第2课时 简单的三角恒等变换(二)
[学习目标] 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.(重点)2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.(难点)
导语
同学们,我们从开始学习两角差的余弦,就尝试对展开式进行合并,尤其是一些特殊的形式,比如sin x+cos x等,其实从那个时候起,就开始有了辅助角公式的影子,大家知道吗 辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的,辅助角公式的提出,对整个三角函数产生了巨大的影响,今天,我们就和李善兰先生一起来探究辅助角公式的意义吧.
一、辅助角公式及其应用
问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并:sin x±cos x,sin x±cos x,cos x±sin x.
提示 sin x±cos x=sin,sin x±cos x=2sin,cos x±sin x=2sin.
问题2 一般地,对于y=asin x+bcos x,你能对它进行合并吗
提示 第一步:提常数,提出,
得到;
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到(cos φsin x+sin φcos x);
第三步:化简、逆用公式得asin x+bcos x
=sin(x+φ),其中tan φ=.
知识梳理
辅助角公式
y=asin x+bcos x=sin(x+φ).
注意点:
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ).
例1 已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α∈,f=,求sin α的值.
解 (1)f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1
=sin 2x+cos 2x
=sin ,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为f=sin =,
所以sin =,
又α∈,
所以α+,
所以cos =-,
所以sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
反思感悟 研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
跟踪训练1 已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)由已知,得f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为x∈,
所以2x-,
所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
且f=-,f=-,f=,
所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
二、三角恒等变换在几何中的应用
例2 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
解 如图,连接OC,
设∠COB=θ,
则0°<θ<45°,OC=1.
因为AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-sin θ,
所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ
=-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ
=(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-.
当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,(S矩形ABCD)max=(m2),所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
反思感悟 三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决,体现了数学中的化归思想.
跟踪训练2 如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最长
解 设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α,
所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R=Rsin+R.
因为0<α<,所以<α+<,
所以当α+=,即α=时,l的最大值为R+R=(+1)R,故当α=时,△OAB的周长最长.
三、三角恒等变换在实际问题中的应用
例3 如图,OA,OB是两条互相垂直的笔直公路,半径OA=2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力,欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合),并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时,投资费用最低.设∠POA=θ,公路MB,MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式,并写出函数的定义域.
解 连接OM(图略),在Rt△OPN中,OP=2,∠POA=θ,故NP=2tan θ.
根据平面几何知识可知,MB=MP,
∠BOM=∠BOP==-.
在Rt△BOM中,OB=2,∠BOM=-,
故BM=2tan.
所以f(θ)=NP+2BM=2tan θ+4tan.
显然θ∈,
所以函数f(θ)的定义域为.
反思感悟 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ= .
答案
解析 由题意得5cos θ-5sin θ=1,θ∈,
所以cos θ-sin θ=,
又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,
所以cos θ+sin θ=,
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
1.知识清单:
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换在几何中的应用.
(3)三角恒等变换在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:易忽视实际问题中的定义域.
1.已知sin x+cos x=,则cos等于 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵sin x+cos x=2sin=,
∴sin=,
则cos=sin=.
2.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f(x)在上单调递增
答案 D
解析 f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,
∴函数f(x)的最小正周期为π,函数f(x)的最大值为,故A,B错误;由f=sin=≠0,故C错误;由π
A.- B.- C. D.
答案 B
解析 因为f(x)=sin x+cos x+1=2sin+1在区间[0,2π]上有两个零点,
所以sin=-,x+,
所以x+=或,
所以x=或,
又α<β,故α=,β=,
故α-β=-,
故sin(α-β)=-.
4.如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为 .
答案
解析 设∠POQ=θ,则PQ=sin θ,OQ
=cos θ,∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ,由sin 2θ>,得sin 2θ>.又2θ∈(0,π),∴<2θ<,则<θ<,∴∠POQ的取值范围为.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.cos 15°-4sin215°cos 15°等于 ( )
A. B.
C.1 D.
答案 D
解析 cos 15°-4sin215°cos 15°
=cos 15°-2sin 15°·sin 30°
=cos 15°-sin 15°
=-2
=-2sin(-45°)=.
2.等于 ( )
A. B.1
C. D.
答案 A
解析 ====.
3.若sin α-cos α=,则cos等于 ( )
A. B.-
C. D.-
答案 D
解析 ∵sin α-cos α=2
=-2cos=,∴cos=-.
4.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为f(x)=sin x+cos x=sin,根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心特征可知,对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点,四个选项中只有当x=-时,f=0,即函数f(x)的一个对称中心为.
5.若方程sin x+cos x=4-m有解,则实数m的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
答案 A
解析 ∵sin x+cos x=4-m,
∴sin x+cos x=,
∴sinsin x+coscos x=,
∴cos=.∵-1≤cos≤1,
∴-1≤≤1,∴2≤m≤6.
6.(多选)已知函数f(x)=sin πx+cos πx(x∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是周期函数
B.函数f(x)的最大值是2
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
答案 AC
解析 因为f(x)=sin πx+cos πx
=sin ,
所以f(x)是周期为2的周期函数,其最大值是,所以A正确,B错误;
因为f=0,f=1≠±,所以C正确,D错误.
7.(5分)已知函数f(x)=2sin x+3cos x,x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)的最大值是 .
答案 2
解析 因为f(x)=2sin x+3cos x=sin(x+φ) ,
所以f(x)max=,f(x)min=-,
因为x1,x2∈R,
所以f(x1)-f(x2)的最大值为
f(x1)max-f(x2)min=-(-)=2.
8.(5分)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为 .
答案
解析 因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ)的最大值为2,
所以=2,
解得sin φ=1,故可取φ=.
9.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;(4分)
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值,以及此时x的取值.(6分)
解 f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为
=.
(2)∵x∈,∴2x+,
∴当2x+=,即x=时,
f(x)取得最大值3;
当2x+=-,即x=-时,
f(x)取得最小值0.
10.(12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(7分)
(2)若x∈,求函数的值域.(5分)
解 (1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x
=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x
=sin 2x+cos 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,2x∈[0,π],
所以2x+,
所以sin,
所以函数f(x)的值域是.
11.函数f(x)=sin-sin 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 f(x)=sin-sin
=sin-cos=sin,
又0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴≤sin≤1,
∴≤sin≤,
∴函数f(x)=sin的值域为
.
12.已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,
当x=x0时,f(x)取得最大值,
则x0+φ=+2kπ,k∈Z,
即x0=-φ+2kπ,k∈Z,
故sin x0=sin=cos φ=.
13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8,则m等于 ( )
A.3 B.13
C.3或-3 D.-3或13
答案 C
解析 ∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|,
∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|,
∵-5≤5sin(x+φ)≤5,
∴当m>0时,f(x)max=|5+m|=8,
解得m=3;
当m<0时,f(x)max=|-5+m|=8,
解得m=-3.
14.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0,π]上有两个零点,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,由x∈[0,π],
又ω>0,
则可令t=ωx+,
又函数y=2sin t在t∈上有两个零点,如图,
则2π≤ωπ+<3π,解得ω∈.
15.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角x= 来截.
答案 或
解析 设正方形EFGH的边长为1,
则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=sin x+cos x,
由题意可得=,
即1+sin 2x=,可得sin 2x=,
因为x∈,则2x∈(0,π),
所以2x=或2x=,
解得x=或x=.
16.(12分)如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少 (6分)
(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D位置,使步行小路的距离最远 (6分)
解 (1)连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,
则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且θ∈.
因为A,D关于点O对称,
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S,则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈,所以2θ∈(0,π),
所以当sin 2θ=1,
即θ=时,Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A,D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB=20sin θ,
AD=40cos θ,
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ
=40sin,
又θ∈,所以θ+,
当θ+=,即θ=时,(AB+BC+CD)max=40(m),
此时AO=DO=10(m),
即当A,D距离圆心O为10 m时,步行小路的距离最远.(共65张PPT)
第2课时
第五章
<<<
简单的三角恒等变换(二)
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.(重点)
2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.(难点)
学习目标
同学们,我们从开始学习两角差的余弦,就尝试对展开式进行合并,尤其是一些特殊的形式,比如sin x+cos x等,其实从那个时候起,就开始有了辅助角公式的影子,大家知道吗 辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的,辅助角公式的提出,对整个三角函数产生了巨大的影响,今天,我们就和李善兰先生一起来探究辅助角公式的意义吧.
导 语
一、辅助角公式及其应用
二、三角恒等变换在几何中的应用
课时对点练
三、三角恒等变换在实际问题中的应用
随堂演练
内容索引
辅助角公式及其应用
一
提示 sin x±cos x=sin,sin x±cos x=2sin,cos x±sin x
＝2sin.
请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并:sin x±cos x,sin x±cos x,cos x±sin x.
问题1
提示 第一步:提常数,提出,
得到;
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到(cos φsin x+sin φcos x);
第三步:化简、逆用公式得asin x+bcos x
=sin(x+φ),其中tan φ=.
一般地,对于y=asin x+bcos x,你能对它进行合并吗
问题2
辅助角公式
y=asin x+bcos x= .
sin(x+φ)
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ).
注 意 点
<<<
已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
例 1
f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1
=sin 2x+cos 2x
=sin ,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)设α∈,f=,求sin α的值.
因为f=sin =,所以sin =,
又α∈,所以α+,
所以cos =-,
所以sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
反
思
感
悟
已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
跟踪训练 1
由已知,得f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
因为x∈,
所以2x-,
所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
且f=-,f=-,f=,
所以f(x)在区间,最小值为-.
二
三角恒等变换在几何中的应用
某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
例 2
如图,连接OC,
设∠COB=θ,
则0°<θ<45°,OC=1.
因为AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-sin θ,
所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ
=-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ
=(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-.
当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,(S矩形ABCD)max=(m2),所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
反
思
感
悟
三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决,体现了数学中的化归思想.
如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最长
跟踪训练 2
设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α,
所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R=Rsin+R.
因为0<α<,所以<α+<,
所以当α+=,即α=时,l的最大值为R+R=(+1)R,故当α=时，△OAB的周长最长.
三角恒等变换在实际问题中的应用
三
如图,OA,OB是两条互相垂直的笔直公路,半径OA=2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力,欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合),并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时,投资费用最低.设∠POA=θ,公路MB,MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式,并写出函数的定义域.
例 3
连接OM(图略),在Rt△OPN中,OP=2,∠POA=θ,故NP=2tan θ.
根据平面几何知识可知,MB=MP,
∠BOM=∠BOP==-.
在Rt△BOM中,OB=2,∠BOM=-,
故BM=2tan.
所以f(θ)=NP+2BM=2tan θ+4tan.
显然θ∈,
所以函数f(θ)的定义域为.
反
思
感
悟
实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积
为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ= .
跟踪训练 3
由题意得5cos θ-5sin θ=1,θ∈,
所以cos θ-sin θ=,
又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,
所以cos θ+sin θ=,
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
1.知识清单:
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换在几何中的应用.
(3)三角恒等变换在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:易忽视实际问题中的定义域.
随堂演练
四
1.已知sin x+cos x=,则cos等于
A. B. C. D.
∵sin x+cos x=2sin=,
∴sin=,
则cos=sin=.
√
1
2
3
4
2.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f(x)在上单调递增
√
1
2
3
4
1
2
3
4
f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,
∴函数f(x)的最小正周期为π,函数f(x)的最大值为,故A,B错误;由f=sin=≠0,故C错误;由π
A.- B.- C. D.
√
1
2
3
4
1
2
3
4
因为f(x)=sin x+cos x+1=2sin+1在区间[0,2π]上有两个零点,
所以sin=-,x+,
所以x+=,
所以x=,
又α<β,故α=,β=,
故α-β=-,
故sin(α-β)=-.
4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围
为 .
1
2
3
4
设∠POQ=θ,则PQ=sin θ,OQ=cos θ,
∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ,由sin 2θ>,得sin 2θ>.
又2θ∈(0,π),∴<2θ<,则<θ<,
∴∠POQ的取值范围为.
1
2
3
4
课时对点练
五
1.cos 15°-4sin215°cos 15°等于
A. B. C.1 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
cos 15°-4sin215°cos 15°
=cos 15°-2sin 15°·sin 30°
=cos 15°-sin 15°
=-2
=-2sin(-45°)=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.等于
A. B.1
C. D.
====.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若sin α-cos α=,则cos等于
A. B.-
C. D.-
∵sin α-cos α=2
=-2cos=,∴cos=-.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是
A. B. C. D.
因为f(x)=sin x+cos x=sin,根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心特征可知,对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点,四个选项中只有当x=-时,f=0,即函数f(x)的一个对称中心为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
5.若方程sin x+cos x=4-m有解,则实数m的取值范围是
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
∵sin x+cos x=4-m,
∴sin x+cos x=,
∴sinsin x+coscos x=,
∴cos=.∵-1≤cos≤1,
∴-1≤≤1,∴2≤m≤6.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知函数f(x)=sin πx+cos πx(x∈R),则下列说法正确的是
A.函数f(x)是周期函数
B.函数f(x)的最大值是2
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
因为f(x)=sin πx+cos πx
=sin ,
所以f(x)是周期为2的周期函数,其最大值是,所以A正确,B错误;
因为f=0,f=1≠±,所以C正确,D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知函数f(x)=2sin x+3cos x,x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)的最大值是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
因为f(x)=2sin x+3cos x=sin(x+φ) ,
所以f(x)max=,f(x)min=-,
因为x1,x2∈R,
所以f(x1)-f(x2)的最大值为
f(x1)max-f(x2)min=-(-)=2.
8.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ)的最大值为2,
所以=2,
解得sin φ=1,故可取φ=.
9.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.
函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为=.
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值,以及此时x的取值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵x∈,∴2x+,
∴当2x+=,即x=时,
f(x)取得最大值3;
当2x+=-,即x=-时,
f(x)取得最小值0.
10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x
=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x
=sin 2x+cos 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若x∈,求函数的值域.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x∈时,2x∈[0,π],
所以2x+,
所以sin,
所以函数f(x)的值域是.
11.函数f(x)=sin-sin 的值域为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
f(x)=sin-sin
=sin-cos=sin,
又0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴≤sin≤1,
∴≤sin≤,
∴函数f(x)=sin的值域为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,
当x=x0时,f(x)取得最大值,
则x0+φ=+2kπ,k∈Z,
即x0=-φ+2kπ,k∈Z,
故sin x0=sin=cos φ=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8,则m等于
A.3 B.13
C.3或-3 D.-3或13
∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|,
∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|,
∵-5≤5sin(x+φ)≤5,
∴当m>0时,f(x)max=|5+m|=8,解得m=3;
当m<0时,f(x)max=|-5+m|=8,解得m=-3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0,π]上有两个零点,则ω的取值范围为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,由x∈[0,π],
又ω>0,
则可令t=ωx+,
又函数y=2sin t在t∈上有两个零点,如图,
则2π≤ωπ+<3π,解得ω∈.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的
三分之二,则应按角x= 来截.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
或
设正方形EFGH的边长为1,
则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=sin x+cos x,
由题意可得=,
即1+sin 2x=,可得sin 2x=,
因为x∈,则2x∈(0,π),
所以2x=或2x=,
解得x=或x=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形
ABCD的面积最大,最大值是多少
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,
则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且θ∈.
因为A,D关于点O对称,
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S,则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈,所以2θ∈(0,π),
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以当sin 2θ=1,
即θ=时,Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A,D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D位置,使步行小路的距离最远
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由(1)知AB=20sin θ,
AD=40cos θ,
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ
=40sin,
又θ∈,所以θ+,
当θ+=,即θ=时,(AB+BC+CD)max=40(m),
此时AO=DO=10(m),
即当A,D距离圆心O为10 m时,步行小路的距离最远.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16第2课时 简单的三角恒等变换(二)
[学习目标] 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.(重点)2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.(难点)
一、辅助角公式及其应用
问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并:sin x±cos x,sin x±cos x,cos x±sin x.
问题2 一般地,对于y=asin x+bcos x,你能对它进行合并吗
知识梳理
辅助角公式
y=asin x+bcos x=_______________.
例1 已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α∈,f=,求sin α的值.
反思感悟 研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
跟踪训练1 已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
二、三角恒等变换在几何中的应用
例2 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
反思感悟 三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决,体现了数学中的化归思想.
跟踪训练2 如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最长
三、三角恒等变换在实际问题中的应用
例3 如图,OA,OB是两条互相垂直的笔直公路,半径OA=2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力,欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合),并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时,投资费用最低.设∠POA=θ,公路MB,MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式,并写出函数的定义域.
反思感悟 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ= .
1.知识清单:
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换在几何中的应用.
(3)三角恒等变换在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:易忽视实际问题中的定义域.
1.已知sin x+cos x=,则cos等于 ( )
A. B. C. D.
2.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f(x)在上单调递增
3.已知函数f(x)=sin x+cos x+1在区间[0,2π]上有两个零点α,β(α<β),则sin(α-β)等于 ( )
A.- B.- C. D.
4.如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为 .
答案精析
问题1 sin x±cos x=sin，sin x±cos x=2sin，
cos x±sin x=2sin.
问题2 第一步：提常数，提出，
得到·
；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=，sin φ=，
得到(cos φsin x+sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得asin x+bcos x
=sin(x+φ)，其中tan φ=.
知识梳理
sin(x+φ)
例1 解 (1)f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1
=sin 2x+cos 2x
=sin ，
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为f=sin
=，
所以sin =，
又α∈，
所以α+∈，
所以cos =-，
所以sin α=sin
=sincos-cos·sin=×-×
=.
跟踪训练1 解 (1)由已知，得
f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x
=sin，
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为x∈，
所以2x-∈，
所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，且f=-，
f=-，f=，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为-.
例2 解 如图，连接OC，
设∠COB=θ，
则0°<θ<45°，
OC=1.
因为AB=OB-OA=cos θ-AD
=cos θ-sin θ，
所以S矩形ABCD=AB·BC
=(cos θ-sin θ)·sin θ
=-sin2θ+sin θcos θ
=-(1-cos 2θ)+sin 2θ
=(sin 2θ+cos 2θ)-
=cos(2θ-45°)-.
当2θ-45°=0°，即θ=22.5°时，(S矩形ABCD)max=(m2)，
所以割出的长方形桌面的最大面积为
m2.
跟踪训练2 解 设∠AOB=α，△OAB的周长为l，
则AB=Rsin α，OB=Rcos α，
所以l=OA+AB+OB
=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R
=Rsin+R.
因为0<α<，
所以<α+<，
所以当α+=，即α=时，l的最大值为R+R=(+1)R，故当α=时，△OAB的周长最长.
例3 解 连接OM(图略)，
在Rt△OPN中，OP=2，∠POA=θ，故NP=2tan θ.
根据平面几何知识可知，MB=MP，
∠BOM=∠BOP=
=-.
在Rt△BOM中，OB=2，
∠BOM=-，
故BM=2tan.
所以f(θ)=NP+2BM
=2tan θ+4tan.
显然θ∈，
所以函数f(θ)的定义域为.
跟踪训练3
随堂演练
1.B 2.D 3.B 4.作业62 简单的三角恒等变换(二)
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.cos 15°-4sin215°cos 15°等于 ( )
A. B.
C.1 D.
2.等于 ( )
A. B.1
C. D.
3.若sin α-cos α=,则cos等于 ( )
A. B.-
C. D.-
4.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是 ( )
A. B. C. D.
5.若方程sin x+cos x=4-m有解,则实数m的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
6.(多选)已知函数f(x)=sin πx+cos πx(x∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是周期函数
B.函数f(x)的最大值是2
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
7.(5分)已知函数f(x)=2sin x+3cos x,x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)的最大值是 .
8.(5分)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为 .
9.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;(4分)
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值,以及此时x的取值.(6分)
10.(12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(7分)
(2)若x∈,求函数的值域.(5分)
11.函数f(x)=sin-sin 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
12.已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0等于 ( )
A. B.
C. D.
13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8,则m等于 ( )
A.3 B.13
C.3或-3 D.-3或13
14.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0,π]上有两个零点,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
15.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角x= 来截.
16.(12分)如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少 (6分)
(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D位置,使步行小路的距离最远 (6分)
答案精析
1.D 2.A 3.D 4.D
5.A [∵sin x+cos x=4-m，
∴sin x+cos x=，
∴sinsin x+coscos x=，
∴cos=.
∵-1≤cos≤1，
∴-1≤≤1，∴2≤m≤6.]
6.AC [因为f(x)=sin πx+cos πx
=sin ，
所以f(x)是周期为2的周期函数，其最大值是，所以A正确，B错误；
因为f=0，f=1≠±，所以C正确，D错误.]
7.2
8.
解析 因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=·sin(x+θ)的最大值为2，
所以=2，
解得sin φ=1，故可取φ=.
9.解 f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1
=2sin+1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为
=.
(2)∵x∈，
∴2x+∈，
∴当2x+=，即x=时，
f(x)取得最大值3；
当2x+=-，即x=-时，
f(x)取得最小值0.
10.解 (1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x
=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x
=sin 2x+cos 2x=sin，
所以f(x)的最小正周期为
T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x+∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
11.A [f(x)=sin-sin
=sin-cos
=sin，
又0≤x≤，∴≤2x+≤，
∴≤sin≤1，
∴≤sin≤，
∴函数f(x)=sin的值域为.]
12.A [f(x)=sin x+2cos x
=sin(x+φ)，其中sin φ=，
cos φ=，
当x=x0时，f(x)取得最大值，
则x0+φ=+2kπ，k∈Z，
即x0=-φ+2kπ，k∈Z，
故sin x0=sin
=cos φ=.]
13.C [∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|，
∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|，
∵-5≤5sin(x+φ)≤5，
∴当m>0时，f(x)max=|5+m|=8，
解得m=3；
当m<0时，f(x)max=|-5+m|=8，
解得m=-3.]
14.B [f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin，由x∈[0，π]，
又ω>0，
则可令t=ωx+∈，
又函数y=2sin t在t∈上有两个零点，如图，
则2π≤ωπ+<3π，解得ω∈.]
15.或
解析 设正方形EFGH的边长为1，
则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=sin x+cos x，
由题意可得=，
即1+sin 2x=，可得sin 2x=，
因为x∈，则2x∈(0，π)，
所以2x=或2x=，
解得x=或x=.
16.解 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，
则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于点O对称，
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，
所以当sin 2θ=1，
即θ=时，Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB=20sin θ，
AD=40cos θ，
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ
=40sin，
又θ∈，
所以θ+∈，
当θ+=，即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)，
此时AO=DO=10(m)，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
