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2.61一元二次方程-传播与循环问题
一、传播问题
病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x） 人患了流感。
树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x 个枝。
二、循环问题
双方参与问题有以下几种常见类型:
(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.
(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.
(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;
②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.
1.（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24九年级·宁夏银川·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为 人
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
5．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
6.（23-24·陕西渭南·模拟预测）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生
7.（23-24九年级·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
1（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
1.（2023秋 枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（ ）
A．512人 B．596人 C．648人 D．729人
2.（2023秋 富锦市校级期末）学校进行足球比赛，每两班比一场，计划安排15场比赛，请问共有几个班参加比赛？（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．7
3.（2023 江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
4.（2023 鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
5．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ．
6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
8.（2022秋 昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.61一元二次方程-传播与循环问题
一、传播问题
病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x） 人患了流感。
树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x 个枝。
二、循环问题
双方参与问题有以下几种常见类型:
(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.
(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.
(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;
②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.
1.（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故每个支干长出6个小分支，
故选A．
2．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得：
，
故选：C．
3.（23-24九年级·宁夏银川·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为 人
【答案】10
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的人数为人，利用碰杯的总次数参加酒会的人数参加酒会的人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】
解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
参加酒会的人数为人．
故答案为：
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
【答案】9
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支．
，
，
解得（不合题意，舍去），，
故答案为：9．
5．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
6.（23-24·陕西渭南·模拟预测）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生
【答案】九年级（1）班共有名学生．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设九年级（1）班共有名学生，每个同学要写条祝福，结合全班一共写了1640条祝福，列式，然后计算，即可作答．
【详解】解：设九年级（1）班共有名学生，
则，
整理得，
解得（舍去），
∴九年级（1）班共有名学生．
7.（23-24九年级·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】(1)10；
(2)小哲说的有道理，理由见解析；
(3)13．
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，理由见详解；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，由题意得，整理得，
解得，不为整数，
∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，
得，整理得，
解得，
当时，，符合题意，
∴共有13名参赛者报名本次比赛．
1（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可.
【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得：
.
故答案为.
2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
1.（2023秋 枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（ ）
A．512人 B．596人 C．648人 D．729人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
即每轮传染中平均一个人传染8个人．
∴81+81×8＝729（人）．
故选：D．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
2.（2023秋 富锦市校级期末）学校进行足球比赛，每两班比一场，计划安排15场比赛，请问共有几个班参加比赛？（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．7
【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个班参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝15，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
即共有6个班参加比赛，
故选：B．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.（2023 江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，根据共发出90条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴这个微信群的人数为9人．
故选：B．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.（2023 鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛．
本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可．
【详解】解：设每人给y人发短信，
由题意得：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
【答案】9
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支．
，
，
解得（不合题意，舍去），，
故答案为：9．
8.（2022秋 昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场），
∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛．
故答案为：15．
（2）设有x支球队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：有10支球队参加比赛．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？
【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染，根据经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮感染后被感染的电脑数量＝经过两轮感染后被感染的电脑数量×（1+每轮感染中平均一台电脑感染电脑的数量），即可求出经过三轮感染后被感染的电脑数量，再将其与500比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染7台电脑．
（2）64×（1+7）＝512（台）．
∵512＞500，
∴3轮感染后，被感染的电脑会超过500台．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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