第3课时 力的合成和分解的分析与计算(二)
[学习目标] 1.会按力的作用效果分解力(重点)。2.知道正交分解的目的和原则,会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解(重点)。
一、力的分解
1.如图甲所示,由平行四边形定则可知,两个已知力进行合成时,这两个力的合力是唯一的。如图乙,如果将一个已知力分解成两个分力,结果是否也是唯一的呢
答案
将一个力可以分解为两个分力,如图所示,若没有限制,同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力,结果并不是唯一的。也可以说,如果没有限制,对于同一条对角线,可以作出无数个不同的平行四边形。
2.按下列要求作图。
(1)已知力F及其两个分力的方向(即图中α、β),在图甲中画出两个分力F1和F2。
(2)已知力F及其中一个分力F1,在图乙中画出另一个分力F2。
(3)已知合力F、F1的方向与F夹角α,在图丙中作出另一分力F2的最小值。
(4)已知F1的方向和F2的大小(Fsin α
例1 (多选)如图所示,将一个已知力F分解为F1和F2,已知F=10 N,F1与F的夹角为37°(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),则F2的大小 ( )
A.可能大于10 N B.不可能等于10 N
C.可能小于10 N D.最小值为8 N
答案 AC
解析 当F2与F1垂直时,F2最小,最小值为
F2min=Fsin 37°=6 N,则F2≥6 N,故选A、C。
二、力的效果分解
1.车在水平面和坡面上时,重力产生的作用效果分别是什么 设坡面与水平面的夹角为α,车的重力为G,分析坡面上重力的作用效果,并按力的作用效果求出两分力的大小。
答案 在水平面上时重力的作用效果是使车压水平面;在坡面上时重力的作用效果有两个,一个是使车具有沿坡面下滑的趋势,二是使车压紧坡面,因此重力可分解为沿坡面向下的分力G1=Gsin α和垂直于坡面的分力G2=Gcos α。
2.如图甲所示,小丽用斜向上的力拉行李箱,其简化图如图乙所示,拉力会产生两个效果,如何分解拉力,写出两个分力大小。
答案 如图所示,F1=Fcos θ,F2=Fsin θ
力的分解的步骤
例2 某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验,圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁,钥匙模拟重力,重力为mg(g为重力加速度),将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2,B脚与竖直方向的夹角为α,则 ( )
A.F1=mgtan α B.F1=mgsin α
C.F2=mgtan α D.F2=mgsin α
答案 A
解析 钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小,如图,拉力按照作用效果可分解为
F1=mgtan α,F2=,
故选A。
例3 (2024·浙江省高一期中)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺庙倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之,曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的轻木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,则木楔两侧产生的推力FN等于 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 选木楔为研究对象,木楔受到的力有:水平向左的F和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力,由于木楔处于平衡状态,所以两侧给木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的力是大小相等的,F1=F2=FN,力F的分解如图,则有F=2FNsin ,解得FN=,故D正确。
三、力的正交分解
力的正交分解法:把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
如图所示,将力F沿x轴和y轴两个方向分解,则x轴上的分力Fx=Fcos α,y轴上的分力 Fy=Fsin α。
例4 如图所示,倾角为15°的斜面上放着木箱,用100 N的拉力斜向上拉着木箱,F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系,把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy,并计算它们的大小。
答案 见解析
解析 如图
α=45°-15°=30°
Fx=Fcos 30°=50 N
Fy=Fsin 30°=50 N
正交分解法求合力的步骤
1.建立直角坐标系,常见的两种情况:
(1)水平和竖直建立坐标系;
(2)沿斜面和垂直斜面建立坐标系。
2.正交分解各力。
3.求出x轴、y轴上的合力Fx、Fy。
4.求出合力的大小和方向F=,合力与x轴的夹角为α,则tan α=。
例5 在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
答案 50 N,方向与F1相同
解析 建立直角坐标系,如图所示,把F2分解
F2x=F2cos 37°=32 N
F2y=F2sin 37°=24 N
Fy=F2y-F3=0
Fx=F2x+F1=50 N
所以合力F=Fx=50 N,方向与F1相同。
课时对点练 [分值:100分]
1~6题每题7分,7题12分,共54分
1.(多选)将一个力分解为两个分力,下列情况中,不能使力的分解结果一定唯一的有 ( )
A.已知两个分力的方向
B.已知两个分力的大小
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知一个分力的大小和方向
答案 BC
解析 将一个力分解为两个分力,根据平行四边形定则,即已知平行四边形的对角线,确定平行四边形的两个邻边,力的分解通常有下面几种组合:①已知两个分力的方向,确定两分力的大小,有唯一解;②已知两个分力的大小,确定两个分力的方向,这种情况必须先看两分力大小与合力是否满足|F1-F2|≤F≤F1+F2,若不满足这个关系则无解,满足这个关系时可能有一解或两解;③已知一个分力的大小和另一个分力的方向,这种情况可能无解、有两解或唯一解;④已知一个分力的大小和方向,确定另一个分力的大小和方向,这种情况有唯一解。故选B、C。
2.滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一,如图所示,人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m,绳子对雪圈的拉力为F,F与水平方向之间的夹角为θ,以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为沿x轴方向的分量Fx和沿y轴方向的分量Fy。则Fy的大小为 ( )
A.Fsin θ B.Fcos θ
C. D.
答案 A
解析 Fy的大小为Fy=Fsin θ,故选A。
3.(2024·青岛市高一期中)如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为 ( )
A.9 N B.9 N C.12 N D.20 N
答案 B
解析 水平方向的分力大小为Fx=Fcos 30°=18× N=9 N,故选B。
4.(2024·江西省信丰中学高一月考)如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°。如果把球的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为 ( )
A.G,G B.G,G
C.G,G D.G,G
答案 A
解析 根据重力压两个光滑斜面的作用效果,将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2,根据平行四边形定则作出力的示意图,如图所示,由几何关系可得G1=Gcos 30°=G,G2=Gsin 30°=G,故选A。
5.(2023·朔州市朔城区一中高一开学考)将力F=10 N分解成两个分力,已知其中一个分力与F的夹角为30°,另一个分力的大小为7 N,则在分解时可能 ( )
A.有无数组解 B.有两组解
C.有唯一解 D.无解
答案 B
解析
已知一个分力有确定的方向,与F成30°夹角,知另一个分力的最小值为
Fsin 30°=5 N
而另一个分力大小为7 N,大于5 N,小于10 N,所以分解时有两组解,如图,故B正确,A、C、D错误。
6.(多选)很多衣服上都有拉链,如图为拉链的一部分,当我们拉拉链的时候,拉头与拉链接触处呈三角形,使很难直接分开的拉链很容易被拉开,关于其中的物理原理,以下说法正确的是 ( )
A.拉开拉链的时候,三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向相同的两个分力
答案 BC
解析 在拉开拉链的时候,三角形物体在两拉链间沿拉链运动,手的拉力在三角形物体上产生了两个不同方向的分力,分力的大小大于拉力的大小,所以使很难直接分开的拉链很容易被拉开,B、C正确。
7.(12分)(2024·济宁嘉祥县第一中学高一期中)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,=1.414,保留3位有效数字)
答案 39.6 N,方向与F1夹角为45°斜向右上方
解析 如图甲,建立直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有
Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=28 N
Fy=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=28 N
Fx与Fy的合力F如图乙所示,tan φ==1,则φ=45°
合力F==28 N≈39.6 N
即合力F=39.6 N,方向与F1夹角为45°斜向右上方。
8~11题每题9分,共36分
8.(多选)(2024·榆林市高一月考)家里的书桌离墙太近,某同学想将书桌向外移动一点,但她力气太小,推不动。于是,她找来两块相同的木板,搭成一个人字形架,然后往中央一站,书桌真的移动了。下列说法中正确的是 ( )
A.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木板方向的分力很大
B.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木板方向的分力很小
C.人字形架的夹角越大,越容易推动书桌
D.人字形架的夹角越大,越难推动书桌
答案 AC
解析 重力的大小和方向始终不变,分解到两木板方向时,设人字形架的夹角为θ,由平衡条件有2Fcos =G,可得该同学的重力沿木板方向的分力为F=,可知人字形架的夹角越大,该同学的重力沿两木板方向的分力越大,作用在书桌上的水平推力越大,越容易推动书桌。故选A、C。
9.已知一条线段,以这条线段为对角线作出平行四边形,若没有附加条件限制,将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力,若没有附加条件,分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2,其中F1方向与F方向的夹角为30°,则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为 ( )
A.50 N 30° B.50 N 60°
C.50 N 90° D.50 N 90°
答案 C
解析 合力大小为F=100 N,一个分力F1与合力方向的夹角是30°,根据三角形定则,如图所示。
可知,另一个分力的最小值为
F2=Fsin 30°=100 × N=50 N
方向与F1方向的夹角为90°,故选C。
10.(2023·盐城市盐城中学高一期中)如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力,现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则 ( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小
C.若F一定,增大θ,直侧面推力减小
D.若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比增大
答案 C
解析 将力沿垂直于两个侧面的方向上分解,如图所示,针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为FN,直侧面对瓶塞的推力为FN',则=cos θ
可知FN'
=cos θ,若θ一定,则为定值,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比不变,故D错误。
11.(多选)科学的佩戴口罩,对于肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用,既保护自己,又有利于公众健康,如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图,一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳,它的弹力大小遵循胡克定律,在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x,此时AB段与水平方向的夹角为37°,DE段与水平方向的夹角为53°,弹性绳涉及的受力均在同一平面内,忽略一切摩擦,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 ( )
A.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=
B.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=1
C.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
答案 BC
解析 弹性轻绳被拉长了x,同一根弹性轻绳弹力大小相等,即FAB=FDE=kx,将FAB、FDE分别正交分解,如图,则Fx=FABcos 37°+FDEcos 53°=1.4kx,Fy=FABsin 37°+FDEsin 53°=1.4kx,则耳朵受到的口罩带的作用力F==kx,耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,tan θ==1,故选B、C。
(10分)
12.如图所示是扩张机的原理示意图,A、B处为活动铰链,C处为固定铰链,在A处作用一水平力F,滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D,已知图中2l=1.0 m,b=0.05 m,F=400 N,滑块与左壁接触,接触面光滑,则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计) ( )
A.3 000 N B.2 000 N
C.1 000 N D.500 N
答案 B
解析 将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解,作出力的分解图如图甲所示。
则有2F1cos α=F,得F1=F2=
再将F1按作用效果分解为FN和FN',作出力的分解图如图乙所示。
则有FN=F1sin α,联立得FN=
根据几何知识得tan α==10
得FN=5F=2 000 N,故选项B正确。(共47张PPT)
DISANZHANG
第三章
4 第3课时 力的合成和分解的
分析与计算(二)
1.会按力的作用效果分解力(重点)。
2.知道正交分解的目的和原则,会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解(重点)。
学习目标
一、力的分解
二、力的效果分解
课时对点练
内容索引
三、力的正交分解
力的分解
一
1.如图甲所示,由平行四边形定则可知,两个已知力进行合成时,这两个力的合力是唯一的。如图乙,如果将一个已知力分解成两个分力,结果是否也是唯一的呢
答案 将一个力可以分解为两个分力,如图所示,若没有限制,
同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力,结果并
不是唯一的。也可以说,如果没有限制,对于同一条对角线,可以作出无数个不同的平行四边形。
2.按下列要求作图。
(1)已知力F及其两个分力的方向(即图中α、β),在图甲中画出两个分力F1和F2。
答案
(2)已知力F及其中一个分力F1,在图乙中画出另一个分力F2。
答案
(3)已知合力F、F1的方向与F夹角α,在图丙中作出另一分力F2的最小值。
答案
(4)已知F1的方向和F2的大小(Fsin α
(多选)如图所示,将一个已知力F分解为F1和F2,已知F=10 N,F1与F的夹角为37°(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),则F2的大小
A.可能大于10 N B.不可能等于10 N
C.可能小于10 N D.最小值为8 N
例1
√
√
当F2与F1垂直时,F2最小,最小值为
F2min=Fsin 37°=6 N,则F2≥6 N,故选A、C。
返回
力的效果分解
二
1.车在水平面和坡面上时,重力产生的作用效果分别是什么 设坡面与水平面的夹角为α,车的重力为G,分析坡面上重力的作用效果,并按力的作用效果求出两分力的大小。
答案 在水平面上时重力的作用效果是使车压水平面;在坡面上时重力的作用效果有两个,一个是使车具有沿坡面下滑的趋势,二是使车压紧坡面,因此重力可分解为沿坡面向下的分力G1=Gsin α和垂直于坡面的分力G2=Gcos α。
2.如图甲所示,小丽用斜向上的力拉行李箱,其简化图如图乙所示,拉力会产生两个效果,如何分解拉力,写出两个分力大小。
答案 如图所示,F1=Fcos θ,F2=Fsin θ
力的分解的步骤
提炼·总结
某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验,圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁,钥匙模拟重力,重力为mg(g为重力加速度),将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2,B脚与竖直方向的夹角为α,则
A.F1=mgtan α B.F1=mgsin α
C.F2=mgtan α D.F2=mgsin α
例2
√
钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小,如图,拉力按照作用效果可分解为
F1=mgtan α,F2=,
故选A。
(2024·浙江省高一期中)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺庙倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之,曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的轻木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,则木楔两侧产生的推力FN等于
A. B. C. D.
例3
√
选木楔为研究对象,木楔受到的力有:水平向左的F和两
侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力,由于木楔处于平衡
状态,所以两侧给木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分
解的力是大小相等的,F1=F2=FN,力F的分解如图,则有
F=2FNsin ,解得FN=,故D正确。
返回
力的正交分解
三
力的正交分解法:把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
如图所示,将力F沿x轴和y轴两个方向分解,则x轴上的分力Fx=Fcos α,y轴上的分力Fy=Fsin α。
如图所示,倾角为15°的斜面上放着木箱,用100 N的拉力斜向上拉着木箱,F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系,把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy,并计算它们的大小。
例4
答案 见解析
如图
α=45°-15°=30°
Fx=Fcos 30°=50 N
Fy=Fsin 30°=50 N
总结提升
正交分解法求合力的步骤
1.建立直角坐标系,常见的两种情况:
(1)水平和竖直建立坐标系;
(2)沿斜面和垂直斜面建立坐标系。
2.正交分解各力。
3.求出x轴、y轴上的合力Fx、Fy。
4.求出合力的大小和方向F=,合力与x轴的夹角为α,则tan α=。
在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
例5
答案 50 N,方向与F1相同
建立直角坐标系,如图所示,把F2分解
F2x=F2cos 37°=32 N
F2y=F2sin 37°=24 N
Fy=F2y-F3=0
Fx=F2x+F1=50 N
所以合力F=Fx=50 N,方向与F1相同。
返回
课时对点练
四
1.(多选)将一个力分解为两个分力,下列情况中,不能使力的分解结果一定唯一的有
A.已知两个分力的方向
B.已知两个分力的大小
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知一个分力的大小和方向
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础对点练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
将一个力分解为两个分力,根据平行四边形定则,即已知平行四边形的对角线,确定平行四边形的两个邻边,力的分解通常有下面几种组合:①已知两个分力的方向,确定两分力的大小,有唯一解;
②已知两个分力的大小,确定两个分力的方向,这种情况必须先看两分力大小与合力是否满足|F1-F2|≤F≤F1+F2,若不满足这个关系则无解,满足这个关系时可能有一解或两解;
③已知一个分力的大小和另一个分力的方向,这种情况可能无解、有两解或唯一解;
④已知一个分力的大小和方向,确定另一个分力的大小和方向,这种情况有唯一解。故选B、C。
2.滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一,如图所示,人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m,绳子对雪圈的拉力为F,F与水平方向之间的夹角为θ,以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为沿x轴方向的分量Fx和沿y轴方向的分量Fy。则Fy的大小为
A.Fsin θ B.Fcos θ C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Fy的大小为Fy=Fsin θ,故选A。
√
3.(2024·青岛市高一期中)如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为
A.9 N B.9 N C.12 N D.20 N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水平方向的分力大小为Fx=Fcos 30°=18× N=9 N,故选B。
√
4.(2024·江西省信丰中学高一月考)如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°。如果把球的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为
A.G,G B.G,G
C.G,G D.G,G
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据重力压两个光滑斜面的作用效果,将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2,根据平行四边形定则作出力的示意图,如图所示,由几何关系可得G1=Gcos 30°=G,G2=Gsin 30°=G,故选A。
5.(2023·朔州市朔城区一中高一开学考)将力F=10 N分解成两个分力,已知其中一个分力与F的夹角为30°,另一个分力的大小为7 N,则在分解时可能
A.有无数组解 B.有两组解
C.有唯一解 D.无解
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
已知一个分力有确定的方向,与F成30°夹角,知另一个分力的最小值为
Fsin 30°=5 N
而另一个分力大小为7 N,大于5 N,小于10 N,所以分解时
有两组解,如图,故B正确,A、C、D错误。
√
6.(多选)很多衣服上都有拉链,如图为拉链的一部分,当我们拉拉链的时候,拉头与拉链接触处呈三角形,使很难直接分开的拉链很容易被拉开,关于其中的物理原理,以下说法正确的是
A.拉开拉链的时候,三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向相同的两个分力
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
在拉开拉链的时候,三角形物体在两拉链间沿拉链运动,手的拉力在三角形物体上产生了两个不同方向的分力,分力的大小大于拉力的大小,所以使很难直接分开的拉链很容易被拉开,B、C正确。
7.(2024·济宁嘉祥县第一中学高一期中)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,=1.414,保留3位有效数字)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 39.6 N,方向与F1夹角为45°斜向右上方
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图甲,建立直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有
Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=28 N
Fy=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=28 N
Fx与Fy的合力F如图乙所示,tan φ==1,则φ=45°
合力F==28 N≈39.6 N
即合力F=39.6 N,方向与F1夹角为45°斜向右上方。
8.(多选)(2024·榆林市高一月考)家里的书桌离墙太近,某同学想将书桌向外移动一点,但她力气太小,推不动。于是,她找来两块相同的木板,搭成一个人字形架,然后往中央一站,书桌真的移动了。下列说法中正确的是
A.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,
该同学的重力沿木板方向的分力很大
B.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木板方向的分力
很小
C.人字形架的夹角越大,越容易推动书桌
D.人字形架的夹角越大,越难推动书桌
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
能力综合练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
重力的大小和方向始终不变,分解到两木板方向时,设
人字形架的夹角为θ,由平衡条件有2Fcos =G,可得该
同学的重力沿木板方向的分力为F=,可知人字形架的夹角越大,该同学的重力沿两木板方向的分力越大,作用在书桌上的水平推力越大,越容易推动书桌。故选A、C。
9.已知一条线段,以这条线段为对角线作出平行四边形,若没有附加条件限制,将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力,若没有附加条件,分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2,其中F1方向与F方向的夹角为30°,则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为
A.50 N 30° B.50 N 60°
C.50 N 90° D.50 N 90°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
合力大小为F=100 N,一个分力F1与合力方向的夹角是30°,根据三角形定则,如图所示。
可知,另一个分力的最小值为
F2=Fsin 30°=100 × N=50 N
方向与F1方向的夹角为90°,故选C。
10.(2023·盐城市盐城中学高一期中)如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力,现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推
力小
C.若F一定,增大θ,直侧面推力减小
D.若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比增大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
将力沿垂直于两个侧面的方向上分解,如图所示,针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为FN,直侧面对瓶塞的推力为FN',则=cos θ
可知FN'
=cos θ,若θ一定,则为定值,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比不变,故D错误。
11.(多选)科学的佩戴口罩,对于肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用,既保护自己,又有利于公众健康,如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图,一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳,它的弹力大小遵循胡克定律,在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x,此时AB段与水平方向的夹角为37°,DE段与水平方向的夹角为53°,弹性绳涉及的受力均在同一平面内,忽略一切摩擦,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是
A.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=
B.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=1
C.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
弹性轻绳被拉长了x,同一根弹性轻绳弹力大小相等,
即FAB=FDE=kx,将FAB、FDE分别正交分解,如图,则Fx=
FABcos 37°+FDEcos 53°=1.4kx,Fy=FABsin 37°+
FDEsin 53°=1.4kx,则耳朵受到的口罩带的作用力F==kx,耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,tan θ==1,故选B、C。
12.如图所示是扩张机的原理示意图,A、B处为活动铰链,C处为固定铰链,在A处作用一水平力F,滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D,已知图中2l=1.0 m,b=0.05 m,F=400 N,滑块与左壁接触,接触面光滑,则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)
A.3 000 N B.2 000 N
C.1 000 N D.500 N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
尖子生选练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
返回
将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行
分解,作出力的分解图如图甲所示。
则有2F1cos α=F,得F1=F2=
再将F1按作用效果分解为FN和FN',作出力的分解图如图乙所示。
则有FN=F1sin α,联立得FN=
根据几何知识得tan α==10
得FN=5F=2 000 N,故选项B正确。第3课时 力的合成和分解的分析与计算(二)
［学习目标］ 1.会按力的作用效果分解力(重点)。2.知道正交分解的目的和原则，会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解(重点)。
一、力的分解
1.如图甲所示，由平行四边形定则可知，两个已知力进行合成时，这两个力的合力是唯一的。如图乙，如果将一个已知力分解成两个分力，结果是否也是唯一的呢？
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.按下列要求作图。
(1)已知力F及其两个分力的方向(即图中α、β)，在图甲中画出两个分力F1和F2。
(2)已知力F及其中一个分力F1，在图乙中画出另一个分力F2。
(3)已知合力F、F1的方向与F夹角α，在图丙中作出另一分力F2的最小值。
(4)已知F1的方向和F2的大小(Fsin α
A.可能大于10 N B.不可能等于10 N
C.可能小于10 N D.最小值为8 N
二、力的效果分解
1.车在水平面和坡面上时，重力产生的作用效果分别是什么？设坡面与水平面的夹角为α，车的重力为G，分析坡面上重力的作用效果，并按力的作用效果求出两分力的大小。
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.如图甲所示，小丽用斜向上的力拉行李箱，其简化图如图乙所示，拉力会产生两个效果，如何分解拉力，写出两个分力大小。
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
力的分解的步骤
例2 某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重力，重力为mg(g为重力加速度)，将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，B脚与竖直方向的夹角为α，则 ( )
A.F1=mgtan α B.F1=mgsin α
C.F2=mgtan α D.F2=mgsin α
例3 (2024·浙江省高一期中)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的轻木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，则木楔两侧产生的推力FN等于 ( )
A. B. C. D.
三、力的正交分解
力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则x轴上的分力Fx=Fcos α，y轴上的分力 Fy=Fsin α。
例4 如图所示，倾角为15°的斜面上放着木箱，用100 N的拉力斜向上拉着木箱，F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy，并计算它们的大小。
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
正交分解法求合力的步骤
1.建立直角坐标系，常见的两种情况：
(1)水平和竖直建立坐标系；
(2)沿斜面和垂直斜面建立坐标系。
2.正交分解各力。
3.求出x轴、y轴上的合力Fx、Fy。
4.求出合力的大小和方向F=，合力与x轴的夹角为α，则tan α=。
例5 在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
答案精析
一、
1.
将一个力可以分解为两个分力，如图所示，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，结果并不是唯一的。也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形。
2.
例1 AC ［当F2与F1垂直时，F2最小，最小值为F2min=Fsin 37°=6 N，则F2≥6 N，故选A、C。］
二、
1.在水平面上时重力的作用效果是使车压水平面；在坡面上时重力的作用效果有两个，一个是使车具有沿坡面下滑的趋势，二是使车压紧坡面，因此重力可分解为沿坡面向下的分力G1=Gsin α和垂直于坡面的分力G2=Gcos α。
2.
如图所示，
F1=Fcos θ，
F2=Fsin θ
例2 A ［
钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小，如图，拉力按照作用效果可分解为
F1=mgtan α，F2=，
故选A。］
例3 D ［
选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的F和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给木楔的斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的力是大小相等的，F1=F2=FN，力F的分解如图，则有F=2FNsin ，解得FN=，故D正确。］
三、
例4 见解析
解析
如图
α=45°-15°=30°
Fx=Fcos 30°
=50 N
Fy=Fsin 30°=50 N
例5 50 N，方向与F1相同
解析
建立直角坐标系，如图所示，把F2分解
F2x=F2cos 37°
=32 N
F2y=F2sin 37°
=24 N
Fy=F2y-F3=0
Fx=F2x+F1=50 N
所以合力F=Fx=50 N，方向与F1相同。作业25 力的合成和分解的分析与计算(二)
1~6题每题7分,7题12分,共54分
1.(多选)将一个力分解为两个分力,下列情况中,不能使力的分解结果一定唯一的有 ( )
A.已知两个分力的方向
B.已知两个分力的大小
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知一个分力的大小和方向
2.滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一,如图所示,人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m,绳子对雪圈的拉力为F,F与水平方向之间的夹角为θ,以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为沿x轴方向的分量Fx和沿y轴方向的分量Fy。则Fy的大小为 ( )
A.Fsin θ B.Fcos θ
C. D.
3.(2024·青岛市高一期中)如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为 ( )
A.9 N B.9 N C.12 N D.20 N
4.(2024·江西省信丰中学高一月考)如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°。如果把球的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为 ( )
A.G,G B.G,G
C.G,G D.G,G
5.(2023·朔州市朔城区一中高一开学考)将力F=10 N分解成两个分力,已知其中一个分力与F的夹角为30°,另一个分力的大小为7 N,则在分解时可能 ( )
A.有无数组解 B.有两组解
C.有唯一解 D.无解
6.(多选)很多衣服上都有拉链,如图为拉链的一部分,当我们拉拉链的时候,拉头与拉链接触处呈三角形,使很难直接分开的拉链很容易被拉开,关于其中的物理原理,以下说法正确的是 ( )
A.拉开拉链的时候,三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D.拉开拉链的时候,三角形的物体将拉力分解为方向相同的两个分力
7.(12分)(2024·济宁嘉祥县第一中学高一期中)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,=1.414,保留3位有效数字)
8~11题每题9分,共36分
8.(多选)(2024·榆林市高一月考)家里的书桌离墙太近,某同学想将书桌向外移动一点,但她力气太小,推不动。于是,她找来两块相同的木板,搭成一个人字形架,然后往中央一站,书桌真的移动了。下列说法中正确的是 ( )
A.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木板方向的分力很大
B.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木板方向的分力很小
C.人字形架的夹角越大,越容易推动书桌
D.人字形架的夹角越大,越难推动书桌
9.已知一条线段,以这条线段为对角线作出平行四边形,若没有附加条件限制,将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力,若没有附加条件,分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2,其中F1方向与F方向的夹角为30°,则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为 ( )
A.50 N 30° B.50 N 60°
C.50 N 90° D.50 N 90°
10.(2023·盐城市盐城中学高一期中)如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力,现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则 ( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小
C.若F一定,增大θ,直侧面推力减小
D.若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比增大
11.(多选)科学的佩戴口罩,对于肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用,既保护自己,又有利于公众健康,如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图,一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳,它的弹力大小遵循胡克定律,在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x,此时AB段与水平方向的夹角为37°,DE段与水平方向的夹角为53°,弹性绳涉及的受力均在同一平面内,忽略一切摩擦,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 ( )
A.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=
B.耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan θ=1
C.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
(10分)
12.如图所示是扩张机的原理示意图,A、B处为活动铰链,C处为固定铰链,在A处作用一水平力F,滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D,已知图中2l=1.0 m,b=0.05 m,F=400 N,滑块与左壁接触,接触面光滑,则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计) ( )
A.3 000 N B.2 000 N
C.1 000 N D.500 N
答案精析
1.BC 2.A 3.B
4.A ［
根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2，根据平行四边形定则作出力的示意图，如图所示，由几何关系可得G1=Gcos 30°=G，G2=Gsin 30°=G，故选A。］
5.B ［
已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fsin 30°=5 N
而另一个分力大小为7 N，大于5 N，小于10 N，所以分解时有两组解，如图，故B正确，A、C、D错误。］
6.BC ［在拉开拉链的时候，三角形物体在两拉链间沿拉链运动，手的拉力在三角形物体上产生了两个不同方向的分力，分力的大小大于拉力的大小，所以使很难直接分开的拉链很容易被拉开，B、C正确。］
7.39.6 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方
解析 如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=28 N
Fy=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=28 N
Fx与Fy的合力F如图乙所示，tan φ==1，则φ=45°
合力F==28 N≈39.6 N
即合力F=39.6 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方。
8.AC ［重力的大小和方向始终不变，分解到两木板方向时，设人字形架的夹角为θ，由平衡条件有2Fcos =G，可得该同学的重力沿木板方向的分力为F=，可知人字形架的夹角越大，该同学的重力沿两木板方向的分力越大，作用在书桌上的水平推力越大，越容易推动书桌。故选A、C。］
9.C ［
合力大小为F=100 N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据三角形定则，如图所示。
可知，另一个分力的最小值为
F2=Fsin 30°=100 × N=50 N
方向与F1方向的夹角为90°，故选C。］
10.C
［将力沿垂直于两个侧面的方向上分解，如图所示，针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为FN，直侧面对瓶塞的推力为FN'，则=cos θ
可知FN'
=cos θ，若θ一定，则为定值，增大F，直侧面与倾斜侧面推力之比不变，故D错误。］
11.BC ［
弹性轻绳被拉长了x，同一根弹性轻绳弹力大小相等，即FAB=FDE=kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx=FABcos 37°+FDEcos 53°=1.4kx，Fy=FABsin 37°+FDEsin 53°=1.4kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F==kx，耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向的夹角为θ，tan θ==1，故选B、C。］
12.B ［将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示。
则有2F1cos α=F，
得F1=F2=
再将F1按作用效果分解为FN和FN'，作出力的分解图如图乙所示。
则有FN=F1sin α，
联立得FN=
根据几何知识得tan α==10
得FN=5F=2 000 N，故选项B正确。］
