2024-2025学年湖南省益阳市沅江市新湾中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
3.如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.抛物线的图象上有两点、，则、的大小是( )
A. B. C. D. 无法判断
5.如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：
； ； 方程有两个相等的实数根； 抛物线与轴的另一个交点是； 当时，有其中正确个数是
A. B. C. D.
6.某茶杯的过最低点的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度( )
A. B. C. D.
7.已知是方程的根，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数，当时，有最小值和最大值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：若，异号，则方程一定有实数根；若，则方程一定有实数根；若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.方程的一次项系数是______．
12.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______
13.如图，在长为米宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，则道路的宽为______．
14.抛物线的顶点坐标______．
15.已知二次函数图象的顶点在轴上方，则实数的取值范围是______．
16.已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为______．
17.已知二次函数的部分图象如图所示，则 ______．
18.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移个单位，向上平移个单位得到点为的顶点，作直线点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形设、、的图象为当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
19.丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
四、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解方程：
21.本小题分
如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米的门，墙的最大可用长度为米．
如果羊圈的总面积为平方米，求边的长；
羊圈的总面积能为平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由．
22.本小题分
在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
23.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
若方程有一个根为，求方程的另一根．
24.本小题分
如图，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．
求抛物线的解析式和值；
在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．
25.本小题分
已知二次函数．
填表：
______ ______ ______ ______ ______
在平面直角坐标系中画出函数的图象；由图象可知，当时，的取值范围是______直接写出结果
26.本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
求此二次函数的解析式．
求点的坐标及的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.含个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.含个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
，
解得，
的取值范围是且，
故选：．
根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形，
根据题意得：．
故选：．
设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意，、在抛物线上，
，．
．
故选：．
依据题意，分别将、的坐标代入解析式求出与，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于一般题．
根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对进行判断；根据顶点坐标对进行判断；根据抛物线的对称性对进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对进行判断．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标，
抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
抛物线开口向下，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
抛物线的顶点坐标，
时，二次函数有最大值，
方程有两个相等的实数根，所以正确；
抛物线与轴的一个交点为
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，所以错误；
抛物线与直线交于，点
当时，，所以正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：依题意，设截面抛物线．
将代入，得．
解得．
．
将代入，
得．
解得．
，，
．
故选：．
建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可．
本题考查了二次函数的应用，关键是二次函数性质的应用．
7.【答案】
【解析】解：原式
，
是方程的根，
，
即，
原式．
故选：．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到原式，最后约分即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8.【答案】
【解析】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：当时，最小值为时的值，最大值为；
当时，最小值为，最大值为；
当时，最小值为，最大值为时的值；
的取值范围是．
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9.【答案】
【解析】解：，
当、异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以正确；
若时，，则方程一定有两实数根，所以正确；
若，，，，所以方程没有实数根，所以错误．
故选：．
当、异号时，，则根据根的判别式的意义可对进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对进行判断；若，，，计算出，则可对进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，图象与轴有两个交点，
，即，故正确；
对称轴为直线，
与轴的一个交点坐标为，
与轴的另一个交点坐标为，
，故正确；
，即，故正确；
由函数图象可得，当时，的取值范围是；故正确．
由图象可知，当时，随增大先增大后减小，故错误．
故选：．
利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线，可得到、的关系，再结合与轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：方程的一次项系数是是，
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
12.【答案】
【解析】解：依题意，令得：，
解得或，
小球从飞出到落地所用的时间为．
根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
13.【答案】米
【解析】解：设道路的宽为，
由题意得，
整理得，
解得，不合题意，舍去，
故道路的宽为米．
故答案为：米．
设道路的宽为，可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：抛物线解析式为，
二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标对称轴，最大最小值，增减性等．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得抛物线开口向上，对称轴为，
将代入，
，
所以抛物线的顶点为，
，
，
故答案为：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数图象和系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
16.【答案】或．
【解析】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
先计算出自变量为时所对应的二次函数值得到点坐标，则过中点与轴平行的直线为，再利用等腰三角形的性质得点为直线与抛物线的交点，然后解方程即可确定点坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰三角形的性质．
17.【答案】
【解析】解：二次函数与轴交点为，
即，
对称轴为直线，即，
解得：，
故答案为：．
由已知的图象可知二次函数图象的对称轴为直线，即可求出，由二次函数图象与轴交点即可求解．
此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的对称性是解答此题的关键．
18.【答案】或或
【解析】解：由题意知，的解析式为，的解析式为；
当与原点重合时，，此时矩形不存在；
当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点，如图：
当时，，即；
故当时，矩形与图象有三个公共点；
时，矩形与图象只有两个公共点，如图所示；
由中可知，当时，矩形与图象有四个公共点；
如图，当点在上时，矩形与图象有三个公共点；
设直线的解析式为，把点坐标代入得，即，
点向上平移两个单位长度得到点，
，
点的纵坐标为，即，
把点坐标代入，得：，
解得：，舍去，
，
即点的以坐标为，
故；
当时，矩形与图象只有三个公共点，如图；
当时，矩形与图象只有两个公共点，如图；
综上，当或或时，矩形与图象有三个公共点，
故答案为：或或．
当与原点重合时，，此时矩形不存在；当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点；时，矩形与图象只有两个公共点；由中可知，当时，矩形与图象有四个公共点；当点在上时，矩形与图象有三个公共点；当时，矩形与图象只有三个公共点；当时，矩形与图象只有两个公共点．
本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可．
19.【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为．
【解析】从抛物线解析式可以看出，有一个待定系数，在抛物线图象上找一个点，就可以确定待定系数，从而确定抛物线解析式，再利用抛物线解析式回答题目的问题．
已知抛物线解析式，求其中的待定系数，就要在抛物线上找已知点，确定抛物线解析式，为解决题目的问题提供依据．
20.【答案】解：
分解因式可得，
或，
或．
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，正确分解因式是解题的关键．
21.【答案】解：设的长为米，
由题意可得：，
解得：，，
当时，，故不合题意，
当时，，
的长是米；
羊圈的总面积不能为平方米，理由如下：
设的长为米，
由题意可得，
，
，
羊圈的总面积不能为平方米．
【解析】设的长为米，由羊圈的总面积为平方米，可列方程，即可求解；
根据题意列出方程，由根的判别式可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：设丝绸条带的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：丝绸条带的宽度为．
【解析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：；
设方程另一根为，
由根与系数的关系可得：，
解得：，
则方程的另一根为．
【解析】根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可；
利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
24.【答案】解：，
，
，点在的负半轴上，
，
把，分别代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：；
存在．
在中，令，得，
解得：，，
，
如图，设直线与轴交于点，
则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，如图，过点作轴于点，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，
，即是的中点，
，
点的横坐标为，
当时，，
；
当时，则，
，
；
综上所述，在直线上存在点使得是等腰直角三角形，点的坐标为或；
，
抛物线的顶点为，沿轴翻折后的解析式为，
把代入，得，
解得：，
联立抛物线与直线得：，
整理得：，
当时，，
当直线与该新图象恰好有四个公共点时，．
【解析】根据，，点在的负半轴上，可得，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把点的坐标代入，即可求得的值；
存在．设直线与轴交于点，可得是等腰直角三角形，，分两种情况：当时，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，即是的中点，即可得出；当时，可得；
抛物线的顶点为，沿轴翻折后的解析式为，把代入，可得，再由直线与抛物线有且只有一个交点，可求得，即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质，翻折变换的性质，抛物线沿轴翻折后的解析式，直线与抛物线的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
25.【答案】 或
【解析】解：时，；时，；时，；时，；时，；
故答案为：，，，，；
画出函数的图象如下：
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
将的值逐个代入计算即可得对应的值；
描点，连线即可画出函数图象；
观察图象在轴上方的部分，对应的范围即为所求．
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是根据、的取值，画出函数图象．
26.【答案】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为．
，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
【解析】先设函数的交点式，然后将点和点代入函数解析式得到二次函数的一般式；
将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点的坐标，然后求得的面积．
本题考查了二次函数的性质，利用交点式求得二次函数的解析式是解题的关键．
第1页，共1页
