2024年屯溪一中高三第三次教学质量检测
数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是平面内的一个单位正交基底，且，，则=（ ）
A B. C. D.
3. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ）
A. B. C. D.
4. 数学源于生活又服务于生活，某中学“数学与生活”兴趣小组成员在研学过程中，发现研学地的河对岸有一古塔（如图），于是提出如何利用数学知识解决塔高的问题.其中同学甲提出如下思路：选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，m，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高约为（ ）取）
A. m B. m C. m D. m
5. 函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在圆柱中过作与轴截面垂直的一个平面，所得截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知， ，且，则（ ）
A. 有最小值1 B. 有最小值1
C. 有最小值 D. 有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数（）与函数的周期相同，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值为
B. 是函数的一个零点
C. 把函数的图象向左平移个单位得到的图象，则为偶函数
D. 函数的单调递增区间为
10. 如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为
B. 四点共面
C. 点到的最近距离为
D. 异面直线与所成角范围为
11. 已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 某同学在高三阶段的9次数学考试中成绩依次为：，则这9次数学成绩的上四分位数为___________.
13. 已知圆和圆，若点在两圆公共弦上，则的最小值为___________.
14. 已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列前项和为，若 ，记数列满足，求数列的前项和.
在①是的等差中项；②；③这三个条件中任选一个，补充在第（2）问中，并对其解答.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，，直线与平面所成的角为，，，分别是，的重心．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值．
17. 现有一个不透明的袋子中装着标有数字的大小、材质完全相同的小球各个，从中任意抽取个，每个小球被抽到的可能性相等，用表示取出的个小球中的最大数字.
（1）已知一次取出个小球的数字之和大于，求这个球中最小数字为的概率；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
18. 已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
（1）若求的最小值；
（2）若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.
19. 设函数，为的导函数．
（1）当时，求展开式二项式系数最大的项；
（2）对任意的实数，证明：；
（3）是否存在，使得对，且恒成立？若存在，求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
