
例2 (多选)(2024·昆明市高一期末)如图所示,轻质细绳AO与BO的一端系在半圆形支架上,另一端系于结点O,结点O下端用细绳悬挂一重物Q。初始时细绳AO与水平方向夹角为60°,细绳BO处于水平方向,结点O位于半圆的圆心处。现将细绳B端沿支架顺时针方向缓慢转动60°,细绳AO的位置保持不变,在此过程中下列说法正确的是 ( )
A.细绳AO的拉力一直在变小
B.细绳AO的拉力先变小后变大
C.细绳BO的拉力一直在变大
D.细绳BO的拉力先变小后变大
答案 AD
解析 对结点O受力分析,如图所示,由矢量三角形可知,细绳AO的拉力一直在变小,细绳BO的拉力先变小后变大。故选A、D。
物体受三个力而处于动态平衡时,首先对物体进行受力分析,并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
(1)先画出大小、方向都不变的恒力;
(2)再画出方向不变、大小可变的力,并把表示此力的线段适当画长一些;
(3)明确方向变化的力的方向如何变化,并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。
注意:当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。
二、用解析法解决动态平衡问题
例1中,如果不用动态图解法,能否通过平行四边形定则利用函数关系式,求出FT、FN如何变化
答案
由cos θ=,得FT=,
由tan θ=得FN=mgtan θ
所以,当增大悬绳的长度时θ变小,故FT减小,FN减小。
例3 如图所示,光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内,A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下,缓慢地由A向B运动,F始终沿轨道的切线方向,轨道对球的弹力为FN。在运动过程中 ( )
A.F增大,FN增大 B.F减小,FN减小
C.F增大,FN减小 D.F减小,FN增大
答案 C
解析 对小球进行受力分析,它受到重力、支持力和拉力的作用,如图所示。根据共点力平衡条件有:FN=Gcos θ,F=Gsin θ,其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角,当小球向上移动时,θ变大,故FN减小,F增大,故选C。
例4 (多选)如图所示,质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端,甲放在水平地面上,乙被悬在空中,若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后,甲仍静止,则 ( )
A.绳中张力变小
B.甲对地面的压力变大
C.绳子对滑轮的力变大
D.甲所受的静摩擦力变大
答案 BD
解析 以物体乙为研究对象,得到绳子张力F=mg。以物体甲为研究对象,受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力FN=Mg-Fcos α,静摩擦力Ff=Fsin α,甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大,由数学知识得到FN变大,Ff变大,根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知,绳子对滑轮的力变小,故选B、D。
解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤:
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化,应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
三、用相似三角形解决动态平衡问题
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力是变力,大小、方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
例5 (多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R,在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮,细线的一端拴接一小球,另一端绕过定滑轮,现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点,在小球到达B点前的过程中,小球对半球的压力FN,细线的拉力FT大小变化情况是 ( )
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
答案 AC
解析
在小球被拉至B点前的过程中,对小球进行受力分析,小球受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力,小球在三个力作用下缓慢滑至B点,小球在运动过程中可视为受力平衡。作出小球的受力示意图如图所示,故小球所受重力mg、半球对小球的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形,由图可知,三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似,故有==,由于小球运动过程中,CO和AO的长度不变,AC减小,小球所受重力不变,所以半球对小球的弹力FN'不变,细线对小球的拉力FT变小,由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变,故A、C正确,B、D错误。
利用相似三角形解决动态平衡问题:
(1)在图示状态下对物体进行受力分析,并构建力的矢量三角形;
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形;
(3)确定三角形的对应边,利用三角形相似列出比例式;
(4)结合几何三角形中边长的变化,得出力的变化情况。
专题强化练 [分值:100分]
1~6题每题8分,共48分
1.如图所示,某辆运输沙土的自卸车通过抬高靠近驾驶室一端的车斗来直接倾倒沙土,在沙土滑动前,随着车斗倾角的增大,下列说法正确的是 ( )
A.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力增大
B.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力减小
C.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力减小
D.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力增大
答案 A
解析 设沙土的质量为m,车斗倾角为θ,在沙土滑动前,处于平衡状态,由平衡条件可得,车对沙土的支持力FN=mgcos θ,沙土受到的摩擦力Ff=mgsin θ,随着车斗倾角θ的增大,车对沙土的支持力逐渐减小,沙土受到的摩擦力增大,由牛顿第三定律可知,沙土对车的压力减小,A正确,B、C、D错误。
2.(多选)清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中。如图,工人及其装备的总重力为G,悬绳与竖直墙壁的夹角为α,悬绳对工人的拉力大小为F1,墙壁对工人的弹力大小为F2,则 ( )
A.F1=Gsin α
B.F2=Gtan α
C.若缓慢减小悬绳的长度,F1和F2的合力变大
D.若缓慢减小悬绳的长度,F1增大,F2增大
答案 BD
解析 对工人受力分析如图,由共点力平衡条件知,水平方向
F1sin α=F2
竖直方向F1cos α=G
解得F1=,F2=Gtan α,故A错误,B正确;当绳长减小时,α角变大,故F1变大,F2变大,但F1与F2的合力与重力平衡,保持不变,故C错误,D正确。
3.如图所示,一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端,用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面),挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是 ( )
A.F1增大,F2增大 B.F1减小,F2减小
C.F1增大,F2减小 D.F1减小,F2增大
答案 A
解析 对小球受力分析,如图所示,根据平衡条件得,F1=mgtan θ,F2=,由于θ不断增大,故F1增大,F2增大,A正确。
4.(2024·湖北省高一月考)如图所示,用OA、OB两根轻绳将电灯悬挂于两墙壁之间,开始时OA水平。现保持O点位置和OB绳长不变,改变OA绳长,使绳末端A缓慢上移至A'点,此时A'O与BO之间夹角θ<90°,下列说法正确的是 ( )
A.绳OA的拉力逐渐增大
B.绳OA的拉力逐渐减小
C.绳OB的拉力逐渐增大
D.绳OB的拉力逐渐减小
答案 D
解析 以结点O为研究对象,分析受力:重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB,如图所示,根据平衡条件知,两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反,作出力的合成图如图,由图看出,FOA先减小后增大,FOB逐渐减小,当θ=90°时,FOA最小。故选D。
5.(2024·周口市高一月考)如图所示,一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间,设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2,以木板与墙连接处所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置,不计摩擦,在此过程中 ( )
A.F1一直增大,F2一直减小
B.F1先减小后增大,F2一直减小
C.F1和F2都一直在减小
D.F1和F2都一直在增大
答案 C
解析 小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2,根据牛顿第三定律,可知墙面对小球的支持力大小为F1,木板对小球的支持力大小为F2,对小球进行受力分析,作出受力动态三角形,如图所示,可知木板从题图所示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置过程中,F1和F2都一直在减小。故选C。
6.(多选)(2024·遂宁市射洪中学高一月考)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B,整个装置处于静止状态。则把A向右缓慢移动少许过程中,下列判断正确的是 ( )
A.柱状物体A对球B的支持力增大
B.柱状物体A对球B的支持力减小
C.墙面对球B的弹力增大
D.墙面对球B的弹力减小
答案 BD
解析
以B为研究对象,设A对B的支持力与竖直方向的夹角为α,B球受到重力mBg、墙的弹力F和A的支持力FNB,如图,根据平衡条件得F=mBgtan α,FNB=,若把A向右移动少许后,α减小,tan α减小,cos α增大,则F减小,FNB减小。故选B、D。
7~10题每题10分,共40分
7.(多选)(2024·安庆市一中高一期中)如图所示,配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上,上语文课时,某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上,若字典与支架斜面间的动摩擦因数为μ=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态,则下列说法正确的是 ( )
A.倾角θ增大,字典受到的摩擦力增大
B.倾角θ增大,字典受到的支持力增大
C.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=30°
D.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=45°
答案 AC
解析 设字典的质量为m,字典受力情况如图所示,字典受到沿支架斜面向上的静摩擦力,静摩擦力等于重力沿支架斜面向下的分力,即Ff=mgsin θ,随倾角θ增大,摩擦力增大,故A正确;支持力FN=mgcos θ,随倾角θ增大,支持力减小,故B错误;当字典受到的静摩擦力达到最大时,根据受力平衡可知,mgsin θ=μmgcos θ,解得tan θ=,即θ=30°,故C正确,D错误。
8.(2023·汕头市高一期末)“奇迹石”是有名的旅游景点,这块有5 m3大的石头卡在两个巨大的岩石中间,吸引着世界各地的旅行者,如图甲所示。将该景观简化成如图乙的模型,右壁竖直,左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ,石头的质量为m,忽略石头与山崖间的摩擦。若左壁对石头的压力大小为F1,右壁对石头的压力大小为F2,则(重力加速度为g) ( )
A.F1=mgsin θ,F2=mgtan θ
B.F1=,F2=
C.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则F1减小
D.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则石头受到的合力增大
答案 B
解析
对石头受力分析,其受到重力mg、左壁的压力F1,右壁的压力F2,受力分析如图所示,可知F1=,F2=,A错误,B正确;由于左侧崖壁风化使得θ减小,sin θ和tan θ都减小,则左、右两壁对中间石块压力F1、F2增大,但由于石头受力平衡,所受合力仍然为零,不变,C、D错误。
9.(2023·巴东县第三高级中学高一期中)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔并用手拉住,现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是 ( )
A.F减小,FN不变 B.F减小,FN减小
C.F不变,FN增大 D.F不变,FN减小
答案 A
解析
小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态,对小球受力分析,小球受重力G、F、FN三个力,如图所示,由三角形相似
有==,F'=F
当A点上移时,半径不变,G不变,则FN不变,AB长度减小,可知F减小,故A正确,B、C、D错误。
10.(2024·三明市沙县第一中学高一月考)如图所示,轻质不可伸长的细绳两端分别固定在竖直杆上的A、B两点,一灯笼挂在细绳上,灯笼的挂钩是光滑的,如果只人为改变一个条件,当灯笼静止时,下列说法正确的是 ( )
A.绳的右端上移到B',绳子拉力变大
B.将右边的竖直杆右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的灯笼,则挂钩右移
答案 B
解析
如图所示,因为挂钩是光滑的,所以两段绳子上的拉力相等,合力竖直向上,绳子与竖直方向夹角也相等,设两段绳子与竖直方向夹角为θ,绳长为L,两个杆间的距离为d,如图所示,根据几何关系可知L1sin θ=d1,L2sin θ=d2,其中L1+L2=L,d1+d2=d,联立可得sin θ=,对O点进行受力分析,可得2Fcos θ=mg。无论绳子右端上移还是下移,两端点高度差如何变化,只要L、d不变,则绳子与竖直方向夹角保持不变,绳子的拉力不变,故A、C错误;若将右边的竖直杆右移一些,两杆间的距离d增大,绳子与竖直方向夹角θ增大,绳子拉力变大,故B正确;若换挂质量更大的灯笼,绳子拉力增大,但挂钩的位置不会移动,故D错误。
(12分)
11.(多选)如图所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点,O为圆心,O点下面悬挂一物体M,绳OA水平,绳OB与绳OA成α=120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变,将两绳同时缓慢顺时针转过60°,物体始终处于静止状态。在旋转过程中,绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为 ( )
A.F1一直增大 B.F1先增大后减小
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
答案 AC
解析
对结点O受力分析,并合成矢量三角形如图所示,根据图示可知,顺时针转动前(实线)到转动后(虚线)过程中,F1一直增大,F2一直减小。故选A、C。(共47张PPT)
DISANZHANG
第三章
专题强化 动态平衡问题
1.掌握构建矢量平行四边形或三角形的方法,并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。
2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。
学习目标
动态平衡:平衡问题中的一部分力是变力,是动态力,力的大小或方向缓慢变化,所以叫动态平衡,这是共点力平衡问题中的一类题型。
一、用图解法解决动态平衡问题
二、用解析法解决动态平衡问题
专题强化练
内容索引
三、用相似三角形解决动态平衡问题
用图解法解决动态平衡问题
一
如图所示,A、B为同一水平线上的两个绕绳装置,转
动A、B改变绳的长度,使带有轻质光滑挂钩的物体
C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中,两绳之间的夹角如何变化 请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。
答案 如图所示,作出矢量平行四边形,两拉力F1、F2的合力为F,由平衡条件可知F=G,物体C下降的过程中,θ不断减小,则F1、F2不断变小。
如图所示,用网兜把足球挂在竖直墙面上,悬绳对网兜的拉力为FT,墙壁对足球的支持力为FN,若不计墙面摩擦,缓慢增加悬绳的长度,下列选项正确的是
A.FT和FN都增大
B.FT和FN都减小
C.FT减小,FN增大
D.FT增大,FN减小
例1
√
对足球受力分析,如图甲,足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN;画出力的矢量三角形,如图乙,缓慢增加悬绳长度过程中,重力不变,支持力的方向不变,悬线与墙壁间的夹角减小,由图乙可知,FT与FN均变小,故选B。
(多选)(2024·昆明市高一期末)如图所示,轻质细绳AO与BO的一端系在半圆形支架上,另一端系于结点O,结点O下端用细绳悬挂一重物Q。初始时细绳AO与水平方向夹角为60°,细绳BO处于水平方向,结点O位于半圆的圆心处。现将细绳B端沿支架顺时针方向缓慢转动60°,细绳AO的位置保持不变,在此过程中下列说法正确的是
A.细绳AO的拉力一直在变小
B.细绳AO的拉力先变小后变大
C.细绳BO的拉力一直在变大
D.细绳BO的拉力先变小后变大
例2
√
√
对结点O受力分析,如图所示,由矢量三角形可知,细绳AO的拉力一直在变小,细绳BO的拉力先变小后变大。故选A、D。
总结提升
物体受三个力而处于动态平衡时,首先对物体进行受力分析,并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
(1)先画出大小、方向都不变的恒力;
(2)再画出方向不变、大小可变的力,并把表示此力的线段适当画长一些;
(3)明确方向变化的力的方向如何变化,并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。
注意:当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。
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用解析法解决动态平衡问题
二
例1中,如果不用动态图解法,能否通过平行四边形定则利用函数关系式,求出FT、FN如何变化
答案 由cos θ=,得FT=,
由tan θ=得FN=mgtan θ
所以,当增大悬绳的长度时θ变小,故FT减小,FN减小。
如图所示,光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内,A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下,缓慢地由A向B运动,F始终沿轨道的切线方向,轨道对球的弹力为FN。在运动过程中
A.F增大,FN增大 B.F减小,FN减小
C.F增大,FN减小 D.F减小,FN增大
例3
√
对小球进行受力分析,它受到重力、支持力和拉力的作用,如图所示。根据共点力平衡条件有:FN=Gcos θ,
F=Gsin θ,其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角,当小球向上移动时,θ变大,故FN减小,F增大,故选C。
(多选)如图所示,质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端,甲放在水平地面上,乙被悬在空中,若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后,甲仍静止,则
A.绳中张力变小
B.甲对地面的压力变大
C.绳子对滑轮的力变大
D.甲所受的静摩擦力变大
例4
√
√
以物体乙为研究对象,得到绳子张力F=mg。以物体甲为研究对象,受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力FN=Mg-Fcos α,静摩擦力Ff=Fsin α,甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大,由数学知识得到FN变大,Ff变大,根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知,绳子对滑轮的力变小,故选B、D。
总结提升
解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤:
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化,应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
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用相似三角形解决动态平衡问题
三
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力是变力,大小、方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
(多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R,在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮,细线的一端拴接一小球,另一端绕过定滑轮,现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点,在小球到达B点前的过程中,小球对半球的压力FN,细线的拉力FT大小变化情况是
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
例5
√
√
在小球被拉至B点前的过程中,对小球进行受力分析,小球受重
力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力,小球在三个力作
用下缓慢滑至B点,小球在运动过程中可视为受力平衡。作出
小球的受力示意图如图所示,故小球所受重力mg、半球对小球
的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形,由图可知,三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似,故有==,由于小球运动过程中,CO和AO的长度不变,AC减小,小球所受重力不变,所以半球对小球的弹力FN'不变,细线对小球的拉力FT变小,由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变,故A、C正确,B、D错误。
总结提升
利用相似三角形解决动态平衡问题:
(1)在图示状态下对物体进行受力分析,并构建力的矢量三角形;
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形;
(3)确定三角形的对应边,利用三角形相似列出比例式;
(4)结合几何三角形中边长的变化,得出力的变化情况。
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专题强化练
四
1.如图所示,某辆运输沙土的自卸车通过抬高靠近驾驶室一端的车斗来直接倾倒沙土,在沙土滑动前,随着车斗倾角的增大,下列说法正确的是
A.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力增大
B.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力减小
C.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力减小
D.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力增大
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基础强化练
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设沙土的质量为m,车斗倾角为θ,在沙土滑动前,处于平
衡状态,由平衡条件可得,车对沙土的支持力FN=mgcos θ,
沙土受到的摩擦力Ff=mgsin θ,随着车斗倾角θ的增大,车
对沙土的支持力逐渐减小,沙土受到的摩擦力增大,由牛
顿第三定律可知,沙土对车的压力减小,A正确,B、C、D错误。
2.(多选)清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中。如图,工人及其装备的总重力为G,悬绳与竖直墙壁的夹角为α,悬绳对工人的拉力大小为F1,墙壁对工人的弹力大小为F2,则
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A.F1=Gsin α
B.F2=Gtan α
C.若缓慢减小悬绳的长度,F1和F2的合力变大
D.若缓慢减小悬绳的长度,F1增大,F2增大
√
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对工人受力分析如图,由共点力平衡条件知,水平方向
F1sin α=F2
竖直方向F1cos α=G
解得F1=,F2=Gtan α,故A错误,B正确;
当绳长减小时,α角变大,故F1变大,F2变大,但F1与F2的合力与重力平衡,保持不变,故C错误,D正确。
3.如图所示,一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端,用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面),挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是
A.F1增大,F2增大 B.F1减小,F2减小
C.F1增大,F2减小 D.F1减小,F2增大
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对小球受力分析,如图所示,根据平衡条件得,F1=mgtan θ,F2=,由于θ不断增大,故F1增大,F2增大,A正确。
4.(2024·湖北省高一月考)如图所示,用OA、OB两根轻绳将电灯悬挂于两墙壁之间,开始时OA水平。现保持O点位置和OB绳长不变,改变OA绳长,使绳末端A缓慢上移至A'点,此时A'O与BO之间夹角θ<90°,下列说法正确的是
A.绳OA的拉力逐渐增大
B.绳OA的拉力逐渐减小
C.绳OB的拉力逐渐增大
D.绳OB的拉力逐渐减小
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√
以结点O为研究对象,分析受力:重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB,如图所示,根据平衡条件知,两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反,作出力的合成图如图,由图看出,FOA先减小后增大,FOB逐渐减小,当θ=90°时,FOA最小。故选D。
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5.(2024·周口市高一月考)如图所示,一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间,设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2,以木板与墙连接处所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置,不计摩擦,在此过程中
A.F1一直增大,F2一直减小
B.F1先减小后增大,F2一直减小
C.F1和F2都一直在减小
D.F1和F2都一直在增大
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小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小
为F2,根据牛顿第三定律,可知墙面对小球的支持力大
小为F1,木板对小球的支持力大小为F2,对小球进行受
力分析,作出受力动态三角形,如图所示,可知木板从题
图所示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置过程中,F1和F2都一直在减小。故选C。
6.(多选)(2024·遂宁市射洪中学高一月考)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B,整个装置处于静止状态。则把A向右缓慢移动少许过程中,下列判断正确的是
A.柱状物体A对球B的支持力增大
B.柱状物体A对球B的支持力减小
C.墙面对球B的弹力增大
D.墙面对球B的弹力减小
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以B为研究对象,设A对B的支持力与竖直方向的夹角为α,B球受到重力mBg、墙的弹力F和A的支持力FNB,如图,根据平衡条件得F=mBgtan α,FNB=,若把A向右移动少许后,α减小,tan α减小,cos α增大,则F减小,FNB减小。故选B、D。
7.(多选)(2024·安庆市一中高一期中)如图所示,配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上,上语文课时,某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上,若字典与支架斜面间的动摩擦因数为μ=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态,则下列说法正确的是
A.倾角θ增大,字典受到的摩擦力增大
B.倾角θ增大,字典受到的支持力增大
C.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=30°
D.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=45°
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能力综合练
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设字典的质量为m,字典受力情况如图所示,字典受到
沿支架斜面向上的静摩擦力,静摩擦力等于重力沿支
架斜面向下的分力,即Ff=mgsin θ,随倾角θ增大,摩擦力
增大,故A正确;
支持力FN=mgcos θ,随倾角θ增大,支持力减小,故B错误;
当字典受到的静摩擦力达到最大时,根据受力平衡可知,mgsin θ= μmgcos θ,解得tan θ=,即θ=30°,故C正确,D错误。
8.(2023·汕头市高一期末)“奇迹石”是有名的旅游景点,这块有5 m3大的石头卡在两个巨大的岩石中间,吸引着世界各地的旅行者,如图甲所示。将该景观简化成如图乙的模型,右壁竖直,左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ,石头的质量为m,忽略石头与山崖间的摩擦。若左壁对石头的压力大小为F1,右壁对石头的压力大小为F2,则(重力加速度为g)
A.F1=mgsin θ,F2=mgtan θ
B.F1=,F2=
C.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则F1减小
D.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则石头受到的合力增大
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对石头受力分析,其受到重力mg、左壁的压力F1,右
壁的压力F2,受力分析如图所示,可知F1=,F2=,
A错误,B正确;
由于左侧崖壁风化使得θ减小,sin θ和tan θ都减小,则左、右两壁对中间石块压力F1、F2增大,但由于石头受力平衡,所受合力仍然为零,不变,C、D错误。
9.(2023·巴东县第三高级中学高一期中)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔并用手拉住,现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是
A.F减小,FN不变 B.F减小,FN减小
C.F不变,FN增大 D.F不变,FN减小
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小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态,对小球受力分析,小球受重力G、F、FN三个力,如图所示,由三角形相似
有==,F'=F
当A点上移时,半径不变,G不变,则FN不变,AB长度减小,可知F减小,故A正确,B、C、D错误。
10.(2024·三明市沙县第一中学高一月考)如图所示,轻质不可伸长的细绳两端分别固定在竖直杆上的A、B两点,一灯笼挂在细绳上,灯笼的挂钩是光滑的,如果只人为改变一个条件,当灯笼静止时,下列说法正确的是
A.绳的右端上移到B',绳子拉力变大
B.将右边的竖直杆右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的灯笼,则挂钩右移
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如图所示,因为挂钩是光滑的,所以两段绳子上的拉力相
等,合力竖直向上,绳子与竖直方向夹角也相等,设两段绳
子与竖直方向夹角为θ,绳长为L,两个杆间的距离为d,如图
所示,根据几何关系可知L1sin θ=d1,L2sin θ=d2,其中L1+L2=L,d1+d2=d,联立可得sin θ=,对O点进行受力分析,可得2Fcos θ=mg。无论绳子右端上移还是下移,两端点高度差如何变化,只要L、d不变,则绳子与竖直方向夹角保持不变,绳子的拉力不变,故A、C错误;
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若将右边的竖直杆右移一些,两杆间的距离d增大,绳子与竖直方向夹角θ增大,绳子拉力变大,故B正确;
若换挂质量更大的灯笼,绳子拉力增大,但挂钩的位置不会移动,故D错误。
11.(多选)如图所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点,O为圆心,O点下面悬挂一物体M,绳OA水平,绳OB与绳OA成α=120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变,将两绳同时缓慢顺时针转过60°,物体始终处于静止状态。在旋转过程中,绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为
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尖子生选练
A.F1一直增大 B.F1先增大后减小
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
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对结点O受力分析,并合成矢量三角形如图所示,根据图示可知,顺时针转动前(实线)到转动后(虚线)过程中,F1一直增大,F2一直减小。故选A、C。
返回专题强化 动态平衡问题
［学习目标］ 1.掌握构建矢量平行四边形或三角形的方法，并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。
动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。
一、用图解法解决动态平衡问题
如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳之间的夹角如何变化？请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。
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例1 如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是 ( )
A.FT和FN都增大
B.FT和FN都减小
C.FT减小，FN增大
D.FT增大，FN减小
例2 (多选)(2024·昆明市高一期末)
如图所示，轻质细绳AO与BO的一端系在半圆形支架上，另一端系于结点O，结点O下端用细绳悬挂一重物Q。初始时细绳AO与水平方向夹角为60°，细绳BO处于水平方向，结点O位于半圆的圆心处。现将细绳B端沿支架顺时针方向缓慢转动60°，细绳AO的位置保持不变，在此过程中下列说法正确的是 ( )
A.细绳AO的拉力一直在变小
B.细绳AO的拉力先变小后变大
C.细绳BO的拉力一直在变大
D.细绳BO的拉力先变小后变大
物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
(1)先画出大小、方向都不变的恒力；
(2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些；
(3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。
注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。
二、用解析法解决动态平衡问题
例1中，如果不用动态图解法，能否通过平行四边形定则利用函数关系式，求出FT、FN如何变化？
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例3 如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中 ( )
A.F增大，FN增大 B.F减小，FN减小
C.F增大，FN减小 D.F减小，FN增大
例4 (多选)如图所示，质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地面上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则 ( )
A.绳中张力变小
B.甲对地面的压力变大
C.绳子对滑轮的力变大
D.甲所受的静摩擦力变大
解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤：
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
三、用相似三角形解决动态平衡问题
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
例5 (多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R，在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN，细线的拉力FT大小变化情况是 ( )
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
利用相似三角形解决动态平衡问题：
(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形；
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形；
(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式；
(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。
答案精析
一、如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F=G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。
例1 B ［对足球受力分析，如图甲，足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN；画出力的矢量三角形，如图乙，缓慢增加悬绳长度过程中，重力不变，支持力的方向不变，悬线与墙壁间的夹角减小，由图乙可知，FT与FN均变小，故选B。］
例2 AD ［
对结点O受力分析，如图所示，由矢量三角形可知，细绳AO的拉力一直在变小，细绳BO的拉力先变小后变大。故选A、D。］
二、
由cos θ=，得FT=，
由tan θ=得FN=mgtan θ
所以，当增大悬绳的长度时θ变小，故FT减小，FN减小。
例3 C ［
对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示。根据共点力平衡条件有：FN=Gcos θ，F=Gsin θ，其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大，故选C。］
例4 BD ［
以物体乙为研究对象，得到绳子张力F=mg。以物体甲为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力FN=Mg-Fcos α，静摩擦力Ff=Fsin α，甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大，由数学知识得到FN变大，Ff变大，根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，故选B、D。］
例5 AC ［
在小球被拉至B点前的过程中，对小球进行受力分析，小球受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力，小球在三个力作用下缓慢滑至B点，小球在运动过程中可视为受力平衡。作出小球的受力示意图如图所示，故小球所受重力mg、半球对小球的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似，故有==，由于小球运动过程中，CO和AO的长度不变，AC减小，小球所受重力不变，所以半球对小球的弹力FN'不变，细线对小球的拉力FT变小，由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变，故A、C正确，B、D错误。］作业28 动态平衡问题
1~6题每题8分,共48分
1.如图所示,某辆运输沙土的自卸车通过抬高靠近驾驶室一端的车斗来直接倾倒沙土,在沙土滑动前,随着车斗倾角的增大,下列说法正确的是 ( )
A.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力增大
B.沙土对车的压力减小,受到的摩擦力减小
C.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力减小
D.沙土对车的压力增大,受到的摩擦力增大
2.(多选)清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中。如图,工人及其装备的总重力为G,悬绳与竖直墙壁的夹角为α,悬绳对工人的拉力大小为F1,墙壁对工人的弹力大小为F2,则 ( )
A.F1=Gsin α
B.F2=Gtan α
C.若缓慢减小悬绳的长度,F1和F2的合力变大
D.若缓慢减小悬绳的长度,F1增大,F2增大
3.如图所示,一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端,用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面),挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是 ( )
A.F1增大,F2增大 B.F1减小,F2减小
C.F1增大,F2减小 D.F1减小,F2增大
4.(2024·湖北省高一月考)如图所示,用OA、OB两根轻绳将电灯悬挂于两墙壁之间,开始时OA水平。现保持O点位置和OB绳长不变,改变OA绳长,使绳末端A缓慢上移至A'点,此时A'O与BO之间夹角θ<90°,下列说法正确的是 ( )
A.绳OA的拉力逐渐增大
B.绳OA的拉力逐渐减小
C.绳OB的拉力逐渐增大
D.绳OB的拉力逐渐减小
5.(2024·周口市高一月考)如图所示,一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间,设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2,以木板与墙连接处所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置,不计摩擦,在此过程中 ( )
A.F1一直增大,F2一直减小
B.F1先减小后增大,F2一直减小
C.F1和F2都一直在减小
D.F1和F2都一直在增大
6.(多选)(2024·遂宁市射洪中学高一月考)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B,整个装置处于静止状态。则把A向右缓慢移动少许过程中,下列判断正确的是 ( )
A.柱状物体A对球B的支持力增大
B.柱状物体A对球B的支持力减小
C.墙面对球B的弹力增大
D.墙面对球B的弹力减小
7~10题每题10分,共40分
7.(多选)(2024·安庆市一中高一期中)如图所示,配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上,上语文课时,某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上,若字典与支架斜面间的动摩擦因数为μ=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态,则下列说法正确的是 ( )
A.倾角θ增大,字典受到的摩擦力增大
B.倾角θ增大,字典受到的支持力增大
C.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=30°
D.若字典始终处于静止状态,支架倾角的最大值θ=45°
8.(2023·汕头市高一期末)“奇迹石”是有名的旅游景点,这块有5 m3大的石头卡在两个巨大的岩石中间,吸引着世界各地的旅行者,如图甲所示。将该景观简化成如图乙的模型,右壁竖直,左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ,石头的质量为m,忽略石头与山崖间的摩擦。若左壁对石头的压力大小为F1,右壁对石头的压力大小为F2,则(重力加速度为g) ( )
A.F1=mgsin θ,F2=mgtan θ
B.F1=,F2=
C.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则F1减小
D.若由于左侧崖壁风化使得θ减小,则石头受到的合力增大
9.(2023·巴东县第三高级中学高一期中)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔并用手拉住,现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是 ( )
A.F减小,FN不变 B.F减小,FN减小
C.F不变,FN增大 D.F不变,FN减小
10.(2024·三明市沙县第一中学高一月考)如图所示,轻质不可伸长的细绳两端分别固定在竖直杆上的A、B两点,一灯笼挂在细绳上,灯笼的挂钩是光滑的,如果只人为改变一个条件,当灯笼静止时,下列说法正确的是 ( )
A.绳的右端上移到B',绳子拉力变大
B.将右边的竖直杆右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的灯笼,则挂钩右移
(12分)
11.(多选)如图所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点,O为圆心,O点下面悬挂一物体M,绳OA水平,绳OB与绳OA成α=120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变,将两绳同时缓慢顺时针转过60°,物体始终处于静止状态。在旋转过程中,绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为 ( )
A.F1一直增大 B.F1先增大后减小
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
答案精析
1.A ［设沙土的质量为m，车斗倾角为θ，在沙土滑动前，处于平衡状态，由平衡条件可得，车对沙土的支持力FN=mgcos θ，沙土受到的摩擦力Ff=mgsin θ，随着车斗倾角θ的增大，车对沙土的支持力逐渐减小，沙土受到的摩擦力增大，由牛顿第三定律可知，沙土对车的压力减小，A正确，B、C、D错误。］
2.BD ［
对工人受力分析如图，由共点力平衡条件知，水平方向
F1sin α=F2
竖直方向F1cos α=G
解得F1=，F2=Gtan α，故A错误，B正确；当绳长减小时，α角变大，故F1变大，F2变大，但F1与F2的合力与重力平衡，保持不变，故C错误，D正确。］
3.A ［
对小球受力分析，如图所示，根据平衡条件得，F1=mgtan θ，F2=，由于θ不断增大，故F1增大，F2增大，A正确。］
4.D ［
以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出力的合成图如图，由图看出，FOA先减小后增大，FOB逐渐减小，当θ=90°时，FOA最小。故选D。］
5.C ［
小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2，根据牛顿第三定律，可知墙面对小球的支持力大小为F1，木板对小球的支持力大小为F2，对小球进行受力分析，作出受力动态三角形，如图所示，可知木板从题图所示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置过程中，F1和F2都一直在减小。故选C。］
6.BD ［
以B为研究对象，设A对B的支持力与竖直方向的夹角为α，B球受到重力mBg、墙的弹力F和A的支持力FNB，如图，根据平衡条件得F=mBgtan α，FNB=，若把A向右移动少许后，α减小，tan α减小，cos α增大，则F减小，FNB减小。故选B、D。］
7.AC ［
设字典的质量为m，字典受力情况如图所示，字典受到沿支架斜面向上的静摩擦力，静摩擦力等于重力沿支架斜面向下的分力，即Ff=mgsin θ，随倾角θ增大，摩擦力增大，故A正确；支持力FN=mgcos θ，随倾角θ增大，支持力减小，故B错误；当字典受到的静摩擦力达到最大时，根据受力平衡可知，mgsin θ=μmgcos θ，解得tan θ=，即θ=30°，故C正确，D错误。］
8.B ［
对石头受力分析，其受到重力mg、左壁的压力F1，右壁的压力F2，受力分析如图所示，可知F1=，F2=，A错误，B正确；由于左侧崖壁风化使得θ减小，sin θ和tan θ都减小，则左、右两壁对中间石块压力F1、F2增大，但由于石头受力平衡，所受合力仍然为零，不变，C、D错误。］
9.A ［
小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态，对小球受力分析，小球受重力G、F、FN三个力，如图所示，由三角形相似
有==，F'=F
当A点上移时，半径不变，G不变，则FN不变，AB长度减小，可知F减小，故A正确，B、C、D错误。］
10.B ［
如图所示，因为挂钩是光滑的，所以两段绳子上的拉力相等，合力竖直向上，绳子与竖直方向夹角也相等，设两段绳子与竖直方向夹角为θ，绳长为L，两个杆间的距离为d，如图所示，根据几何关系可知L1sin θ=d1，L2sin θ=d2，其中L1+L2=L，d1+d2=d，联立可得sin θ=，对O点进行受力分析，可得2Fcos θ=mg。无论绳子右端上移还是下移，两端点高度差如何变化，只要L、d不变，则绳子与竖直方向夹角保持不变，绳子的拉力不变，故A、C错误；若将右边的竖直杆右移一些，两杆间的距离d增大，绳子与竖直方向夹角θ增大，绳子拉力变大，故B正确；若换挂质量更大的灯笼，绳子拉力增大，但挂钩的位置不会移动，故D错误。］
11.AC ［
对结点O受力分析，并合成矢量三角形如图所示，根据图示可知，顺时针转动前（实线）到转动后（虚线）过程中，F1一直增大，F2一直减小。故选A、C。］
