2023-2024学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法不正确的是( )
A. 买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B. 连续抛次硬币，至少有一次国徽面朝上
C. 从一个装有个红球，个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是的倍数的可能性大于掷出的点数是的倍数的可能性．
2.若，则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
3.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线，等边的两个顶点，分别在直线和上，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人
共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是( )
A. 关于的方程的解是
B. 关于的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于，的方程组的解是
8.如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是和，则正方形的面积是( )
A. B. C. D.
9.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减元，再打折，最后不到元
B. 买两件等值的商品可打折，再减元，最后不到元
C. 买两件等值的商品可减元，再打折，最后不到元
D. 买两件等值的商品可打折，再减元，最后不到元
10.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个
12.如图，直线，，，则的度数为______．
13.如图，在中，，，点在上，，，______．
14.九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距木根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为______．
15.若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为______．
16.如图所示，点，，，在轴上，点，，，在直线上已知，轴，，，，，则的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式：；
解不等式组：．
18.本小题分
解方程组：
．
．
19.本小题分
在一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
求出摸出的球是黄球的概率；
为了使摸出两种球的概率相同，再放进去个同样的红球或黄球，那么这个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？
20.本小题分
中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上．
求证：是的中点；
求证：．
21.本小题分
某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完图中的线段，分别表示该工作室每天的成本单位：元，收入单位：元与销售量单位；个之间的函数关系求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？
22.本小题分
如图，是由边长为个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上小正方形的顶点，请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因．
23.本小题分
近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患某商店购进甲种头盔个，乙种头盔个共花费元、已知个甲种头盔的总钱数与个乙种头盔的总钱数相等．
求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？
24.本小题分
已知中，，，点为直线上的一动点点不与点、重合，以为边作，使，，连接．
问题发现：
如图，当点在边上时，
请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______．
尝试探究：
如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长．
参考答案
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17.解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为．
18.解：，
，得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为；
，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
故方程组的解为．
19.解：袋子中装有个红球和个黄球，
将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是黄球的概率为．
设这个球中红球有个，则黄球为个，根据题意得：
，
解得：，
黄球个数为：个，
答：这个球中红球有个，则黄球为个．
20.证明：如图，连接，
垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，
，，
，
是的中点；
由知，是的中点，
垂直平分线段，
点是的中点，
是的中位线，
．
21.解：设成本与销售量之间的函数关系为，
将点，代入，得，
解得：，
，
设收入与销售量之间的函数关系为，
将点代入得，，
解得：，
，
当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，即，
，
解得：，
若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是．
22.解：方法一：如图，线段即为所求．
证明：由勾股定理得，，，，
，，
，
即，
且．
方法二：如图，将绕着点顺时针旋转得到，线段即为所求，理由如下：
由网格可知：，，，
≌，
，
，
，
，
．
23.解：设甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元；
设商店第二次购进个甲种头盔，则购进个乙种头盔，
根据题意得：，
解得：．
，
甲种头盔的单价大于乙种头盔的单价，
购买甲种头盔越少，商店第二次购进头盔的费用越少，
又，且为正整数，
当时，商店第二次购进头盔的费用越少，最少费用为．
答：商店第二次购进头盔最少花费元．
24.，；
当点在边的延长线上且其他条件不变时，中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下：
，
，
即，
又，，
≌，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
，
，
即，
又，，
≌，
，，
中，，，
，
，
，
，
，
，，
．
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