2024-2025学年湖南师大附中九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查
B. 调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查
C. 甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
D. 某种彩票中奖率是，则购买张这种彩票一定会中奖
3.去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级班第一组名学生捐款如下单位：元：，，，，，，，，则这组捐款的众数是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元和元
4.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是( )
A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月
5.我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为( )
A. B. C. D.
6.从，，，四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知点，关于原点对称，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的
概率是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到则旋转中心可能是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
10.如图，中，，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一组数据：、、、，则这组数据的极差为______．
12.为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取株，测量这株稻苗高度所得数据为，，，，单位：，该组数据的方差为______．
13.已知一组数据，，，的平均数是，则另一组数据，，，的平均数是______．
14.在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量
发芽的频率
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为______结果精确到
15.一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是______．
16.抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______．
17.某校共有名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这名学生年龄的中位数是______．
18.二次函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中：分钟以上；：分钟；：分钟；：分钟以下并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
全校约有学生人，估计“”层级的学生约有多少人？
学校从“”层级的名女生和名男生中随机抽取人参加现场深入调研，则恰好抽到名男生和名女生的概率是多少？
20.本小题分
如图，四边形是正方形，经逆时针旋转后与重合．
若，，求的度数；
若，求的面积．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程为实数且．
求证：此方程总有两个实数根；
如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
22.本小题分
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．
求、两点的坐标；
若为等边三角形，求的值；
若，
点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值；
当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.岁
18.
19.解：接受问卷调查的学生共有：人，
扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：人，
补全条形统计图如下：
估计“”层级的学生约有：人；
画树状图得：
共有种等可能的结果，恰好抽到个男生和个女生的有种情况，
恰好抽到个男生和个女生的概率为．
20.解：，，
．
经逆时针旋转后与重合，
．
经逆时针旋转后与重合，，
，，
．
21.证明：依题意，得
．
，
方程总有两个实数根；
解：，，，
，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
或，
或．
22.解：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为令，即，
，
，
解得：，，
，；
由，
，
由得：，，
，，，
是等边三角形，
，
，
解得：，
根据图象可知：，
；
点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，
当时，，
令，则，
，
，
，
设直线解析式为，
，
解得：，
解析式为，
当时，，
，
如图，当时，
，即轴，
，
，
的横坐标为，，
，，
，，
或，
整理得：或，
解得：舍去或，
如图，当时，
由上可知，，
由勾股定理得：，
，
或，
解得：舍去或，，
综上可知：或或；
如图，设抛物线与的交点为、，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，
，
解得：，
，，
当时，始终位于直线的下方，
或，
解得：，
实数的取值范围为或．
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