第3章 概率的进一步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨江区期末）有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
1 2
1
2
所有等可能的情况有4种，其中两人同坐1号车的情况有1种，
所以两人同坐1号车的概率为，
故选．
2．（2024 灞桥区校级开学）兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的麦粒数 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 191 473 954 1906 4750
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.95
通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到是
A．0.92 B．0.93 C．0.95 D．0.98
【答案】
【解析】由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
故选．
3．（2024 潮南区校级一模）从长度为，，，的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】从4条线段中任意选3条线段的所有结果为1、1、2；1、1、2；1、2、2；1、2、2，共有4种等可能的结果，
其中这三条线段能够组成等腰三角形的结果数为2种，
所有这三条线段能够组成等腰三角形的概率．
故选．
4．（2024 林州市模拟）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】画树状图得：
共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
能让灯泡发光的概率为．
故选．
5．（2023秋 新宾县期末）我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】
【解析】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选．
6．（2024 呼和浩特二模）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意得：豆子落在中”记作事件，估计的概率（A）的值．
故选．
7．（2024春 芮城县期末）如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，现将它们背面朝上洗匀，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为，摸到3号卡片的概率为，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【解析】共有6张卡片，其中写有1号的有3张，3号的有2张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是，摸到3号卡片的概率是，
故选．
8．（2024 柳北区校级四模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】
【解析】口袋中白球的个数可能是（个，
故选．
9．（2024 安徽模拟）据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌赛马，齐威王和田忌各有上，中，下三匹马，约定每匹马只能出战一次，三局两胜．记齐威王的三匹马分别为，，，田忌的三匹马分别为，，，已知马的速度，若齐威王的马按，，的顺序出战，田忌的马随机出战，则田忌获胜的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】田忌的马所有可能的出战顺序如下：
田忌 ，， ，， ，， ，， ，， ，，
共有6种等可能情况，其中田忌获胜的有1种，即，，，
田忌获胜的概率为．
故选．
10．（2024 西城区校级开学）一个不透明的盒子里装有红色和白色的小球共20个，除颜色外无其它区别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，如图是某数学学习小组开展上述摸球活动的实验结果，下列推断合理的是
A．当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33
B．若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的概率一定是0.40
C．随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35
D．可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球8个
【答案】
【解析】．当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故该选项不正确，不符合题意；
．若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的概率接近0.35，故该选项不正确，不符合题意；
．随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故该选项正确，符合题意；
．可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故该选项不正确，不符合题意；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 山西模拟）2024年5月18日是第48个国际博物馆日．某班计划从小王、小华、小亮、小明四名同学中随机选出两名同学前往山西地质博物馆参加主题日活动，则恰好选中小王和小华的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是小王和小华的结果数为2种，
恰好选中小王和小华的概率是．
故答案为：
12．（2024 山西模拟）如图是某公园休息区的1张石桌和4个石凳，甲、乙、丙、丁4位同学在公园游玩时，临时在该休息区休息，他们分别随机坐到这4个石凳上，则甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为 ．
【答案】．
【解析】甲坐定一个位置，乙有3种等可能的坐法，其中有2种情况与甲相邻，
甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为：．
故答案为：．
13．（2024 呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
【答案】．
【解析】将“唐僧”记为“”，将“孙悟空”记为“”，将“猪八戒”记为“”，将“沙悟净”记为“”，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次取到相同图案的卡片结果有、、、种，
所以两次取到相同图案的卡片的概率为．
故答案为：．
14．（2024 南山区校级模拟）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从口驶出的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该车从口驶出的结果有1种，
该车从口驶出的概率为．
故答案为：．
15．（2024 西吉县一模）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 35 颗．
【答案】35．
【解析】设袋中红色幸运星有颗，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：35．
16．（2024 盐都区校级一模）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 7 ．
【答案】7．
【解析】假设不规则图案面积为 ，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得．
故答案为：7．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 立山区模拟）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【解析】（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故（两人恰好选择同一种支付方式）为．
18．（2024 武都区校级二模）有三张完全相同的卡片，它们的正面分别写有数字，，0．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，再从剩下的二张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为．
（1）用树状图或列表法表示所有机会均等的结果；
（2）若用表示平面直角坐标系内点的坐标，求点在直线上的概率．
【解析】（1）列表如下：
0
0
所有等可能的情况有6种：，，，，，；
（2）在直线上的点有，，
所以点在直线上的概率为．
19．（2024春 乳山市期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格．
（1）从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ；
（2）机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在0.95，求的值大约是多少．
【解析】（1）个零件，经检测有3个合格，
从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是，
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：，
答：的值大约是16．
20．（2024 海门区校级开学）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；（精确到
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请你设计一个增（减袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率．
【解析】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）可估计摸到白球的概率为0.6，
（只，
答：估算口袋中白球有3只；
（3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只，
再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）．
21．（2024 吉安三模）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率．
（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大．
【解析】（1）第一道单选题有3个选项，
如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用，，表示第一道单选题的3个选项，，，表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
小明顺利通关的概率为：；
（3）如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
建议小明在第一题使用“求助”．
22．（2024 市中区模拟）我市某中学举行“中国梦我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角为 度，图中的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【解析】（1）解：根据题意得：总人数为：（人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级的人数为（人，
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
23．（2024春 雅安期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转到数字1是 不可能事件 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于4的概率是 ；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率是多少？
【解析】（1）转到数字1是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于4的结果有3种，
转出的数字大于4的概率是，
故答案为：；
（3）第三边的长，即第三边的长，
与3和4能组成三角形的有2，3，4，5，6，
转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
这三条线段能构成三角形的概率是．
24．（2024 清远模拟）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000
小石子落在圆内（含圆上）的次数 32 63 153 305
小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数 68 137 347 695
小石子落在圆内（含圆上）的频率 0.320 0.315 0.306
【数学发现】
（1）若以小石子所落的有效区域为总数（即，则表格中的数据 0.305 ；
随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到；
【结论应用】
（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留
【解析】（1），
随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近，
故答案为：0.305，0.3；
（2）圆的面积（平方米），
整个封闭图形的面积（平方米），
答：估计整个封闭图形的面积是平方米．
25．（2024 茅箭区校级模拟）我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为、、、．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
：无人机 36 0.45
：交响乐团 0.25
：诗歌鉴赏 16
：木工制作 8
合计 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的 80 ， ；
（2）对应扇形的圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数；
（4）兰兰和瑶瑶参加校本课程学习，若每人从、、三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【解析】（1），
，
故答案为：80，0.20；
（2）对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36；
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数为：（人；
（4）画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中兰兰和瑶瑶两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，
兰兰和瑶瑶两人恰好选中同一门校本课程的概率为．
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第3章 概率的进一步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨江区期末）有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为
A． B． C． D．
2．（2024 灞桥区校级开学）兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的麦粒数 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 191 473 954 1906 4750
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.95
通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到是
A．0.92 B．0.93 C．0.95 D．0.98
3．（2024 潮南区校级一模）从长度为，，，的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是
A． B． C． D．
4．（2024 林州市模拟）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是
A． B． C． D．
5．（2023秋 新宾县期末）我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
6．（2024 呼和浩特二模）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率的值为
A． B． C． D．
7．（2024春 芮城县期末）如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，现将它们背面朝上洗匀，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为，摸到3号卡片的概率为，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
8．（2024 柳北区校级四模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是
A．8 B．16 C．24 D．32
9．（2024 安徽模拟）据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌赛马，齐威王和田忌各有上，中，下三匹马，约定每匹马只能出战一次，三局两胜．记齐威王的三匹马分别为，，，田忌的三匹马分别为，，，已知马的速度，若齐威王的马按，，的顺序出战，田忌的马随机出战，则田忌获胜的概率为
A． B． C． D．
10．（2024 西城区校级开学）一个不透明的盒子里装有红色和白色的小球共20个，除颜色外无其它区别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，如图是某数学学习小组开展上述摸球活动的实验结果，下列推断合理的是
A．当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33
B．若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的概率一定是0.40
C．随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35
D．可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球8个
二．填空题（共6小题）
11．（2024 山西模拟）2024年5月18日是第48个国际博物馆日．某班计划从小王、小华、小亮、小明四名同学中随机选出两名同学前往山西地质博物馆参加主题日活动，则恰好选中小王和小华的概率是 ．
12．（2024 山西模拟）如图是某公园休息区的1张石桌和4个石凳，甲、乙、丙、丁4位同学在公园游玩时，临时在该休息区休息，他们分别随机坐到这4个石凳上，则甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为 ．
13．（2024 呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
14．（2024 南山区校级模拟）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从口驶出的概率是 ．
15．（2024 西吉县一模）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为
颗．
16．（2024 盐都区校级一模）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 立山区模拟）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
18．（2024 武都区校级二模）有三张完全相同的卡片，它们的正面分别写有数字，，0．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，再从剩下的二张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为．
（1）用树状图或列表法表示所有机会均等的结果；
（2）若用表示平面直角坐标系内点的坐标，求点在直线上的概率．
19．（2024春 乳山市期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格．
（1）从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ；
（2）机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在0.95，求的值大约是多少．
20．（2024 海门区校级开学）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请你设计一个增（减袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率．
21．（2024 吉安三模）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率．
（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大．
22．（2024 市中区模拟）我市某中学举行“中国梦我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角为 度，图中的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
23．（2024春 雅安期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转到数字1是 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于4的概率是 ；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率是多少？
24．（2024 清远模拟）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000
小石子落在圆内（含圆上）的次数 32 63 153 305
小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数 68 137 347 695
小石子落在圆内（含圆上）的频率 0.320 0.315 0.306
【数学发现】
（1）若以小石子所落的有效区域为总数（即，则表格中的数据 ；
随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到；
【结论应用】
（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留
25．（2024 茅箭区校级模拟）我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为、、、．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
：无人机 36 0.45
：交响乐团 0.25
：诗歌鉴赏 16
：木工制作 8
合计 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的 ， ；
（2）对应扇形的圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数；
（4）兰兰和瑶瑶参加校本课程学习，若每人从、、三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
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