2021年南外特长生选拔考试数学试题
考试时间：70分钟满分：100分
填空题（本大题共10小题，共20个空，每空5分，共100分）
1．（科技特长生）足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有______种不同的可能性．
2．（科技特长生．学科统考）已知实数x，y满足，则的最大值为______．
3．（学科统考）正方形ABCD的边长为4，M，N两点为对角线AC上的动点，且，，P为正方形ABCD边上的一点，且为等腰三角形，则：（1）这样的点P最少有_____个；（2）这样的点P最多有______个．
4．（学科统考）中，，，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：（1）当______时，的面积最大；（2）的面积最大值为______．
5．（科技特长生）如图，，，三个菱形ADME，BFMG，CHMI全等，菱形短对角线长为2，G在AD延长线上，△ABC的周长为______．
6．（科技特长生）已知菱形ABCD中，，，P为边AD上一动点（不与点A重合），过P作于点E，作A关于PE的对称点F，当为等腰三角形时，将AE长度的可能值小到大排列为，则：
（1）_____；（2）_______；（3）_____．
7．（科技特长生．学科统考）如图，中，M为BC中点，过M作于点D，于点E，且，，，则A到BC的距离为______．
8．（科技特长生．学科统考）已知抛物线交x轴于，，且．
（1）m的值为______；
（2）已知点，，P，Q均在抛物线上，且，时，均有，则a的取值范围是______（写成区间的形式）；
（3）有点，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线BD交y轴于E．M为线段BD上一点，当时，则M的横坐标为______．
9．（数学加试）有两个正整数x，，其最大公约数与最小公倍数之和等于这两个数的积与和的差，则：
（1）满足条件的数组共有______个；
（2）在所有满足条件的数组中，的最大值为_______．
10．（科技特长生．数学加试）如图，矩形ABCD中，，，E为一动点，沿B→A→C方向运动，速度为1单位长度每秒，过E作于F（F可与B，C重合），以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH．
经过t秒后，直线AH将矩形ABCD的面积划分成1：3的两部分．将满足要求的t从小到大排列
为，则：
（1）______；（2）______；（3）______；（4）______．
（请勿填写成小数形式或带分数形式）
2021年南外特长生选拔考试数学试题解析
填空题（本大题共10小题，共20个空，每空5分，共100分）
1．【答案】3
2．【答案】．
【解析】已知得：，故．
当且仅当，时等号成立．
3．【答案】（1）4；（2）8．
4．【答案】（1）4；（2）8．
【解析】过C、E分别作AB的垂线，垂足分别为M、N．
易得，．
易证，故，
故．
即当时，的面积最大，最大值为8．
5．【答案】．
【解析】设三个菱形边长为x．
由菱形短对角线长为2可得，菱形的长对角线为．
又由可知为等腰直角三角形，且．
由已知易得，，又G在AD延长线上，
故，即，
解得：．
所以，，
所以的周长为．
6．【答案】（1）2；（2）；（3）．
7．【答案】
【解析】因为M为BC中点，所以．
又因为，，
所以，
即．
又由，得：．
联立两式，解得：，．
故，故，
故，故．
进而可得：，．
8．【答案】（1）；（2）；（3）．
9．【答案】（1）3；（2）10．
【解析】设这两个正整数分别是ad，，其中d为它们的最大公约数，则
由已知可得：，即
显然，．若，则，矛盾，故
①若，则，即，
解得，，故这两个正整数为6和4；
②若，则，即，
解得，，故这两个正整数为6和3；
③若，则，即，
解得，，故这两个正整数都为4．
10．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）12．
