5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[学习目标] 1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.(难点)
导语
同学们,我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法,前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题,这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1 结合所学,研究函数的一般步骤是什么
提示 先确定函数的定义域,然后画出函数图象,通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
问题2 绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)
提示 如图,在[0,2π]上任取一个值x0,根据正弦函数的定义可知y0=sin x0,此时弧AB的长度为x0,结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系,可得点T(x0,sin x0).
问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点,接下来,如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 你能想到什么方法
提示 如图,借助单位圆,在x轴上把[0,2π]12等分,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点,当然,把圆周等分的份数越多,将这些点用光滑的曲线连接起来,得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示),然后根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动,每次移动的距离为2π,就得到函数y=sin x,x∈R的图象.
知识梳理
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
函数 y=sin x,x∈R
图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
函数 y=cos x,x∈R
图象
例1 (多选)下列叙述正确的有 ( )
A.y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
B.y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
答案 ABC
解析 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象(略),由图象观察可知A,B,C均正确.
反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是 ( )
A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y=sin(-x)的图象与y=sin x的图象关于x轴对称
答案 A
解析 由正弦、余弦函数的图象知,B,C,D正确.
二、“五点(画图)法”画函数的图象
问题4 如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图
提示 根据前面的探究,我们发现,只需抓住函数图象上的几个关键点,然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0).
知识梳理
“五点(画图)法”
函数 y=sin x y=cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0),, (π,0),,(2π,0) (0,1),, (π,-1),, (2π,1)
例2 用“五点法”作下列函数的图象:
(1)y=1-2sin x,x∈[0,2π];
(2)y=cos x+,x∈[-π,π].
解 (1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-2sin x 1 -1 1 3 1
描点连线,画图如下.
(2)列表:
x -π - 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
cos x+ - -
描点连线,画图如下.
反思感悟 作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2 用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x,y=2-cos x在[-π,π]上的图象.
解 列表:
x -π - 0 π
-sin x 0 1 0 -1 0
2-cos x 3 2 1 2 3
描点连线,画图如下.
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析
因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.
在同一平面直角坐标系下,作出函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图,
由函数的图象知,sin=sin=.
所以根据图象可知,sin x≥的解集为.
延伸探究
1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”,求不等式2sin x-1≥0的解集.
解 在x∈[0,2π]上的解集为.
所以当x∈R时,不等式的解集为
.
2.试求关于x的不等式
由图可知,在[0,2π]上,当
反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
跟踪训练3 方程x2-cos x=0的实数解的个数是 ,所有的实数解的和为 .
答案 2 0
解析 作出函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示,由图象可知,两函数图象有两个交点,且两个交点关于y轴对称,故原方程有两个实数解,且这两个实数解的和为0.
1.知识清单:
(1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识.
(2)“五点(画图)法”作图.
(3)正弦函数、余弦函数图象的应用.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:五点的选取;正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到.
1.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时,首先应描出的五点的横坐标是 ( )
A.0,,,,π B.0,,π,,2π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
答案 B
解析 所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π.
2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是 ( )
答案 B
解析 y=sin(-x)=-sin x与y=sin x关于x轴对称.
3.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 ( )
A.(0,π) B.
C. D.
答案 C
解析 画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图,如图所示.
当sin x=-时,x=或x=,
则不等式sin x<-在[0,2π]上的解集是.
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
答案 ,
解析 由解得cos x=0,
当x∈[0,2π]时,x=或,
∴交点坐标为,.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 ( )
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
答案 B
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.
2.利用“五点法”画y=sin x-1,x∈[0,2π]的图象时,第三个点为 ( )
A.(0,-1) B.
C.(π,-1) D.
答案 C
3.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 将y=sin x,x∈[0,2π]与y=1的函数图象绘制在同一直角坐标系中,如图所示,
数形结合可知,只有1个交点.
4.函数y=sin x与y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在[-2π,2π]上的交点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 作出函数y=sin x与y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象(图略),观察图象可知共有4个交点,交点横坐标分别为,,-,-.
5.在[0,2π]上,函数y=的定义域是 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依题意得2sin x-≥0,即sin x≥.作出y=sin x在[0,2π]上的图象及直线y=,如图所示.由图象可知,满足sin x≥的x的取值范围是.
6.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是 ( )
A. B.
C. D.∪
答案 AC
解析 在同一平面直角坐标系中,画出正、余弦函数的图象,如图,在(0,2π)上,当cos x=sin x时,x=或x=,结合图象可知满足cos x>sin x的区间是和.
7.(5分)已知余弦函数过点,则m的值为 .
答案
解析 设余弦函数为y=cos x,
由函数过点,可得m=cos=.
8.(5分)不等式-≤cos x≤的解集是 .
答案
解析 在上,直线y=-,y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标分别为,-,,-,
所以满足不等式-≤cos x≤的解集为.
9.(10分)画出下列函数的简图:
(1)y=1-sin x,x∈[0,2π];(5分)
(2)y=3cos x+1,x∈[0,2π].(5分)
解 (1)列表:
x 0 π 2π
1-sin x 1 0 1 2 1
描点连线,画图如下.
(2)列表:
x 0 π 2π
3cos x+1 4 1 -2 1 4
描点连线,画图如下.
10.(12分)分别作出函数y=|sin x|和y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的图象.
解 y=|sin x|的图象为y=sin x在x轴上方的图象不变,将x轴下方的图象沿x轴翻折所得;
y=sin|x|的图象为y=sin x在y轴右侧的图象不变,再将y轴右侧的图象沿y轴翻折所得.
11.函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.不确定
答案 C
解析 在同一坐标系中,作出函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象,
如图所示,
由图可知,两函数图象的交点个数为3.
12.关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t≤2时,有1个交点
C.当0
解析 在同一平面直角坐标系中,作出f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t的图象,如图所示,
观察图象,
对于A,当t=2时,有1个交点,故A错误;
对于B,当t=0或≤t≤2时,有1个交点,故B正确;
对于C,当0
答案 ∪
解析 由题意知或
可得或
所以f(x)cos x<0的解集为∪.
14.(5分)已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=sin x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 .(用“<”连接)
答案 a
在同一平面直角坐标系中画出y=ex,y=ln x,y=sin x与y=-x的图象如图所示,
由图象可知a<0,b>0,c=0,
所以a
答案 4π
解析 如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,
其面积为2π×2=4π.
16.(12分)求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
解 由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0,
得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|
=k∈Z,
g(x)=|log2x|,
在同一平面直角坐标系中,作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象,如图所示,易知f(x)与g(x)的图象有四个交点,故原方程有四个解.(共63张PPT)
5.4.1
第五章
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正弦函数、余弦函数的图象
1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)
2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.(难点)
学习目标
同学们,我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法,前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题,这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
导 语
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
二、“五点(画图)法”画函数的图象
课时对点练
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
一
提示 先确定函数的定义域,然后画出函数图象,通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
结合所学,研究函数的一般步骤是什么
问题1
提示 如图,在[0,2π]上任取一个值x0,根据正弦函数的定义可知y0=sin x0,此时弧AB的长度为x0,结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系,可得点T(x0,sin x0).
绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)
问题2
提示 如图,借助单位圆,在x轴上把[0,2π]12等分,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点,当然,把圆周等分的份数越多,将这些点用光滑的曲线连接起来,得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示),然后根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向
左和向右连续的平行移动,每次移动的距
离为2π,就得到函数y=sin x,x∈R的图象.
我们已经学会绘制函数图象上的点,接下来,如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 你能想到什么方法
问题3
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
函数 y=sin x,x∈R
图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
函数 y=cos x,x∈R
图象
(多选)下列叙述正确的有
A.y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
B.y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
例 1
√
√
√
分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象(略),由图象观察可知A,B,C均正确.
解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
反
思
感
悟
下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是
A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y=sin(-x)的图象与y=sin x的图象关于x轴对称
跟踪训练 1
√
由正弦、余弦函数的图象知,B,C,D正确.
二
“五点(画图)法”画函数的图象
提示 根据前面的探究,我们发现,只需抓住函数图象上的几个关键点,然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0).
如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图
问题4
“五点(画图)法”
函数 y=sin x y=cos x
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 ,, ,,______
(0,1), ,(π,-1), ,
(2π,1)
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
用“五点法”作下列函数的图象:
(1)y=1-2sin x,x∈[0,2π];
例 2
列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-2sin x 1 -1 1 3 1
描点连线,画图如下.
(2)y=cos x+,x∈[-π,π].
列表:
x -π - 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
cos x+ - -
描点连线,画图如下.
反
思
感
悟
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤
用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x,y=2-cos x在[-π,π]上的图象.
跟踪训练 2
列表:
x -π - 0 π
-sin x 0 1 0 -1 0
2-cos x 3 2 1 2 3
描点连线,画图如下.
正弦函数、余弦函数图象的应用
三
不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为
A. B.
C. D.
例 3
√
因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.
在同一平面直角坐标系下,作出函数y=sin x,x∈
[0,2π]以及直线y=的图象,如图,
由函数的图象知,sin=sin=.
所以根据图象可知,sin x≥.
1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”,求不等式2sin x-1≥0的解集.
延伸探究
在x∈[0,2π]上的解集为.
所以当x∈R时,不等式的解集为
.
2.试求关于x的不等式
上的图象和直线y=和y=的图象,如图所示.
由图可知,在[0,2π]上,当
思
感
悟
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
方程x2-cos x=0的实数解的个数是 ,所有的实数解的和为 .
跟踪训练 3
2
0
作出函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示,由图象可知,两函数图象有两个交点,且两个交点关于y轴对称,故原方程有两个实数解,且这两个实数解的和为0.
1.知识清单:
(1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识.
(2)“五点(画图)法”作图.
(3)正弦函数、余弦函数图象的应用.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:五点的选取;正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到.
随堂演练
四
1.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时,首先应描出的五点的横坐标是
A.0,,,,π B.0,,π,,2π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π.
√
1
2
3
4
2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是
1
2
3
4
y=sin(-x)=-sin x与y=sin x关于x轴对称.
√
3.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是
A.(0,π) B.
C. D.
画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图,如图所示.
当sin x=-时,x=或x=,
则不等式sin x<-在[0,2π]上的解集是.
√
1
2
3
4
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
1
2
3
4
,
由解得cos x=0,
当x∈[0,2π]时,x=,
∴交点坐标为,.
课时对点练
五
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
2.利用“五点法”画y=sin x-1,x∈[0,2π]的图象时,第三个点为
A.(0,-1) B.
C.(π,-1) D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
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16
3.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
将y=sin x,x∈[0,2π]与y=1的函数图象绘制在同一直角坐标系中,如图所示,
数形结合可知,只有1个交点.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
4.函数y=sin x与y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在[-2π,2π]上的交点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
作出函数y=sin x与y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象(图略),观察图象可知共有4个交点,交点横坐标分别为,,-,-.
√
1
2
3
4
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16
5.在[0,2π]上,函数y=的定义域是
A. B.
C. D.
依题意得2sin x-≥0,即sin x≥.作出y=sin x在
[0，2π]上的图象及直线y=,如图所示.由图象可知,满足sin x≥的x的取值范围是.
√
1
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11
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16
6.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是
A. B.
C. D.
√
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13
14
15
16
√
在同一平面直角坐标系中,画出正、余弦函数的
图象,如图,在(0,2π)上,当cos x=sin x时,x=或x=,
结合图象可知满足cos x>sin x的区间是.
7.已知余弦函数过点,则m的值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设余弦函数为y=cos x,
由函数过点,可得m=cos=.
8.不等式-≤cos x≤的解集是
.
1
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16
在上,直线y=-,y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标分别为,-,,-,
所以满足不等式-≤cos x≤.
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9.画出下列函数的简图:
(1)y=1-sin x,x∈[0,2π];
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列表:
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x 0 π 2π
1-sin x 1 0 1 2 1
描点连线,画图如下.
(2)y=3cos x+1,x∈[0,2π].
1
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16
x 0 π 2π
3cos x+1 4 1 -2 1 4
描点连线,画图如下.
10.分别作出函数y=|sin x|和y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的图象.
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y=|sin x|的图象为y=sin x在x轴上
方的图象不变,将x轴下方的图象
沿x轴翻折所得;
y=sin|x|的图象为y=sin x在y轴右侧的图象不变,再将y轴右侧的图象沿y轴翻折所得.
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11.函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为
A.1 B.2
C.3 D.不确定
在同一坐标系中,作出函数f(x)=lg x与g(x)=
cos x的图象,
如图所示,
由图可知,两函数图象的交点个数为3.
√
1
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16
综合运用
12.关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t≤2时,有1个交点
C.当0
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3
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16
√
在同一平面直角坐标系中,作出f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t的图象,如图所示,
观察图象,
对于A,当t=2时,有1个交点,故A错误;
对于B,当t=0或≤t≤2时,有1个交点,故B正确;
对于C,当0
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13.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数,图象如图所示,则不等式f(x)cos x<0的解
集是 .
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由题意知
可得
所以f(x)cos x<0的解集为.
1
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14.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=sin x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 .(用“<”连接)
1
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16
a
为y=ex,y=ln x,y=sin x与y=-x的图象的交点的横坐标,
在同一平面直角坐标系中画出y=ex,y=ln x,y=sin x与
y=-x的图象如图所示,
由图象可知a<0,b>0,c=0,
所以a
15.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
1
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3
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16
4π
如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,
其面积为2π×2=4π.
16.求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
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由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0,
得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|
=k∈Z,
g(x)=|log2x|,
在同一平面直角坐标系中,作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象,如图所示,易知f(x)与g(x)的图象有四个交点,故原方程有四个解.
1
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3
4
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165.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[学习目标] 1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.(难点)
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1 结合所学,研究函数的一般步骤是什么
问题2 绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)
问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点,接下来,如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 你能想到什么方法
知识梳理
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
函数 y=sin x,x∈R
图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
函数 y=cos x,x∈R
图象
例1 (多选)下列叙述正确的有 ( )
A.y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
B.y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是 ( )
A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y=sin(-x)的图象与y=sin x的图象关于x轴对称
二、“五点(画图)法”画函数的图象
问题4 如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图
知识梳理
“五点(画图)法”
函数 y=sin x y=cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点 ,, ,, (0,1), _________, (π,-1),_________, (2π,1)
例2 用“五点法”作下列函数的图象:
(1)y=1-2sin x,x∈[0,2π];
(2)y=cos x+,x∈[-π,π].
跟踪训练2 用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x,y=2-cos x在[-π,π]上的图象.
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 ( )
A. B.
C. D.
延伸探究
1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”,求不等式2sin x-1≥0的解集.
2.试求关于x的不等式
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
跟踪训练3 方程x2-cos x=0的实数解的个数是 ,所有的实数解的和为 .
1.知识清单:
(1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识.
(2)“五点(画图)法”作图.
(3)正弦函数、余弦函数图象的应用.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:五点的选取;正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到.
1.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时,首先应描出的五点的横坐标是 ( )
A.0,,,,π B.0,,π,,2π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是 ( )
3.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 ( )
A.(0,π) B.
C. D.
4.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为 .
答案精析
问题1 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
问题2 如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0=sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
问题3 如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y=sin x，x∈R的图象.
例1 ABC [分别画出函数y=sin x，x∈[0，2π]和y=cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确.]
跟踪训练1 A
问题4 根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
知识梳理
(0，0) (π，0) (2π，0)
例2 解 (1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-2sin x 1 -1 1 3 1
描点连线，画图如下.
(2)列表：
x -π - 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
cos x+ - -
描点连线，画图如下.
跟踪训练2 解 列表：
x -π - 0 π
-sin x 0 1 0 -1 0
2-cos x 3 2 1 2 3
描点连线，画图如下.
例3 D [因为2sin x-1≥0，
所以sin x≥.
在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象，如图，
由函数的图象知，
sin =sin =.
所以根据图象可知，sin x≥的解集为.]
延伸探究
1.解 在x∈[0，2π]上的解集为.
所以当x∈R时，不等式的解集为
.
2.解 在同一坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象和直线y=和y=的图象，如图所示.
由图可知，在[0，2π]上，当
跟踪训练3 2 0
随堂演练
1.B 2.B 3.C 4.，作业52 正弦函数、余弦函数的图象
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 ( )
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
2.利用“五点法”画y=sin x-1,x∈[0,2π]的图象时,第三个点为 ( )
A.(0,-1) B.
C.(π,-1) D.
3.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.函数y=sin x与y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在[-2π,2π]上的交点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在[0,2π]上,函数y=的定义域是 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是 ( )
A. B.
C. D.∪
7.(5分)已知余弦函数过点,则m的值为 .
8.(5分)不等式-≤cos x≤的解集是 .
9.(10分)画出下列函数的简图:
(1)y=1-sin x,x∈[0,2π];(5分)
(2)y=3cos x+1,x∈[0,2π].(5分)
10.(12分)分别作出函数y=|sin x|和y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的图象.
11.函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.不确定
12.关于函数f(x)=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是 ( )
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t≤2时,有1个交点
C.当0
14.(5分)已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=sin x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 .(用“<”连接)
15.(5分)函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
16.(12分)求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
答案精析
1.B 2.C 3.A 4.D 5.B
6.AC [在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0，2π)上，当cos x=sin x时，x=或x=，结合图象可知满足cos x>sin x的区间是和.
]
7.
8.
解析 在上，直线y=-，y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标分别为
，-，，-，
所以满足不等式-≤cos x≤的解集为
.
9.解 (1)列表：
x 0 π 2π
1-sin x 1 0 1 2 1
描点连线，画图如下.
(2)列表：
x 0 π 2π
3cos x+1 4 1 -2 1 4
描点连线，画图如下.
10.解 y=|sin x|的图象为y=sin x在x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象沿x轴翻折所得；
y=sin|x|的图象为y=sin x在y轴右侧的图象不变，再将y轴右侧的图象沿y轴翻折所得.
11.C [在同一坐标系中，作出函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象的交点个数为3.]
12.B [在同一平面直角坐标系中，作出f(x)=1+cos x，x∈的图象与直线y=t的图象，如图所示，
观察图象，
对于A，当t=2时，有1个交点，故A错误；
对于B，当t=0或≤t≤2时，有1个交点，故B正确；
对于C，当0
解析 由题意知或
可得或
所以f(x)cos x<0的解集为∪.
14.a
在同一平面直角坐标系中画出y=ex，y=ln x，y=sin x与y=-x的图象如图所示，
由图象可知a<0，b>0，c=0，
所以a
解析 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，
其面积为2π×2=4π.
16.解 由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0，
得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|
=
k∈Z，g(x)=|log2x|，
在同一平面直角坐标系中，作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
