2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修一单元检测：第4章 计数原理
一、选择题
1．一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同的走法？( )
A.11种 B.12种 C.13种 D.14种
2．在二项式的展开式中,第5项和第9项的系数相等,则( )
A.14 B.13 C.12 D.11
3．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书,甲同学想从中选出1本阅读,则不同的选法共有( )
A.9种 B.10种 C.19种 D.90种
4．若把英语单词“receive”的字母顺序写错了,则出现的错误写法共有( )
A.840种 B.839种 C.2520种 D.2519 种
5．甲工厂有80名工人,乙工厂有60名工人,丙工厂有70名工人,现从中选取1人参加技术培训,则不同的选法有( )
A.180种 B.210种 C.240种 D.270种
6．的展开式中含项的系数为( )
A.20 B. C.30 D.
7．的展开式中含项的系数为( )
A. B.0 C.15 D.30
8．的展开式中项的系数是( )
A.672 B. C.84 D.
二、多项选择题
9．使不等式成立的n的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10．给出下面几个问题，其中是组合问题的是( )
A.某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛
B.从1，2，3，4中选出2个数作为平面向量a的坐标
C.从1，2，3，4中选出2个数分别作为焦点在x轴上的双曲线的实轴长和虚轴长
D.从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段
11．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
三、填空题
12．的展开式中,的系数为______________.
13．2023年2月6日,土耳其发生7.8级地震,我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人,根据救灾安排,该救援队需要安排到三个地区实施救援,每个地区至少2人,每人只去一个地区,则共有______种安排方案.
14．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会,如果其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去,则不同去法的种数为__________.(用数字作答)
四、解答题
15．设，，.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
16．求的常数项.
17．已知（n为正整数）.
（1）若，求n的值；
（2）若，，，求和的值.（结果用指数幂的形式表示）
18．求的展开式的常数项.
19．解不等式：.
参考答案
1．答案：C
解析：从10级台阶至6级台阶分别用至表示，表示甲走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，则①从第11级台阶迈步到第10级台阶需要1步，即当时，；②从第11级台阶迈步到第9级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨2级台阶，即当时，；③从第11级台阶迈步到第8级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨3级台阶，还可以第一步跨1级台阶，第二步跨2级或第一步跨2级，第二步跨1级，即当时，；当时，分三种情况讨论，如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有（种）跨法.如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有（种）跨法.如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有（种）跨法.根据加法原理，有，类推，当时，甲只能从2，3，4跨到5，则，
故选：C.
2．答案：C
解析：二项式展开式的通项为（且）,
依题意可得,则.
故选：C.
3．答案：C
解析：由分类加法计数原理知,不同的选法种数为.
故选：C.
4．答案：B
解析：7个字母的全排列有种,
因为有3个字母是重复的,所以共有种排法,
除去1种正确的写法,所以出现的错误写法共有839种.
故选：B.
5．答案：B
解析：根据分类加法计数原理,不同的选法有种.
6．答案：C
解析：,的展开式的通项公式为,
令,得,则的展开式中含项的系数为.
7．答案：D
解析：因为的通项公式为,
令,解得,此时;
的通项公式为,
令,解得,此时为;
所以的展开式中含项的系数为.
8．答案：D
解析：由题意可知：的展开式通项为,
令,解得,
所以项的系数是.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：在中，，，在中，，，则，.因为，所以，即，解得.因此有，，所以n的取值可以是3，4，5.故选ABC.
10．答案：AD
解析：A，D中的问题与顺序无关，因而是组合问题.B，C中当选出的2个数的顺序发生变化时，结果也发生变化，因而是排列问题.故选AD.
11．答案：ACD
解析：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品、1件不合格品，则合格品的抽法有种，不合格品的抽法有种，所以恰好有1件是不合格品的抽法有种，故A正确，B错误.若抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，则有2种情况：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种抽法；②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种抽法.所以抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故C正确.在100件产品中任抽3件，有种抽法，其中全部为合格品的抽法有种，所以抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.选ACD.
12．答案：-80
解析：展开式的通项为：,
取得到的系数为.
故答案为：.
13．答案：2940
解析：人数分配有2,2,4和3,3,2两种情形,所以共有种安排方案.
14．答案：32
解析：甲,乙都去,总共有种去法;甲,乙都不去,总共有种去法;
总共有种去法.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，，.
因为，
所以，解得.
（2）由（1）知，.
.
方法一：
因为，
所以，，
从而.
方法二：
.
因为，所以.
因此.
16．答案：1680
解析：由题意可知，常数项的构成必为，
故常数项为.
17．答案：（1）
（2），
解析：（1）展开式的通项，
则，，.
因为，所以，
化简得，即，
解得或（舍去）.
（2）当时，，
令，得，
令，得.
因为，，
所以，，
所以.
18．答案：
解析：方法一：由二项式定理得
其中为常数项的有
中的第3项：；
中的第2项：；
展开式的最后1项：.
综上可知，常数项为.
方法二：原式.
求原式中展开式的常数项，等价于求的展开式中含的项的系数，即.
所以所求的常数项为.
19．答案：
解析：由得，，
化简得，解得，
所以.由，得.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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