2024-2025学年高一数学湘教版必修一单元检测：第3章函数的概念与性质
一、选择题
1．已知，则( )
A. B. C. D.
2．已知函数的定义域为R，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于a的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3．已知函数是奇函数，则( )
A. B.0 C.1 D.
4．设且，若函数是R上的奇函数，则( )
A. B. C. D.
5．已知函数，则的值为( )
A. B.2 C. D.
6．已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7．已知函数（且）是奇函数，则( )
A.2 B. C. D.
8．已知函数，若，则实数( )
A. B. C.1 D.3
二、多项选择题
9．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则( )
A.是奇函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是偶函数
10．已知函数对任意x，都有，且.则下列结论正确的是( )
A.为偶函数 B.若，则
C. D.若，则
11．设函数，存在最小值时，实数a的值可能是( )
A. B. C.0 D.1
三、填空题
12．若函数,且对于,恒有,则实数a的取值范围是_______________.
13．已知函数满足对任意，，都有成立，则a的取值范围是________.
14．设函数，若则________.
四、解答题
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有___________，且_____，那么函数叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有_________，且______________，那么函数叫做奇函数
定义域特征 关于___________对称
17．一般地，设函数的定义域为I，区间：
（1）如果，，当______时，都有________，那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是___________.
（2）如果，，当___________时，都有_______，那么就称函数在区间D上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是_______.
（3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的___________.
18．如图是函数的图象.列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值.
19．函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知得，
故选：C.
2．答案：B
解析：因为函数的定义域为R，为偶函数，所以，所以函数关于对称.
因为函数在为增函数，所以函数在为减函数.不等式等价于，
即或，令得到：或.
当时，无解.
当时，，解得：，
即，.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意可得：
，
若是奇函数，则，
即恒成立，则，解得，
若，则，
显然，且，即，
可知的定义域为R，关于原点对称，
此时为定义在R上的奇函数，即符合题意.
故选：A.
4．答案：A
解析：由于函数是R上的奇函数，
故，即，
故，即，，
因为，故，
故选：A.
5．答案：D
解析：，.
故选：D.
6．答案：C
解析：当时，由①，
得②，
①②联立，可得,
得③
把①代入③可得，即，
故，
故选：C.
7．答案：C
解析：的定义域为R，是奇函数，
所以，
即，
两边乘以得，
两边乘以得
，
不恒为，则恒为0，
由得恒成立，所以，
由于且，所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：函数，
，
，
，
当时，，
方程无解，即满足条件的a不存在，
当时，，解得.
.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对于A选项，因为且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误.
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确，
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误，
对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确，
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：选项A：因为，令可得，解得.令可得，所以，故为偶函数，A正确；
选项B：令可得，所以，B错误；选项C：令可得，C正确；
选项D：令可得，所以，所以，D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：因为，
若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；
若，则，此时，符合题意；
若，当时在上单调递减，
当时，
二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，
要使函数存在最小值，只需，解得，
综上可得.
故选：ABC.
12．答案：
解析：假设,由得：,
所以可得是单调减函数;
由在上单调递减,可得：,即;
由于是单调减函数,还需要满足,即;
综上可得：实数a的取值范围是;
故答案为：.
13．答案：
解析：由可知：为单调递减函数，
故，，且，
解得：，
则a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：或2
解析：令，则，当，，，
若，，，
若，，，，
当，，，（舍去）
故答案为：或2.
15．答案：（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
解析：（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为R，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
16．答案：；；；；原点
解析：
17．答案：；；增函数；；；减函数；单调区间
解析：
18．答案：答案见解析
解析：观察图象知，函数的递减区间是：，，，单调递增区间是，，
函数的最大值点是，最小值点是，
函数的最大值是，最小值是.
19．答案：（1），
（2）增函数，证明见解析
解析：（1）因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得.
经检验，当时，是上的奇函数，满足题意.
又，解得，
所以，.
（2）在上为增函数.证明如下：
在内任取，且，
则，
因为，，，，
所以，即，
所以在上为增函数.
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