专题强化 追及相遇问题
[学习目标] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化,会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。
两物体在同一直线上一前一后运动,速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况,这类问题称为追及相遇问题。
一、一定可以追上的追及问题
例1 一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现在警车前面x0=13 m远处以v0=8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时,决定前去追赶,经t0=2.5 s,警车发动起来,以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动,求:
(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t;
(2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离Δxm。
答案 (1)11 s (2)49 m
解析 (1)警车开始运动时,货车在它前面
Δx=x0+v0t0=13 m+8×2.5 m=33 m
警车运动位移:x1=at2
货车运动位移:x2=v0t
警车要追上货车需满足:x1=x2+Δx
联立并代入数据解得:t=11 s(t=-3 s舍去)
(2)警车与货车速度相同时,相距最远,
对警车有:v0=at',x1'=at'2
对货车有:x2'=v0t'
最大距离:Δxm=x2'-x1'+Δx=49 m。
例2 (2024·成都市高一期中)汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求:
(1)A追上B前,A、B间的最远距离;
(2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。
答案 (1)16 m (2)25 m 8 s
解析 (1)当A、B两汽车速度相等时,两车间的距离最远,
即v=vB-at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移为xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m
(2)根据题意可知,汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移为xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移为xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s
1.对于一定可以追上的追及问题,常见到模型有:
(1)匀加速追匀速
(2)匀加速追匀减速
(3)匀速追匀减速。
2.当速度相等时存在两者距离的最大值。
3.对于追匀减速的运动,我们应判断是在运动停止前相遇,还是在运动停止后相遇。
二、不一定追上的追及问题
例3 一辆客车从静止开始以a=1 m/s2做匀加速直线运动的同时,在车的后面s=20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车,
(1)判断乘客能否追上这辆客车
(2)若不能,二者间的最小距离为多少
答案 见解析
解析
(1)法一:由临界条件知当v车=v人时乘客如果能追上就可以追上
即at=v人
解得t=6 s
x车=at2=×1×62 m=18 m
x人=v人t=6×6 m=36 m
如图所示
x人
法二:由位移关系v人t=s+at2,
即6t=20+t2
Δ=36-4××20<0,无解
即追不上。
(2)最小距离Δx=x车+s-x人=(18+20-36) m=2 m。
拓展 例3中若客车在自行车前s'=10 m处。
(1)自行车能否追上客车
(2)若能追上,经过多长时间二者相遇。
答案 (1)法一:由临界判断,at=v人,解得t=6 s
x人=v人t=6×6 m=36 m,x车=at2=18 m
x人>x车+s',故可以追上
法二:判别式法:
由位移关系v人t=s'+at2
即6t=t2+10
Δ=36-4××10>0,有两解
故相遇两次。
(2)由位移关系x人=x车+s'
即6t=t2+10
解得t1=2 s,t2=10 s
1.不一定追上的追及问题,常见的模型有:
(1)匀速追匀加速
(2)匀减速追匀速
(3)匀减速追匀加速
(4)匀加速追匀加速
(5)匀减速追匀减速。
2.对于判断能否追上时,我们可以利用判别式法。
(1)Δ<0,追不上
(2)Δ=0,相遇一次
(3)Δ>0,相遇两次。
三、有条件限制的追及问题
例4 一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s,要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗
(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车,摩托车至少以多大加速度启动 (计算结果保留两位有效数字)
答案 见解析
解析 (1)t0=3 min=180 s,假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动,设追上汽车时,摩托车的速度为v。
由v汽t0+1 000 m=t0
代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s,超过了摩托车所能达到的最大速度,所以摩托车先做匀加速运动,速度达到最大值后做匀速运动。
(2)设摩托车加速时间为t1,加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时,加速度最小,
则有at1=v1=30 m/s
a+v1(t0-t1)=v汽t0+1 000 m
代入数据得a≈0.56 m/s2。
特别提醒:如果车辆有最大速度的限制,要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。
分析追及相遇问题的解题技巧
(1)一个条件:即速度相等,它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有:临界分析法、数学解析法、v-t图像法。
专题强化练 [分值:100分]
1~7题每题7分,共49分
1.(2024·安康市高一期中)某次打捞中,打捞船顺水漂流,水流速度为4 m/s,发现在下游36 m处有同样顺水漂流的漂浮物,打捞船立即启动发动机,以2 m/s2的加速度向漂浮物运动,到达漂浮物处的时间为 ( )
A.6 s B.9 s
C.(2-2) s D.无法计算
答案 A
解析 设打捞船到达漂浮物处的时间为t,则有vt+at2=vt+36 m,解得t=6 s。故选A。
2.(2024·天津市高一期中)两个物体同时同地向同一方向做直线运动,它们的v-t图像如图所示,则前4 s内 ( )
A.4 s末乙与甲相距最远
B.甲的平均速度等于乙的平均速度
C.2 s末乙追上甲
D.乙追上甲时距出发点20 m远
答案 B
解析 v-t图像与t轴所围的面积表示位移,则4 s内两物体位移相等,即4 s末乙追上甲相遇,乙追上甲时距出发点x=v甲t=40 m,选项A、D错误;4 s末两物体位移相等,则甲的平均速度等于乙的平均速度,选项B正确;2 s末两物体速度相等,此时两物体相距最远,选项C错误。
3.(2024·深圳市高一月考)如图,甲车在平直公路上以速度v匀速行驶,当它经过停在路旁的乙车时,乙车立即从静止开始启动,做匀加速直线运动,经过t时间追上甲车。下列说法正确的是 ( )
A.乙车加速运动的加速度大小为
B.乙车追上甲车时的速度大小为v
C.从启动到追上甲车的过程中,乙车的平均速度为v
D.乙车追上甲车前,两车的最大距离为vt
答案 C
解析 假设乙车追上甲车时速度大小为v1,则v1t=vt,解得v1=2v,B错误;乙车加速运动的加速度大小为a==,A错误;从启动到追上甲车的过程中,乙车的平均速度为==v,C正确;当乙车速度与甲车速度相等时,两车距离最大,可得两车的最大距离为s=x甲-x乙=v·-=vt,D错误。
4.(2024·深圳市高一期中)在平直的公路上,自行车和与其同方向行驶的汽车同时经过A点,自行车以v=4 m/s速度做匀速运动,汽车以v0=10 m/s的初速度、a=0.25 m/s2的加速度刹车。自行车追上汽车所用时间应为 ( )
A.46 s B.48 s C.50 s D.52 s
答案 C
解析 当汽车减速到零时所用的时间为t0== s=40 s,此时汽车的位移为x1==200 m,自行车的位移为x2=vt0=160 m
A.经过13 s两车速度相同
B.两车可相遇2次
C.两车速度相同时,间距为84.5 m
D.小汽车运动8 s时,两车间距为72 m
答案 AB
解析 两车速度相同的时间为t0== s=13 s,故A正确;两车相遇时有at2+d=vt,解得t1=2 s,t2=24 s,故两车可相遇2次,故B正确;两车速度相同时,间距为s1=vt0-a-d=(13×13-×1×132-24) m=60.5 m,故C错误;小汽车运动8 s时,两车间距为s2=vt3-a-d=(13×8-×1×82-24) m=48 m,故D错误。
6.(多选)(2023·赤峰市元宝山区第一中学高一期中)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动,在t=0时刻,二者相距15 m,甲在后,乙在前,它们运动的速度—时间图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体
B.t=4 s时刻,甲和乙相距15 m
C.0~4 s内,甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
答案 ABC
解析 t=2 s时刻,甲、乙位移差为Δx= m=15 m,在t=0时刻,二者相距15 m,说明甲物体刚好赶上乙物体,A正确;在t=4 s时刻,甲、乙位移差为Δx'= m- m=0
则甲和乙相距15 m,B正确;由A选项可知,t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体,接下来甲速度小于乙的速度,说明0~4 s内,甲、乙两物体之间的距离先减小后增大,C正确;甲、乙的加速度大小分别为
a1= m/s2=5 m/s2
a2= m/s2=2.5 m/s2,D错误。
7.(多选)(2024·柳州市高一月考)一辆超载的货车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,某时刻从一辆静止的警车旁经过,2 s后该警车以2 m/s2的加速度加速追赶,警车允许的最大速度为36 m/s, 从警车运动开始计时,下列说法正确的是 ( )
A.警车在加速阶段追上货车
B.前10 s内两车之间的距离越来越远
C.警车追上货车之前,两车的最远距离为100 m
D.追上货车时,警车行驶的距离为495 m
答案 BD
解析 警车匀加速运动达到最大速度的时间t1== s=18 s,警车匀加速运动的位移x1=a=324 m,警车达到最大速度时货车从静止的警车旁经过的位移x2=v(t0+t1)=20×(2+18) m=400 m,由x1
8.(多选)(2024·天水市高一期中)一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上,突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度沿相同方向匀速行驶,小汽车紧急刹车,刹车过程中刹车失灵。如图所示,图线a、b分别为小汽车和大卡车运动的v-t图像(忽略刹车反应时间),以下说法正确的是 ( )
A.因刹车失灵前小汽车已减速,故不会发生追尾事故
B.两车在t=3 s时发生追尾事故
C.两车在t=5 s时发生追尾事故
D.若紧急刹车时两车相距45 m,则不会发生追尾事故且两车间的最小距离为10 m
答案 BD
解析 v-t图像与时间轴所围的面积表示位移,由题图知,0~3 s内小汽车和大卡车的位移分别为xa=×1 m+×2 m=60 m,xb=vbt=10×3 m=30 m,由于xa-xb=30 m,且在t=3 s时小汽车的速度大于大卡车的速度,所以两车在t=3 s时发生追尾事故,故A、C错误,B正确;若紧急刹车时两车相距45 m,在速度相等时,小汽车的位移xa'=×(30+20)×1 m+×(20+10)×4 m=85 m,大卡车的位移xb'=10×5 m=50 m,由于xa'-xb'=35 m<45 m,所以两车不会发生追尾事故,最小距离为Δx=45 m-35 m=10 m,故D正确。
9.(2024·上海市延安中学高一期中)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。已知无线连接的最远距离为10 m,甲和乙两位同学做了一个有趣实验:甲佩戴无线蓝牙耳机,乙携带手机检测,如图(a)所示。甲、乙同时分别沿两条平行相距6 m的直线轨道向同一方向运动,甲做匀速直线运动,乙从静止开始先做匀加速直线运动,再做匀速直线运动,其速度v随时间t的关系图像如图(b)所示,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为 ( )
A.4 s B.9 s C.13 s D.14 s
答案 C
解析 已知无线连接的最远距离为10 m,直线轨道相距6 m,手机检测到蓝牙耳机时,甲、乙间水平方向的距离之差最大值为Δx= m=8 m,当t=4 s时,根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移,可知甲、乙的位移之差Δx1=x甲1-x乙1=4×4 m- m=8 m,所以t=4 s之前手机与蓝牙耳机处于连接状态。由题图(b)可知,乙做匀加速直线运动阶段,加速度a= m/s2=1 m/s2。设t1时刻乙开始做匀速直线运动,分析可得t1= s=6 s,设4 s之后手机与蓝牙耳机能被连接的时间为t2。从t=4 s到t=t2,有Δx2=x乙2-x甲2=16 m,即×2+6(t2-2)-4t2=16,解得t2=9 s,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为9 s+4 s=13 s,故选C。
10.(13分)高速公路上,一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上,另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度跟随其后并逐渐接近。大货车的制动性能较差,刹车时的加速度保持在4 m/s2,而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统,刹车时能使小客车的加速度保持在8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车,SUV小客车司机的反应时间是0.5 s,为了避免发生追尾事故,货车和客车之间至少应保留多大的距离
答案 31 m
解析 在反应时间里客车做匀速运动的距离
x1=v1t0=32×0.5 m=16 m
若客车恰好与货车不发生追尾事故,则速度相等是恰好避免追尾的条件;速度相等时
v1-a1(t-0.5 s)=v2-a2t
客车刹车时的加速度大小a1=8 m/s2,
货车刹车时的加速度大小a2=4 m/s2,
代入数据得t=4 s
设货车与客车之间的距离至少为s,则
s+v2t-a2t2=x1+v1(t-0.5 s)-a1(t-0.5 s)2
代入数据得s=31 m。
11.(18分)(2024·宿迁市高一期中)甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h,如图所示。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
(1)(4分)甲车刹车至停止的时间;
(2)(7分)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离;
(3)(7分)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。
答案 (1)10 s (2)45 m (3)12 s
解析 v1=72 km/h=20 m/s,
v2=36 km/h=10 m/s
(1)设经过时间t0甲车停下来,根据运动学公式可得
t0== s=10 s
(2)当两辆车速度相等时,两者的距离最大,设经过时间t1两者速度相等,
则v1-at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车位移为
x1=t1=75 m
乙车位移为x2=v2t1=50 m
两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离为
Δx=x0+x1-x2=(20+75-50) m=45 m
(3)在t0时间内,甲车的位移
x3=t0=100 m
乙车的位移为x4=v2t0=100 m
甲车速度刚减小到零时,甲、乙两车仍相距20 m,到两车并排乙车再运动的时间为
t2==2 s
从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为
t=t0+t2=12 s(共60张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化 追及相遇问题
1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。
2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化,会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。
学习目标
两物体在同一直线上一前一后运动,速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况,这类问题称为追及相遇问题。
一、一定可以追上的追及问题
二、不一定追上的追及问题
内容索引
三、有条件限制的追及问题
专题强化练
一定可以追上的追及问题
一
一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现在警车前面x0=13 m远处以v0=
8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时,决定前去追赶,经t0=2.5 s,警车发动起来,以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动,求:
(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t;
例1
答案 11 s
警车开始运动时,货车在它前面
Δx=x0+v0t0=13 m+8×2.5 m=33 m
警车运动位移:x1=at2
货车运动位移:x2=v0t
警车要追上货车需满足:x1=x2+Δx
联立并代入数据解得:t=11 s(t=-3 s舍去)
(2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离Δxm。
答案 49 m
警车与货车速度相同时,相距最远,
对警车有:v0=at',x1'=at'2
对货车有:x2'=v0t'
最大距离:Δxm=x2'-x1'+Δx=49 m。
(2024·成都市高一期中)汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求:
(1)A追上B前,A、B间的最远距离;
例2
答案 16 m
当A、B两汽车速度相等时,两车间的距离最远,
即v=vB-at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移为xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m
(2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。
答案 25 m 8 s
根据题意可知,汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移为xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移为xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s
总结提升
1.对于一定可以追上的追及问题,常见到模型有:
(1)匀加速追匀速
(2)匀加速追匀减速
(3)匀速追匀减速。
2.当速度相等时存在两者距离的最大值。
3.对于追匀减速的运动,我们应判断是在运动停止前相遇,还是在运动停止后相遇。
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不一定追上的追及问题
二
一辆客车从静止开始以a=1 m/s2做匀加速直线运动的同时,在车的后面s=20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车,
(1)判断乘客能否追上这辆客车
例3
答案 见解析
法一:由临界条件知当v车=v人时乘客如果能追上就可以追上
即at=v人
解得t=6 s
x车=at2=×1×62 m=18 m
x人=v人t=6×6 m=36 m
如图所示
x人
法二:由位移关系v人t=s+at2,
即6t=20+t2
Δ=36-4××20<0,无解
即追不上。
(2)若不能,二者间的最小距离为多少
答案 见解析
最小距离Δx=x车+s-x人=(18+20-36) m=2 m。
拓展 例3中若客车在自行车前s'=10 m处。
(1)自行车能否追上客车
答案 法一:由临界判断,at=v人,解得t=6 s
x人=v人t=6×6 m=36 m,x车=at2=18 m
x人>x车+s',故可以追上
法二:判别式法:由位移关系v人t=s'+at2
即6t=t2+10
Δ=36-4××10>0,有两解
故相遇两次。
(2)若能追上,经过多长时间二者相遇。
答案 由位移关系x人=x车+s'
即6t=t2+10
解得t1=2 s,t2=10 s
总结提升
1.不一定追上的追及问题,常见的模型有:
(1)匀速追匀加速
(2)匀减速追匀速
(3)匀减速追匀加速
(4)匀加速追匀加速
(5)匀减速追匀减速。
总结提升
2.对于判断能否追上时,我们可以利用判别式法。
(1)Δ<0,追不上
(2)Δ=0,相遇一次
(3)Δ>0,相遇两次。
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有条件限制的追及问题
三
一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s,要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗
例4
答案 见解析
t0=3 min=180 s,假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动,设追上汽车时,摩托车的速度为v。
由v汽t0+1 000 m=t0
代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s,超过了摩托车所能达到的最大速度,所以摩托车先做匀加速运动,速度达到最大值后做匀速运动。
(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车,摩托车至少以多大加速度启动 (计算结果保留两位有效数字)
答案 见解析
设摩托车加速时间为t1,加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时,加速度最小,
则有at1=v1=30 m/s
a+v1(t0-t1)=v汽t0+1 000 m
代入数据得a≈0.56 m/s2。
特别提醒:如果车辆有最大速度的限制,要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。
总结提升
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分析追及相遇问题的解题技巧
(1)一个条件:即速度相等,它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有:临界分析法、数学解析法、v-t图像法。
专题强化练
四
1.(2024·安康市高一期中)某次打捞中,打捞船顺水漂流,水流速度为4 m/s,发现在下游36 m处有同样顺水漂流的漂浮物,打捞船立即启动发动机,以2 m/s2的加速度向漂浮物运动,到达漂浮物处的时间为
A.6 s B.9 s C.(2-2) s D.无法计算
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基础强化练
设打捞船到达漂浮物处的时间为t,则有vt+at2=vt+36 m,解得t=6 s。故选A。
√
2.(2024·天津市高一期中)两个物体同时同地向同一方向做直线运动,它们的v-t图像如图所示,则前4 s内
A.4 s末乙与甲相距最远
B.甲的平均速度等于乙的平均速度
C.2 s末乙追上甲
D.乙追上甲时距出发点20 m远
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√
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v-t图像与t轴所围的面积表示位移,则4 s内两物体位
移相等,即4 s末乙追上甲相遇,乙追上甲时距出发点
x=v甲t=40 m,选项A、D错误;
4 s末两物体位移相等,则甲的平均速度等于乙的平均速度,选项B正确;
2 s末两物体速度相等,此时两物体相距最远,选项C错误。
3.(2024·深圳市高一月考)如图,甲车在平直公路上以速度v匀速行驶,当它经过停在路旁的乙车时,乙车立即从静止开始启动,做匀加速直线运动,经过t时间追上甲车。下列说法正确的是
A.乙车加速运动的加速度大小为
B.乙车追上甲车时的速度大小为v
C.从启动到追上甲车的过程中,乙车的平均速度为v
D.乙车追上甲车前,两车的最大距离为vt
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假设乙车追上甲车时速度大小为v1,则v1t=vt,解得v1=2v,B错误;
乙车加速运动的加速度大小为a==,A错误;
从启动到追上甲车的过程中,乙车的平均速度为==v,C正确;
当乙车速度与甲车速度相等时,两车距离最大,可得两车的最大距离为s=x甲-x乙=v·-=vt,D错误。
4.(2024·深圳市高一期中)在平直的公路上,自行车和与其同方向行驶的汽车同时经过A点,自行车以v=4 m/s速度做匀速运动,汽车以v0=10 m/s的初速度、a=0.25 m/s2的加速度刹车。自行车追上汽车所用时间应为
A.46 s B.48 s C.50 s D.52 s
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当汽车减速到零时所用的时间为t0== s=40 s,此时汽车的位移为x1==200 m,自行车的位移为x2=vt0=160 m
A.经过13 s两车速度相同
B.两车可相遇2次
C.两车速度相同时,间距为84.5 m
D.小汽车运动8 s时,两车间距为72 m
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两车速度相同的时间为t0== s=13 s,故A正确;
两车相遇时有at2+d=vt,解得t1=2 s,t2=24 s,故两车可相遇2次,故B正确;
两车速度相同时,间距为s1=vt0-a-d=(13×13-×1×132-24) m=60.5 m,故C错误;
小汽车运动8 s时,两车间距为s2=vt3-a-d=(13×8-×1×82-24) m=48 m,故D错误。
6.(多选)(2023·赤峰市元宝山区第一中学高一期中)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动,在t=0时刻,二者相距15 m,甲在后,乙在前,它们运动的速度—时间图像如图所示,则下列说法正确的是
A.t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体
B.t=4 s时刻,甲和乙相距15 m
C.0~4 s内,甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
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t=2 s时刻,甲、乙位移差为Δx= m=15 m,在t=0时刻,二者相距15 m,说明甲物体刚好赶上乙物体,A正确;
在t=4 s时刻,甲、乙位移差为Δx'= m- m=0
则甲和乙相距15 m,B正确;
由A选项可知,t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体,接下来甲速度小于乙的速度,说明0~4 s内,甲、乙两物体之间的距离先减小后增大,C正确;
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甲、乙的加速度大小分别为
a1= m/s2=5 m/s2
a2= m/s2=2.5 m/s2,D错误。
7.(多选)(2024·柳州市高一月考)一辆超载的货车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,某时刻从一辆静止的警车旁经过,2 s后该警车以2 m/s2的加速度加速追赶,警车允许的最大速度为36 m/s, 从警车运动开始计时,下列说法正确的是
A.警车在加速阶段追上货车
B.前10 s内两车之间的距离越来越远
C.警车追上货车之前,两车的最远距离为100 m
D.追上货车时,警车行驶的距离为495 m
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警车匀加速运动达到最大速度的时间t1== s=18 s,警车匀加速运动的位移x1=a=324 m,警车达到最大速度时货车从静止的警车旁经过的位移x2=v(t0+t1)=20×(2+18) m=400 m,由x1
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警车运动10 s末,警车与货车的速度相等,两车的距离最远,则最远距离为Δx=v(t0+t2)-a=20×(2+10) m-×2×102 m=140 m,故C错误;
设警车达到最大速度后,再运动时间t3追上货车,则t3== s=4.75 s,从警车运动开始计时,追上货车时,警车行驶的距离为x3=x1+vmt3=495 m,故D正确。
8.(多选)(2024·天水市高一期中)一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上,突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度沿相同方向匀速行驶,小汽车紧急刹车,刹车过程中刹车失灵。如图所示,图线a、b分别为小汽车和大卡车运动的v-t图像(忽略刹车反应时间),以下说法正确的是
A.因刹车失灵前小汽车已减速,故不会发生追尾事故
B.两车在t=3 s时发生追尾事故
C.两车在t=5 s时发生追尾事故
D.若紧急刹车时两车相距45 m,则不会发生追尾事故且两车间的最小距离为10 m
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能力综合练
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v-t图像与时间轴所围的面积表示位移,由题图知,0~3 s内
小汽车和大卡车的位移分别为xa=×1 m+×2 m=
60 m,xb=vbt=10×3 m=30 m,由于xa-xb=30 m,且在t=3 s时小汽车的速度大于大卡车的速度,所以两车在t=3 s时发生追尾事故,故A、C错误,B正确;
若紧急刹车时两车相距45 m,在速度相等时,小汽车的位移xa'=×(30+20)×1 m
+×(20+10)×4 m=85 m,大卡车的位移xb'=10×5 m=50 m,由于xa'-xb'=35 m<45 m,
所以两车不会发生追尾事故,最小距离为Δx=45 m-35 m=10 m,故D正确。
9.(2024·上海市延安中学高一期中)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。已知无线连接的最远距离为10 m,甲和乙两位同学做了一个有趣实验:甲佩戴无线蓝牙耳机,乙携带手机检测,如图(a)所示。甲、乙同时分别沿两条平行相距6 m的直线轨道向同一方向运动,甲做匀速直线运动,乙从静止开始先做匀加速直线运动,再做匀速直线运动,其速度v随时间t的关系图像如图(b)所示,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为
A.4 s B.9 s C.13 s D.14 s
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已知无线连接的最远距离为10 m,直线
轨道相距6 m,手机检测到蓝牙耳机时,
甲、乙间水平方向的距离之差最大值
为Δx= m=8 m,当t=4 s时,根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移,可知甲、乙的位移之差Δx1=x甲1-x乙1=4×4 m- m=8 m,所以t=4 s之前手机与蓝牙耳机处于连接状态。由题图(b)可知,乙做匀加速直线运动阶段,加速度a= m/s2=1 m/s2。设t1时刻乙开始做匀速直线运动,
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分析可得t1= s=6 s,设4 s之后手机与
蓝牙耳机能被连接的时间为t2。从t=
4 s到t=t2,有Δx2=x乙2-x甲2=16 m,即
×2+6(t2-2)-4t2=16,解得t2=9 s,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为9 s+4 s=13 s,故选C。
10.高速公路上,一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上,另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度跟随其后并逐渐接近。大货车的制动性能较差,刹车时的加速度保持在4 m/s2,而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统,刹车时能使小客车的加速度保持在8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车,SUV小客车司机的反应时间是0.5 s,为了避免发生追尾事故,货车和客车之间至少应保留多大的距离
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答案 31 m
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在反应时间里客车做匀速运动的距离
x1=v1t0=32×0.5 m=16 m
若客车恰好与货车不发生追尾事故,则速度相等是恰好避免追尾的条件;速度相等时
v1-a1(t-0.5 s)=v2-a2t
客车刹车时的加速度大小a1=8 m/s2,
货车刹车时的加速度大小a2=4 m/s2,
代入数据得t=4 s
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设货车与客车之间的距离至少为s,则
s+v2t-a2t2=x1+v1(t-0.5 s)-a1(t-0.5 s)2
代入数据得s=31 m。
11.(2024·宿迁市高一期中)甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h,如图所示。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
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(1)甲车刹车至停止的时间;
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答案 10 s
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v1=72 km/h=20 m/s,
v2=36 km/h=10 m/s
设经过时间t0甲车停下来,根据运动学公式可得
t0== s=10 s
(2)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离;
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答案 45 m
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当两辆车速度相等时,两者的距离最大,设经过时间t1两者速度相等,
则v1-at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车位移为
x1=t1=75 m
乙车位移为x2=v2t1=50 m
两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离为
Δx=x0+x1-x2=(20+75-50) m=45 m
(3)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。
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答案 12 s
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在t0时间内,甲车的位移
x3=t0=100 m
乙车的位移为x4=v2t0=100 m
甲车速度刚减小到零时,甲、乙两车仍相距20 m,
到两车并排乙车再运动的时间为
t2==2 s
从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为
t=t0+t2=12 s
返回专题强化 追及相遇问题
［学习目标］ 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。
一、一定可以追上的追及问题
例1 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0=13 m远处以v0=8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0=2.5 s，警车发动起来，以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动，求：
(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t；
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。
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例2 (2024·成都市高一期中)汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。
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1.对于一定可以追上的追及问题，常见到模型有：
(1)匀加速追匀速
(2)匀加速追匀减速
(3)匀速追匀减速。
2.当速度相等时存在两者距离的最大值。
3.对于追匀减速的运动，我们应判断是在运动停止前相遇，还是在运动停止后相遇。
二、不一定追上的追及问题
例3 一辆客车从静止开始以a=1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s=20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，
(1)判断乘客能否追上这辆客车？
(2)若不能，二者间的最小距离为多少？
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拓展 例3中若客车在自行车前s'=10 m处。
(1)自行车能否追上客车？
(2)若能追上，经过多长时间二者相遇。
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1.不一定追上的追及问题，常见的模型有：
(1)匀速追匀加速
(2)匀减速追匀速
(3)匀减速追匀加速
(4)匀加速追匀加速
(5)匀减速追匀减速。
2.对于判断能否追上时，我们可以利用判别式法。
(1)Δ<0，追不上
(2)Δ=0，相遇一次
(3)Δ>0，相遇两次。
三、有条件限制的追及问题
例4 一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？
(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字)
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特别提醒：如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。
分析追及相遇问题的解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v-t图像法。
答案精析
例1 （1）11 s （2）49 m
解析 （1）警车开始运动时，货车在它前面
Δx=x0+v0t0=13 m+8×2.5 m
=33 m
警车运动位移：x1=at2
货车运动位移：x2=v0t
警车要追上货车需满足：x1=x2+Δx
联立并代入数据解得：t=11 s（t=-3 s舍去）
（2）警车与货车速度相同时，相距最远，
对警车有：v0=at'，x1'=at'2
对货车有：x2'=v0t'
最大距离：Δxm=x2'-x1'+Δx=49 m。
例2 （1）16 m （2）25 m 8 s
解析 （1）当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v=vB-at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移为xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m
（2）根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移为xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移为xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s
例3 见解析
解析
（1）法一：由临界条件知当v车=v人时乘客如果能追上就可以追上
即at=v人
解得t=6 s
x车=at2=×1×62 m=18 m
x人=v人t=6×6 m=36 m
如图所示
x人
法二：由位移关系v人t=s+at2，
即6t=20+t2
Δ=36-4××20<0，无解
即追不上。
（2）最小距离Δx=x车+s-x人=（18+20-36） m=2 m。
拓展 （1）法一：由临界判断，at=v人，解得t=6 s
x人=v人t=6×6 m=36 m，
x车=at2=18 m
x人>x车+s'，故可以追上
法二：判别式法：
由位移关系v人t=s'+at2
即6t=t2+10
Δ=36-4××10>0，有两解
故相遇两次。
（2）由位移关系x人=x车+s'
即6t=t2+10
解得t1=2 s，t2=10 s
例4 见解析
解析 （1）t0=3 min=180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。
由v汽t0+1 000 m=t0
代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做匀加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。
（2）设摩托车加速时间为t1，加速度为a，3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小，
则有at1=v1=30 m/s
a+v1（t0-t1）=v汽t0+1 000 m
代入数据得a≈0.56 m/s2。作业17 追及相遇问题
1~7题每题7分,共49分
1.(2024·安康市高一期中)某次打捞中,打捞船顺水漂流,水流速度为4 m/s,发现在下游36 m处有同样顺水漂流的漂浮物,打捞船立即启动发动机,以2 m/s2的加速度向漂浮物运动,到达漂浮物处的时间为 ( )
A.6 s B.9 s
C.(2-2) s D.无法计算
2.(2024·天津市高一期中)两个物体同时同地向同一方向做直线运动,它们的v-t图像如图所示,则前4 s内 ( )
A.4 s末乙与甲相距最远
B.甲的平均速度等于乙的平均速度
C.2 s末乙追上甲
D.乙追上甲时距出发点20 m远
3.(2024·深圳市高一月考)如图,甲车在平直公路上以速度v匀速行驶,当它经过停在路旁的乙车时,乙车立即从静止开始启动,做匀加速直线运动,经过t时间追上甲车。下列说法正确的是 ( )
A.乙车加速运动的加速度大小为
B.乙车追上甲车时的速度大小为v
C.从启动到追上甲车的过程中,乙车的平均速度为v
D.乙车追上甲车前,两车的最大距离为vt
4.(2024·深圳市高一期中)在平直的公路上,自行车和与其同方向行驶的汽车同时经过A点,自行车以v=4 m/s速度做匀速运动,汽车以v0=10 m/s的初速度、a=0.25 m/s2的加速度刹车。自行车追上汽车所用时间应为 ( )
A.46 s B.48 s C.50 s D.52 s
5.(多选)(2024·济南市高一月考)在平直的公路上,一辆小汽车后方24 m处有一辆大客车正以13 m/s的速度匀速前进,这时小汽车以1 m/s2的加速度从静止启动,与大客车同向行驶。下列说法正确的是 ( )
A.经过13 s两车速度相同
B.两车可相遇2次
C.两车速度相同时,间距为84.5 m
D.小汽车运动8 s时,两车间距为72 m
6.(多选)(2023·赤峰市元宝山区第一中学高一期中)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动,在t=0时刻,二者相距15 m,甲在后,乙在前,它们运动的速度—时间图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体
B.t=4 s时刻,甲和乙相距15 m
C.0~4 s内,甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
7.(多选)(2024·柳州市高一月考)一辆超载的货车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,某时刻从一辆静止的警车旁经过,2 s后该警车以2 m/s2的加速度加速追赶,警车允许的最大速度为36 m/s, 从警车运动开始计时,下列说法正确的是 ( )
A.警车在加速阶段追上货车
B.前10 s内两车之间的距离越来越远
C.警车追上货车之前,两车的最远距离为100 m
D.追上货车时,警车行驶的距离为495 m
8、9题每题10分,10题13分,11题18分,共51分
8.(多选)(2024·天水市高一期中)一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上,突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度沿相同方向匀速行驶,小汽车紧急刹车,刹车过程中刹车失灵。如图所示,图线a、b分别为小汽车和大卡车运动的v-t图像(忽略刹车反应时间),以下说法正确的是 ( )
A.因刹车失灵前小汽车已减速,故不会发生追尾事故
B.两车在t=3 s时发生追尾事故
C.两车在t=5 s时发生追尾事故
D.若紧急刹车时两车相距45 m,则不会发生追尾事故且两车间的最小距离为10 m
9.(2024·上海市延安中学高一期中)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。已知无线连接的最远距离为10 m,甲和乙两位同学做了一个有趣实验:甲佩戴无线蓝牙耳机,乙携带手机检测,如图(a)所示。甲、乙同时分别沿两条平行相距6 m的直线轨道向同一方向运动,甲做匀速直线运动,乙从静止开始先做匀加速直线运动,再做匀速直线运动,其速度v随时间t的关系图像如图(b)所示,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为 ( )
A.4 s B.9 s C.13 s D.14 s
10.(13分)高速公路上,一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上,另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度跟随其后并逐渐接近。大货车的制动性能较差,刹车时的加速度保持在4 m/s2,而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统,刹车时能使小客车的加速度保持在8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车,SUV小客车司机的反应时间是0.5 s,为了避免发生追尾事故,货车和客车之间至少应保留多大的距离
11.(18分)(2024·宿迁市高一期中)甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h,如图所示。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
(1)(4分)甲车刹车至停止的时间;
(2)(7分)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离;
(3)(7分)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。
答案精析
1.A 2.B 3.C
4.C ［当汽车减速到零时所用的时间为t0== s=40 s，此时汽车的位移为x1==200 m，自行车的位移为x2=vt0=160 m
6.ABC ［t=2 s时刻，甲、乙位移差为Δx= m=15 m，在t=0时刻，二者相距15 m，说明甲物体刚好赶上乙物体，A正确；在t=4 s时刻，甲、乙位移差为Δx'= m- m=0
则甲和乙相距15 m，B正确；由A选项可知，t=2 s时刻，甲物体刚好赶上乙物体，接下来甲速度小于乙的速度，说明0~4 s内，甲、乙两物体之间的距离先减小后增大，C正确；甲、乙的加速度大小分别为
a1= m/s2=5 m/s2
a2= m/s2=2.5 m/s2，D错误。］
7.BD ［警车匀加速运动达到最大速度的时间t1== s=18 s，警车匀加速运动的位移x1=a=324 m，警车达到最大速度时货车从静止的警车旁经过的位移x2=v（t0+t1）=20×（2+18） m=400 m，由x1
9.C ［已知无线连接的最远距离为10 m，直线轨道相距6 m，手机检测到蓝牙耳机时，甲、乙间水平方向的距离之差最大值为Δx= m=8 m，当t=4 s时，根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移，可知甲、乙的位移之差Δx1=x甲1-x乙1=4×4 m- m=8 m，所以t=4 s之前手机与蓝牙耳机处于连接状态。由题图（b）可知，乙做匀加速直线运动阶段，加速度a= m/s2=1 m/s2。设t1时刻乙开始做匀速直线运动，分析可得t1= s=6 s，设4 s之后手机与蓝牙耳机能被连接的时间为t2。从t=4 s到t=t2，有Δx2=x乙2-x甲2=16 m，即×2+6（t2-2）-4t2=16，解得t2=9 s，则在运动过程中，手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为9 s+4 s=13 s，故选C。］
10.31 m
解析 在反应时间里客车做匀速运动的距离
x1=v1t0=32×0.5 m=16 m
若客车恰好与货车不发生追尾事故，则速度相等是恰好避免追尾的条件；速度相等时
v1-a1（t-0.5 s）=v2-a2t
客车刹车时的加速度大小a1=8 m/s2，
货车刹车时的加速度大小a2=4 m/s2，
代入数据得t=4 s
设货车与客车之间的距离至少为s，则
s+v2t-a2t2=x1+v1（t-0.5 s）-a1（t-0.5 s）2
代入数据得s=31 m。
11.（1）10 s （2）45 m （3）12 s
解析 v1=72 km/h=20 m/s，
v2=36 km/h=10 m/s
（1）设经过时间t0甲车停下来，根据运动学公式可得t0== s=10 s
（2）当两辆车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，
则v1-at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车位移为
x1=t1=75 m
乙车位移为x2=v2t1=50 m
两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离为
Δx=x0+x1-x2=（20+75-50） m=45 m
（3）在t0时间内，甲车的位移
x3=t0=100 m
乙车的位移为x4=v2t0=100 m
甲车速度刚减小到零时，甲、乙两车仍相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间为t2==2 s
从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为t=t0+t2=12 s
