第3课时 两角和与差的正切公式
[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(难点)
导语
同学们,上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并,今天我们将继续“变脸”,共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”.
一、两角和与差的正切公式
问题1 请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
提示 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
问题2 同角三角函数中的商数关系是什么
提示 =tan α.
问题3 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗
提示 tan(α+β)=
=.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
知识梳理
1.两角和的正切公式
tan(α+β)=,其中α,β,α+β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α+β).
2.两角差的正切公式
tan(α-β) =,其中α,β,α-β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α-β).
3.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)
=tan(α+β);
tan αtan β=1-.
4.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)
=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
注意点:
(1)只有当α,β,α-β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为“分子同,分母反”.
例1 (1)tan 255°等于 ( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
答案 D
解析 tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=
==2+.
(2)化简等于 ( )
A. B.
C.3 D.1
答案 B
解析 ==tan(45°-15°)=tan 30°=.
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan”“=tan”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
跟踪训练1 化简求值:
(1);
(2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
解 (1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)∵tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
二、给值求值(角)
例2 已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
答案 A
解析 因为sin α=,α∈,
所以cos α=-,即tan α=-.
因为tan(π-β)=-tan β,故tan β=-.
所以tan(α-β)=
==-.
延伸探究 若本例条件不变,求tan(α+β)的值.
解 因为α∈,sin α=,所以cos α=-,
tan α=-,又tan β=-,
所以tan(α+β)=
==-2.
反思感悟 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
跟踪训练2 如图,在平面直角坐标系Oxy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
解 (1)由条件得cos α=,cos β=.
∵α,β为锐角,∴sin α==,
sin β==.
因此tan α==7,
tan β==.
∴tan(α+β)=
==-3.
(2)∵tan 2β=tan(β+β)=
==,
∴tan(α+2β)=
==-1.
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的根,则tan(α+β)的值为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
答案 A
解析 由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,
所以tan(α+β)===-3.
反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.
跟踪训练3 (多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式中正确的是 ( )
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
答案 CD
解析 ∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,
∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;
∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,
∴tan Atan B=, ①
又tan A+tan B=, ②
∴联立①②解得tan A=tan B=,
∴cos B=sin A,故选项C,D正确.
1.知识清单:
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:公式中加减符号易记错.
1.已知tan α=3,则tan等于 ( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
答案 C
解析 ∵tan α=3,
∴tan===-2.
2.已知tan α=2,tan β=3,则tan(α+β)等于 ( )
A.1 B.5
C.-1 D.-5
答案 C
解析 tan(α+β)=
==-1.
3.已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值是 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为tan(α+β)=,tan=,
所以tan=tan
===.
4.计算:= .
答案 1
解析 原式==tan 45°=1.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.与相等的是 ( )
A.tan 66° B.tan 24°
C.tan 42° D.tan 21°
答案 B
解析 原式==tan(45°-21°)
=tan 24°.
2.已知α∈,sin α=-,则tan等于 ( )
A.-7 B.-
C. D.7
答案 B
解析 ∵α∈,sin α=-,
∴cos α=,∴tan α=-.
∴tan===-.
3.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°等于 ( )
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
答案 B
解析 ∵28°+32°=60°,
∴tan 60°=tan(28°+32°)==,
∴tan 28°+tan 32°=(1-m).
4.若α+β=,则(1-tan α)·(1-tan β)等于 ( )
A. B.2
C.1+ D.不确定
答案 B
解析 ∵α+β=,
∴tan(α+β)==-1,
∴tan α+tan β=tan α·tan β-1,
∴(1-tan α)(1-tan β)
=1-(tan α+tan β)+tan α·tan β
=1-(tan α·tan β-1)+tan α·tan β=2.
5.已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则角α+β的值为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为sin α=,且α为锐角,
所以cos α=,tan α=,
所以tan(α+β)===-1.
又α+β∈,故α+β=.
6.(多选)已知cos α=-,则tan等于 ( )
A.- B.-7
C. D.7
答案 CD
解析 因为cos α=-,
所以sin α=±=±,
所以tan α=±.
当tan α=时,tan==;
当tan α=-时,tan==7.
7.(5分)已知2tan θ-tan=7,则tan θ= .
答案 2
解析 ∵2tan θ-tan=7,
∴2tan θ-=7,
即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ,
即2tan2θ-8tan θ+8=0,
即2(tan θ-2)2=0,解得tan θ=2.
8.(5分)已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β= ,= .
答案 3
解析 因为0<α<,sin α=,
所以cos α===,
所以tan α==,又因为tan(α-β)=-,
所以tan β=tan[α-(α-β)]=
===3,
所以====.
9.(10分)化简求值:
(1);(5分)
(2)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°).(5分)
解 (1)∵tan 60°=tan(10°+50°)
=,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°.
∴
=
=
=-tan 60°=-.
(2)由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)
=4.
10.(12分)已知tan=2,tan β=.
(1)求tan α的值;(5分)
(2)求的值.(7分)
解 (1)∵tan=2,
∴=2,
∴=2,解得tan α=.
(2)∵tan α=,tan β=,
∴原式=
==
=tan(β-α)=
==.
11.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)等于 ( )
A. B.
C.1 D.
答案 C
解析 因为tan β===tan,
又α,β均为锐角,所以-<-α<,0<β<,可得β=-α,
即α+β=,所以tan(α+β)=tan=1.
12.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 tan β=tan[(α+β)-α]
===.
13.角A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 ( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
答案 A
解析 ∵tan A+tan B=,tan A·tan B=,
∴tan(A+B)=,∴tan C=-tan(A+B)=-,
∴C为钝角,即△ABC为钝角三角形.
14.(5分)已知α,β,γ都是锐角,且tan α=,tan β=,tan γ=,则α+β+γ= .
答案
解析 ∵tan(α+β)=
==,
tan(α+β+γ)=
==1,
∵α,β,γ∈,∴α+β∈(0,π),
又tan(α+β)=>0,∴α+β∈,
∴α+β+γ∈(0,π),∴α+β+γ=.
15.(5分)计算:= .
答案 -
解析 =
==tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
16.(12分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
解 ∵tan β=-,tan(α-β)=,
∴tan α=tan[(α-β)+β]
=
==,
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
===1.
∵tan α=>0,tan β=-<0,
∴α∈,β∈,∴α-β∈(-π,0).
又∵tan(α-β)=>0,
∴α-β∈,2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).
又tan(2α-β)=1,∴2α-β=-.(共62张PPT)
第3课时
第五章
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两角和与差的正切公式
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.(重点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(难点)
学习目标
同学们,上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并,今天我们将继续“变脸”,共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”.
导 语
一、两角和与差的正切公式
二、给值求值(角)
课时对点练
三、两角和与差的正切公式的综合应用
随堂演练
内容索引
两角和与差的正切公式
一
提示 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
问题1
提示 =tan α.
同角三角函数中的商数关系是什么
问题2
提示 tan(α+β)=
=.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗
问题3
1.两角和的正切公式
tan(α+β)=,其中α,β,α+β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α+β).
2.两角差的正切公式
tan(α-β) =,其中α,β,α-β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α-β).
3.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)
=tan(α+β);
tan αtan β=1-.
4.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)
=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
(1)只有当α,β,α-β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为“分子同,分母反”.
注 意 点
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(1)tan 255°等于
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
例 1
√
tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=
==2+.
(2)化简等于
A. B.
C.3 D.1
√
==tan(45°-15°)=tan 30°=.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan”“=tan”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
反
思
感
悟
化简求值:
(1);
跟踪训练 1
原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
∵tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
二
给值求值(角)
已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为
A.- B.
C. D.-
例 2
√
因为sin α=,α∈,
所以cos α=-,即tan α=-.
因为tan(π-β)=-tan β,故tan β=-.
所以tan(α-β)=
==-.
若本例条件不变,求tan(α+β)的值.
延伸探究
因为α∈,sin α=,所以cos α=-,
tan α=-,又tan β=-,
所以tan(α+β)=
==-2.
反
思
感
悟
(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
如图,在平面直角坐标系Oxy中,以Ox轴为始边
作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,
已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;
跟踪训练 2
由条件得cos α=,cos β=.
∵α,β为锐角,∴sin α==,
sin β==.
因此tan α==7,
tan β==.
∴tan(α+β)=
==-3.
(2)α+2β的大小.
∵tan 2β=tan(β+β)=
==,
∴tan(α+2β)=
==-1.
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.
两角和与差的正切公式的综合应用
三
设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的根,则tan(α+β)的值为
A.-3 B.-1 C.1 D.3
例 3
√
由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,
所以tan(α+β)===-3.
反
思
感
悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.
(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式中正确的是
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
跟踪训练 3
√
√
∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,
∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;
∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,
∴tan Atan B=, ①
又tan A+tan B=, ②
∴联立①②解得tan A=tan B=,
∴cos B=sin A,故选项C,D正确.
1.知识清单:
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:公式中加减符号易记错.
随堂演练
四
1.已知tan α=3,则tan等于
A.-3 B.3 C.-2 D.2
∵tan α=3,
∴tan===-2.
√
1
2
3
4
2.已知tan α=2,tan β=3,则tan(α+β)等于
A.1 B.5 C.-1 D.-5
tan(α+β)=
==-1.
√
1
2
3
4
3.已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值是
A. B. C. D.
因为tan(α+β)=,tan=,
所以tan=tan
===.
√
1
2
3
4
4.计算:= .
1
2
3
4
1
原式==tan 45°=1.
课时对点练
五
1.与相等的是
A.tan 66° B.tan 24°
C.tan 42° D.tan 21°
原式==tan(45°-21°)
=tan 24°.
√
1
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6
7
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10
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15
16
基础巩固
2.已知α∈,sin α=-,则tan等于
A.-7 B.- C. D.7
∵α∈,sin α=-,
∴cos α=,∴tan α=-.
∴tan===-.
1
2
3
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5
6
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12
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14
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16
√
3.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°等于
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
∵28°+32°=60°,
∴tan 60°=tan(28°+32°)==,
∴tan 28°+tan 32°=(1-m).
√
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4.若α+β=,则(1-tan α)·(1-tan β)等于
A. B.2
C.1+ D.不确定
√
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∵α+β=,
∴tan(α+β)==-1,
∴tan α+tan β=tan α·tan β-1,
∴(1-tan α)(1-tan β)
=1-(tan α+tan β)+tan α·tan β
=1-(tan α·tan β-1)+tan α·tan β=2.
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5.已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则角α+β的值为
A. B. C. D.
√
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因为sin α=,且α为锐角,
所以cos α=,tan α=,
所以tan(α+β)===-1.
又α+β∈,故α+β=.
6.(多选)已知cos α=-,则tan等于
A.- B.-7 C. D.7
√
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√
因为cos α=-,
所以sin α=±=±,
所以tan α=±.
当tan α=时,tan==;
当tan α=-时,tan==7.
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7.已知2tan θ-tan=7,则tan θ= .
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2
∵2tan θ-tan=7,
∴2tan θ-=7,
即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ,
即2tan2θ-8tan θ+8=0,
即2(tan θ-2)2=0,解得tan θ=2.
8.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β= ,= .
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3
因为0<α<,sin α=,
所以cos α===,
所以tan α==,又因为tan(α-β)=-,
所以tan β=tan[α-(α-β)]=
===3,
所以====.
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9.化简求值:
(1);
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∵tan 60°=tan(10°+50°)
=,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°.
∴
=
=
=-tan 60°=-.
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(2)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°).
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由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)
=4.
10.已知tan=2,tan β=.
(1)求tan α的值;
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∵tan=2,
∴=2,
∴=2,解得tan α=.
(2)求的值.
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∵tan α=,tan β=,
∴原式=
==
=tan(β-α)=
==.
11.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)等于
A. B. C.1 D.
因为tan β===tan,
又α,β均为锐角,所以-<-α<,0<β<,可得β=-α,
即α+β=,所以tan(α+β)=tan=1.
√
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综合运用
12.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β等于
A. B. C. D.
tan β=tan[(α+β)-α]
===.
√
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13.角A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
∵tan A+tan B=,tan A·tan B=,
∴tan(A+B)=,∴tan C=-tan(A+B)=-,
∴C为钝角,即△ABC为钝角三角形.
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√
14.已知α,β,γ都是锐角,且tan α=,tan β=,tan γ=,则α+β+γ= .
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∵tan(α+β)===,
tan(α+β+γ)=
==1,
∵α,β,γ∈,∴α+β∈(0,π),
又tan(α+β)=>0,∴α+β∈,
∴α+β+γ∈(0,π),∴α+β+γ=.
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拓广探究
15.计算:= .
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-
=
==tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
16.已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
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∵tan β=-,tan(α-β)=,
∴tan α=tan[(α-β)+β]
=
==,
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
===1.
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∵tan α=>0,tan β=-<0,
∴α∈,β∈,∴α-β∈(-π,0).
又∵tan(α-β)=>0,
∴α-β∈,2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).
又tan(2α-β)=1,∴2α-β=-.
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16第3课时 两角和与差的正切公式
[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(难点)
一、两角和与差的正切公式
问题1 请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
问题2 同角三角函数中的商数关系是什么
问题3 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗
知识梳理
1.两角和的正切公式
tan(α+β)=,其中α,β,α+β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α+β).
2.两角差的正切公式
tan(α-β) =,其中α,β,α-β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α-β).
3.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)
=tan(α+β);
tan αtan β=1-.
4.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)
=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
例1 (1)tan 255°等于 ( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
(2)化简等于 ( )
A. B.
C.3 D.1
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan”“=tan”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
跟踪训练1 化简求值:
(1);
(2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
二、给值求值(角)
例2 已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
延伸探究 若本例条件不变,求tan(α+β)的值.
反思感悟 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
跟踪训练2 如图,在平面直角坐标系Oxy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的根,则tan(α+β)的值为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
跟踪训练3 (多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式中正确的是 ( )
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
1.知识清单:
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:公式中加减符号易记错.
1.已知tan α=3,则tan等于 ( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
2.已知tan α=2,tan β=3,则tan(α+β)等于 ( )
A.1 B.5
C.-1 D.-5
3.已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值是 ( )
A. B.
C. D.
4.计算:= .
答案精析
问题1 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β；
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
问题2 =tan α
.
问题3 tan(α+β)=
=
.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
例1 (1)D (2)B
跟踪训练1 解 (1)原式=
tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)∵tan 60°=
=，
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°，
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
例2 A [因为sin α=，α∈，
所以cos α=-，即tan α=-.
因为tan(π-β)=-tan β，
故tan β=-.
所以tan(α-β)=
==-.]
延伸探究 解 因为α∈，
sin α=，所以cos α=-，
tan α=-，又tan β=-，
所以tan(α+β)=
==-2.
跟踪训练2 解 (1)由条件得
cos α=，cos β=.
∵α，β为锐角，
∴sin α==，
sin β==.
因此tan α==7，
tan β==.
∴tan(α+β)=
==-3.
(2)∵tan 2β=tan(β+β)=
==，
∴tan(α+2β)=
==-1.
∵α，β为锐角，∴0<α+2β<，
∴α+2β=.
例3 A
跟踪训练3 CD
随堂演练
1.C 2.C 3.B 4.1作业58 两角和与差的正弦、余弦公式
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于 ( )
A.- B.
C.- D.
2.化简sin+sin等于 ( )
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
3.已知cos=-(α为锐角),则sin α等于 ( )
A. B.
C. D.
4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于 ( )
A. B.
C.或 D.或
5.在△ABC中,sin Asin B
C.直角三角形 D.等腰三角形
6.(多选)cos α-sin α的化简结果可以是 ( )
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
7.(5分)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .
8.(5分)形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式 的值是 .
9.(10分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
10.(11分)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.求:
(1)cos(2α-β)的值;(6分)
(2)β的值.(5分)
11.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
12.已知α为钝角,且sin=,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
13.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为 ( )
A. B.
C. D.
14.(5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
15.(5分)“在△ABC中,cos Acos B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角,则实数a,b,c的大小关系是 .
16.(12分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为cos(A,B)=·+·,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B,求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;(3分)
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值;(4分)
(3)已知0<α<β<,E(5cos α,5sin α),F(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(E,P)=,cos(E,F)=,求E,P之间的曼哈顿距离.(5分)
答案精析
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B
6.BD [cos α-sin α
=2
=2
=2cos=2sin.]
7.-
8.-1
解析 =sin 15°-cos 15°
=2
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
9.解 ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)
=-sin β=，
∴sin β=-，又β是第三象限角，
∴cos β=-=-，
∴sin=sin βcos+
cos βsin
=×+×
=-.
10.解 (1)因为α，β∈，
所以α-β∈.
又因为sin(α-β)=>0，
所以0<α-β<.
所以cos(α-β)=
=.
sin α==，
所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)
=×-×=.
(2)cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos(α-β)+sin α·sin(α-β)=×+×=，
因为β∈，所以β=.
11.A [因为cos B=，且0
C=π-(A+B)，
所以sin C=sin(A+B)=sincos B+cos sin B
=×+×=.]
12.C [∵α为钝角，且sin=，
∴cos=-，
∴cos=cos
=coscos-
sinsin
=-×-×
=-.]
13.AD [f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x
=2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x
若f(x)为奇函数，
则2sin φ-1=0，即sin φ=时，满足题意，
结合选项，φ可取，.]
14.-
解析 ∵sin α+cos β=1，
cos α+sin β=0，
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos α·sin β)=1，
∴sin(α+β)=-.
15.b
cos(A，B)=×+×
=，
故余弦距离为
1-cos(A，B)=.
(2)cos(M，N)=·+·
=sin αsin β+cos αcos β=；
cos(M，Q)=·+·
=sin αsin β-cos αcos β=，
故sin αsin β=，cos αcos β=-，
则tan αtan β==-3.
(3)因为=5，
=5，
所以cos(E，P)=·+·
=cos β=.
因为0<β<，
所以sin β==.
因为=13，
所以cos(E，F)=·+·=cos(α-β)=.
因为0<α<β<，
则-<α-β<0，
所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=，
所以sin α==，
所以E(3，4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=，
所以P.
因为+
=+=，
所以E，P之间的曼哈顿距离是.
