2024-2025学年河北省衡水市故城县郑口中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.高三某班人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了人的考试成绩如下：，，，，，，，，则这组数据的中位数与分位数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，且，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球缺如图，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为取( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为
10.如图，在等腰梯形中，，，为中点，将沿折起，使点到达的位置点不在平面内，连接，如图，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. 平面
B.
C. 存在某个位置，使平面
D. 与平面所成角的取值范围为
11.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B. 点是函数的一个对称中心
C. 在上为增函数 D. 方程仅有个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ______．
13.甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为，乙队体重的平均数为，方差为，又已知甲、乙两队的队员人数之比为：，那么甲、乙两队全部队员的方差等于______．
14.如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的图象的对称中心和对称轴；
当时，求的最值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为．
求；
若，且的周长为，设为边中点，求．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，．
Ⅰ求三棱锥的体积；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ设点在棱上，，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知定义域为的函数满足对任意，，都有
求证：是奇函数；
设，且时，
求证：在上是减函数；
求不等式的解集．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：由题意，得．
令，解得，
所以函数的对称中心为．
令，，
所以函数的对称轴方程为；
当时，，
所以，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为．
16.解：依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
17.Ⅰ解：因为，，，
所以，
因为平面，
所以三棱锥的体积．
Ⅱ证明：因为平面，平面，
所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
Ⅲ解：过点作于，取的中点，连接，，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，，
所以在平面上的投影为，
因为，且是的中点，所以，
所以，
所以是二面角的平面角，
因为，，是的中点，所以是的中点，，
又，所以是的中点，，
在中，，
所以，
即二面角的正弦值为．
18.解：取，可得，取，可得．
取，，可得．
是奇函数．
是奇函数，是偶函数，
由可得有
设，则，时，可得．
在上是减函数；
是偶函数且在上是减函数，不等式的解集．
或或
不等式的解集为．
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