专题11 线段与角中的动态问题
类型一 线段中的动点问题
1.如图，动点 P 从数轴上表示数-2的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点 Q从数轴上表示数1的点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动(设运动时间为 ts，P，Q两点之间的距离记为PQ).
(1)用含 t 的式子表示出t s后点 P 和点 Q 所表示的数；
(2)用含t的式子表示出 ts后OP 和OQ的长;
(3)用含 t 的式子表示出t s后点 P 和点 Q 之间的距离；
(4)若OQ=2OP,求 t 的值;
(5)若 PQ=31,求 t 的值.
2.如图,P 是线段AB上一点,AB=18cm,C,D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA 向左运动，到达点A 处即停止运动.
(1)若点 C,D 的速度分别是1cm/s,2cm/s.
①当动点C，D运动了2s，且点 D 仍在线段PB 上时,AC+PD= cm;
②若点 C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点,则AP: PB= .
(2)若动点C,D的速度分别是 1 cm/s,3 cm/s,点C,D 在运动时,总有 PD=3AC,求AP的长度.
3.如图①,线段 AB 长为 24个单位长度,动点 P从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M为AP 的中点，设点 P 的运动时间为x+s.
(1)P 在线段AB上运动,当PB=2AM时,求x 的值.
(2)当 P 在线段AB 上运动时,求 2BM-BP的值.
(3)如图②,当 P 在AB 延长线上运动时,N为BP 的中点，MN 的长度是否发生变化 若不变，求出 MN 的长度；若变化，请说明理由.
类型二 角中的动态问题
4.如图，图①是一副三角尺拼成的图案(所涉及的角度均小于或等于 180°).
(1)∠EBC 的度数为 °.
(2)将图①中的三角尺 ABC 绕点 B 旋转一定的角度 ,能否使∠EBC=2∠ABD 若能，求出α的值；若不能，说明理由(图②、图③供参考备用).
5.如图①,已知∠AOB=60°,OM 平分∠AOB.
(1)∠BOM 的度数为 ;
(2)若在图①中画射线OC,设∠BOC=α,ON平分∠BOC，用含α的代数式表示∠MON的大小；
(3)如图②,若线段 OA 与 OB 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60°，在时针与分针转动过程中，OM 始终平分∠AOB，求经过多少时间后，∠BOM的度数第一次等于 45°.
1.解:(1) ts后点 P 表示的数为-2—2t,点 Q 表示的数为1+5t.
(2)OP=2+2t,OQ=1+5t.
(3)PQ=1+5t+2+2t=3+7t.
(4)由OQ=2OP,得1+5t=2(2+2t),解得t=3.
(5)由 PQ=31,得7t+3=31,解得t=4.
2.解:(1)①12 ②1: 2
(2)设运动时间为 ts,则 PC═t cm,BD═3t cm,所以 BD═3PC.因为PD=3AC,所以PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP,所以
3.解:(1)因为点P 的运动时间为 xs,所以AP=2x.因为M是线段 AP 的中点，所以 24-2x,因为PB=2AM,所以24-2x=2x,解得x=6.
(2)因为AM=x,BM=24-x,PB=24--2x,所以2BM—BP=2(24-x)-(24-2x)=24,即2BM-BP 为定值24.
(3)MN 的长度不变化,因为 PA=2x,所以 PB=AP—AB=2x-24,因为 N 为 BP 的中点,所以 x--12.所以MN=PM-PN=x-(x-12)=12.
4,解:(1)150
(2)能.分以下两种情况：①逆时针旋转时，因为∠ABC=60°，∠EBD=90°,∠ABD=α,所以∠EBC=∠EBD+∠ABC=∠ABD=2∠ABD,即 解得α=50°.②顺时针旋转时，当 时，有 解得α=150°，不符合题意，舍去；当 时，有 ,解得a=70°.综上所述,α的值为50°或70°.
5、解:(1)30°
(2)①当OC 在 OB 的下方时,如图①—1 所示.因为 OM平分∠AOB,ON 平分∠BOC,所以∠AOM=∠BOM= 所以 ②当OC在OB 的上方且∠BOC<60°时,如图①—2所示,∠MON= ③当 OC 在 OB 的上方且∠BOC>60°时,如图①—3 所示,∠MON=∠BON— 综上，∠MON 的度数为 或 或
(3)因为∠BOM=45°,OM平分∠AOB,所以∠AOB=90°.设经过t分钟,60+6t-0.5t=90,解得 所以经过 分钟时，∠BOM的度数第一次等于45°
