2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修一单元检测：本书综合复习与测试
一、选择题
1．点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
2．过点,且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3．公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数,简称黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若双曲线是黄金双曲线,则( )
A. B. C. D.
4．2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率均分别为，，，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B时概率为( )
A. B. C. D.
5．已知等比数列中，，，则公比( )
A.2 B. C.4 D.
6．已知F为双曲线的左焦点,为C左支上的点,为右顶点,若,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是( )
A.甲150枚，乙150枚 B.甲225枚，乙75枚
C.甲200枚，乙100枚 D.甲240枚，乙60枚
8．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为( )
A.3 B.6 C.10 D.15
二、多项选择题
9．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A. B. C.4 D.5
10．已知直线,直线,若,则实数a可能的取值为( )
A. B.0 C.1 D.2
11．已知，，直线，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点，在函数的图像上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则_________.
13．的展开式中项的系数是________.
14．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是__________.
四、解答题
15．现有9件产品,其中4件一等品,3件二等品,2件三等品,从中抽取3件产品.
(1)试问共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种
(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种
16．已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,M为线段的中点,P为椭圆上动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)延长交椭圆于Q,若,求直线的方程.
17．已知数列的通项公式.
（1）当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？
（2）求证：对任意实数p和q，数列是等差数列.
18．木盒盒中装有各色除了颜色其他完全相同的球6只，其中3红、2黑、1白，搅拌均匀后.
（1）从中任取1个球，求取得红或黑球的概率；
（2）从中任取2个球，求至少1个红球的概率；
（3）从中任取2个球，求至多1个红球的概率.
19．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）设，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①；②，是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：直线,即,
直线l与x轴平行,
点到直线l的距离:.
故选:B.
2．答案：B
解析：设直线方程为,根据题意可得,,
解得
于是所求直线的方程为,即,选项B正确
故选:B.
3．答案：B
解析：由题意,则,
所以.
故选:B
4．答案：D
解析：4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：
①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，
②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，
③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，
故所求概率P.
故选：D.
5．答案：D
解析：依题意，.
故选：D
6．答案：A
解析：如图,设C的焦距为,则,由,
可知,设C的右焦点为,则,
由余弦定理得,
整理得,所以,离心率为,故A正确.
故选:A.
7．答案：B
解析：由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，
若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
则甲胜出的概率为，则甲应该分得赌金的，
所以枚，乙分得赌金枚.
故选：B.
8．答案：B
解析：依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B.
9．答案：BC
解析：曲线表示圆在x轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为，
故选：BC.
10．答案：BC
解析：若,有,解得或1.
11．答案：ABD
解析：由，得，即，
，，则，当且仅当，即，时等号成立，
所以有，A选项正确；
由，有，
当且仅当，即，时等号成立，所以有，B选项成立；
由，有，，，则，
，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误；
由，有，
，
当且仅当，即，时等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
12．答案：216
解析：由题意，，在函数的图像上，若点坐标为，的纵坐标为，的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，.
故答案为：216.
13．答案：112
解析：展开式的通项公式,
令可得,,
则项的系数为.
故答案为:112.
14．答案：
解析：因为直线与直线相互平行，所以即解得.
15．答案：(1)84
(2)24
(3)64
解析：(1)从9件产品中抽取3件产品共有种;
(2)从9件产品中抽取3件产品,其中一等品、二等品、三等品各1件有种;
(3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”,
因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由条件得,即,则,
则,,
解得,,,
所以椭圆E的方程为.
(2)由题意可知：,,则,且直线与椭圆必相交,
若直线的斜率不存在,可知,
联立方程,解得,
不妨取,,则,,
可得,不合题意;
若直线的斜率存在,设直线,,
则,,
与椭圆联列方程得,消去y得,
可得,,
则
,
可得,解得
所以直线的方程为;
综上所述：直线的方程为.
17．答案：（1），
（2）证明见解析
解析：（1）若是等差数列，
则是一个与n无关的常数，
所以，即.
所以，时，数列是等差数列.
（2）因为，
所以，
所以是一个与n无关的常数，所以是等差数列.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）从中任取1个球，取得红或黑球的概率.
（2）从中任取2个球，样本点总数，
至少1个红球包含的样本点个数，
所以至少1个红球的概率.
（3）从中任取2个球，样本点的总数，
至多1个红球包含的样本点个数，
所以至多1个红球的概率.
19．答案：（1）1365
（2）
（4）性质①不能推广，理由见解析；
性质②能推广，它的推广形式是，，m是正整数，证明见解析
解析：（1）由题意，得.
（2）.
，当，即时，取得最小值.
（3）性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是，，m是正整数，证明如下：
当时，有.
当时，
.
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