2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题2分，共16分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A＝90°的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝6，b＝5，c＝4
C．a＝2，， D．a＝1，b＝2，
4．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝ B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝0 D．（x﹣2）2＝4
5．（2分）已知A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
7．（2分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c．给出下面三个结论：①a+b＞c；②2ab＜c2；③＞2a．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）已知函数y＝（k﹣2）x+1，y随x的增大而增大，则实数k的取值范围是 ．
11．（2分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OE＝3，则CD的长为 ．
12．（2分）直线y＝kx+3k﹣2（k≠0）一定经过一个定点，这个定点的坐标是 ．
13．（2分）2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 ．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为 ．
15．（2分）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：
，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ．
16．（2分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③（am+b）m＜a+b（m为任意实数）；④a＜﹣1．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共10小题，第17题12分，第18，19，20，21，22题每题6分，第23题5分，第24，25，26题每题7分，共68分）
17．用适当的方法解关于x的一元二次方程：
（1）（3x+2）2＝8；
（2）9x2＝6x﹣1；
（3）；
（4）x（3x﹣2）＝2x2+48．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求作：以AC为对角线的矩形ADCE．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；
③连接AE，CE．
四边形ADCE为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明．
证明：∵AE＝CD，CE＝AD，
∴四边形ADCE为平行四边形（ ）．（填推理的依据）
由作图可知，
AD平分∠BAC，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC（ ）．（填推理的依据）
∴∠ADC＝90°．
∴平行四边形ADCE是矩形（ ）．（填推理的依据）
19．如图， ABCD中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AD的中点
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）如果AB＝2，BC＝4，求四边形AECF的面积．
20．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
x … …
y … …
（2）根据图象回答下列问题：
①当y＜0时，x的取值范围是 ；
②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 ．
21．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．
22．某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售100kg．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加20kg．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23．为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x＜90这一组的是：
84 85 85 86 86 88 89
c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：
分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100
人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全a中频数分布直方图；
（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是 ；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是 ；
（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）计算∠AEF的度数；
（2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．
（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．
①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是 ；
②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题2分，共16分）
1．解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．解：根据函数的定义，A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
3．解：∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
故A不符合题意；
∵a＝6，b＝5，c＝4，
∴a2≠b2+c2，
∴∠A≠90°，
故B不符合题意；
∵a＝2，b＝，c＝，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
故C符合题意；
∵a＝1，b＝2，c＝，
∴b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故D不符合题意；
故选：C．
4．解：方程x2﹣4x+1＝0，
整理得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：B．
5．解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象上，
∴A（﹣2，y1）到对称轴的距离最远，B（1，y2）在对称轴上，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝＝16．
故选：B．
7．解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∵BE＝CF，
∴BF＝AE，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴DE＝AF＝c，
∵AD+AE＞DE，
∴a+b＞c，故①正确；
∵DE2＝DA2+AE2，
∴c2＝a2+b2，
∵AE＞AB，
∴b﹣a＞0，
∴（b﹣a）2＞0，
∴a2+b2﹣2ab＞0，
∴2ab＜c2，故②正确；
∵E是动点，
∴DE＝不是定值，且≥a，
∴③错误，
故选：A．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
10．解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故答案为：k＞2．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA，
又∵点E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴CD＝2OE＝6，
故答案为：6．
12．解：∵y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，
∴（x+3）k＝y+2．
∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解，
∴x+3＝0，y+2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝﹣2．
∴这个定点的坐标（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
13．解：由题意得：6.58（1+x）2＝7.96，
故答案为：6.58（1+x）2＝7.96．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，
∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，
∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，
∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，
∴BC+CD＝18，
∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，
∴CF2＝（18﹣CF）2+62，
解得：CF＝10，
∴AD＝BC＝CF＝10，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
故答案为：4．
15．解：根据题意得：
，
∴样本的容量是4，故①说法正确；
这组数据为：3，3，4，6，
则中位数为：＝3.5，故②说法错误；
样本的众数为：3，故③说法正确；
样本平均数为：＝4，故④说法正确；
方差为：＝1.5，故⑤说法错误；
∴上述信息正确的是①③④．
故答案为：①③④．
16．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②错误；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴m为任意实数时，am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm≤a+b，即（am+b）m≤a+b，所以③错误；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故答案为：①④．
三、解答题（共10小题，第17题12分，第18，19，20，21，22题每题6分，第23题5分，第24，25，26题每题7分，共68分）
17．解：（1）（3x+2）2＝8，
∴3x+2＝±2，
∴x1＝，x2＝；
（2）9x2＝6x﹣1，
9x2﹣6x+1＝0，
（3x﹣1）2＝0，
∴x1＝，x2＝；
（3），
∵Δ＝48﹣4×2×7＝﹣8＜0，
∴原方程没有实数根；
（4）x（3x﹣2）＝2x2+48，
x2﹣2x﹣48＝0，
∴（x﹣8）（x+6）＝0，
∴x﹣8＝0，x+6＝0，
∴x1＝8，x2＝﹣6．
18．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，
∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
由作图可知，
AD平分∠BAC，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC（三线合一），
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．
19．证明：（1）∵在 ABCD中，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴EC＝BC，AF＝AD，
∴EC＝AF，且EC∥AF
∴四边形AECF为平行四边形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点，
∴AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝2
∴S△ABC＝AB×AC＝2
∵点E是BC的中点，
∴S△AEC＝S△ABC＝
∵四边形AECF是菱形
∴四边形AECF的面积＝2S△AEC＝2
20．解：（1）列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线：
（2）观察图象，①当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1；
②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是0＜y≤4；
故答案为：x＜﹣3或x＞1；0＜y≤4．
21．解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴A点坐标为（0，1）；
（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．
22．解：设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为（60×0.1x﹣40）元，平均每天可售出（100+×20）千克，
根据题意得：（60×0.1x﹣40）（100+×20）＝2240，
整理得：9x2﹣165x+756＝0，
解得：x1＝9，x2＝（不符合题意，舍去），
答：该店应按原售价的9折出售．
23．解：（1）由题意可知，A小区“70≤x＜80”的频数为：20﹣1﹣1﹣7﹣9＝2，
补全a中频数分布直方图如下：
（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：＝88.5；
B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94．
故答案为：88.5；94；
（3）（份），
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品．
24．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；
（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，
∴OC＝3，
∴m2﹣1＝3，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，
当抛物线经过点A（2k，0）时，k＝或k＝；
当抛物线经过点B（0，k）时，k＝3；
∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，
∴≤k＜或k＞3．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠AEF＝45°；
（2）CF＝DG．理由如下：
如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，
∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，
∴G是EF的中点，
∴AG＝EF，
同理，在Rt△EFC中，CG＝EF，
∴AG＝CG，
∵AD＝CD，DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SSS），
∴∠ADG＝∠CDG，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠GDC＝45°；
∴GM为△GEC的中位线，
∴GM∥CF，GM＝CF，
∴∠DMG＝∠DCB＝90°，
在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°，
∴△DMG为等腰三角形，
∴DM＝GM，
∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2，
∴DG＝GM，
∵GM＝CF，
∴DG＝CF，
∴2DG＝CF，即CF＝DG．
26．解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．
∴AB＝5﹣1＝4，
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，
∵点P在直线y＝x上，
∴设P（x，x），
当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，
∴x﹣1＝4，x＝5，
∴x＝5，
∴P（5，5）符合题意，
∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；
当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，
∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，
∴x＝3，
∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，
∴x﹣0＝4，x＝4，
∴x＝4，
∴P（4，4）符合题意，
∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；
当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，
∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，
∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；
综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），
故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；
②∵点Q为线段AB的“相随点”，
∴四边形ABPQ为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，
∴设P（y，y），Q（x，y），
∴y﹣x＝4，
∴y＝x+4，
∴点Q在直线y＝x+4上运动，
如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，
则QO'＝QO，
∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，
∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，
∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，
∴O′（﹣4，4），
∵B（5，3），
∴O′B＝＝，
∴OQ+BQ的最小值为，
设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，
联立得：，
解得：，
∴此时点Q的坐标为（﹣，）；
（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，
∴xM+xP＝xN+xQ，
∴xN﹣xM＝xP﹣xQ，∵A（﹣2，3），B（2，﹣1），
∴xB﹣xA＝4，
∴﹣4≤xN﹣xM≤4，∵xP＝m，
∴m一4≤xQ≤m+4．纵坐标同理可得，
∴当xQ＝m﹣4时，yQ＝m+4，此时Q在直线y＝x+8上，当xQ＝m+4，yQ＝m﹣4，此时Q在直线y＝x﹣8上，
∴Q点所形成的区域是直线y＝x+8与y＝x﹣8之间，且不包含直线AB上与直线y＝x上．
∴当正方形T1左上角端点过y＝x+8时，此时t﹣1＝﹣6，
解得t＝﹣5，
当正方形T2右上角端点过AB时，t+1＝﹣1，
解得：t＝﹣2，
当正方形T3左上角端点过y＝x时，此时t﹣1＝2，
解得t＝3，
当正方形T3右下角端点过y＝x﹣8时，t+1＝8，
解得t＝7．
∵正方形与y＝x+8与y＝x﹣8是可以有交点的，正方形与y＝x与直线AB是不能有交点的，
∴﹣5≤t＜﹣2或3＜t≤7．
∴t的取值范围为：﹣5≤t＜﹣2或3＜t≤7．
