（4）万有引力与航天——2025高考物理一轮复习易混易错专项复习
一、易错点分析
1. 对第一宇宙速度的理解误区
（1）第一宇宙速度是能成为地球卫星的最小地面发射速度，也是所有地球卫星在轨飞行的最大运行速度。
（2）第一宇宙速度的推导有两种方法：
①由，得
②由，得
2. 星球内部重力加速度的巧妙求解
在星球球壳内一定深度处，外部的均匀球壳对该处物体的万有引力可以看成零，解决此类问题，忽略球壳影响，确定M和R，得出计算式。M表示该星球的有效质量(去掉球壳的质量)，R表示有效质量星球中心到该物体几何中心的距离。此时有效质量比该星球的全部质量要小，而两物体之间的距离也减小了，但质量的减小对该处的重力加速度的影响比较大，所以该处的重力加速度将变小。如:矿井内的重力加速度会变小，主要是由于有效质量M变小。
3. 与卫星运动有关的几组易混概念
（1）两个半径——天体半径和卫星轨道半径
在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小。卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径。一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径。当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径。
（2）两种周期——自转周期和公转周期
自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，例如：地球自转周期为24小时，公转周期为365天。在应用中要注意区别。
二、易错训练
1.如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知在一条直线上，且相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m。则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为( )
A. B. C. D.
2.与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，则( )
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=
3.对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是( )
A.开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动
B.开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越小
C.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直
D.开普勒第三定律中，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值相同
4.宇航员在绕地球运行的空间站内，发现有支铅笔处于漂浮状态。关于空间站和铅笔，下列说法正确的是( )
A.空间站离地球越远，受到的地球对它的万有引力越小
B.铅笔处于完全失重状态，不受地球对它的万有引力作用
C.铅笔在空间站中的质量比在地球上时小
D.铅笔处于漂浮状态，说明它所受合力为零
5.“嫦娥六号”任务是中国探月工程四期新阶段首次登月任务，也是人类首次月球背面采样返回任务。“嫦娥六号”探测器由组合体M与组合体N构成，探测器在圆形环月轨道Ⅰ飞行期间，M和N在P点分离，M继续在Ⅰ轨道环月飞行，N通过变轨进入椭圆轨道Ⅱ，以下说法正确的是( )
A.M在Ⅰ轨道环月飞行的速度大于月球的第一宇宙速度
B.M在Ⅰ轨道飞行的周期大于N在Ⅱ轨道飞行的周期
C.M和N分离后，N需要点火减速进入Ⅱ轨道
D.N在Ⅱ轨道从远月点无动力飞行到近月点的过程中速度减小
6.2024年6月6日我国第二次完成月球轨道的交会对接，经考查已知月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，月球可视为均匀球体，引力常量为G.根据以上信息能求出的物理量是( )
A.月球的质量 B.地球的质量 C.月球的半径 D.月球的第一宇宙速度
7.中国预计将在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示是探测器奔月的示意图，探测器发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于该探测器，下列说法正确的是( )
A.在绕地轨道中，三个轨道的公转半长轴的三次方与公转周期的二次方之比都相等
B.发射时的速度必须达到第二宇宙速度
C.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度小于其在轨道Ⅱ经过Q点时的速度
D.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度等于其在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度
8.各行星绕太阳的运动可以近似看做匀速圆周运动，其中火星的轨道半径约为，地球的轨道半径约为，忽略行星自转及行星间引力，火星和地球绕太阳公转时，下列说法正确的是( )
A.火星周期大于地球周期
B.火星角速度大于地球角速度
C.火星线速度大于地球线速度
D.火星的向心加速度小于地球的向心加速度
9.2024年1月11日，我国在酒泉卫星发射中心使用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“天行一号”02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。“天行一号”02星的定位过程可简化为如图所示的情境，椭圆轨道1为变轨的轨道，圆形轨道2为正常运行的轨道，两轨道相切于P点，Q点在地面附近，是轨道1的近地点，若不考虑大气阻力的影响，则下列说法正确的是( )
A.卫星在轨道1上P点的加速度小于卫星在轨道2上P点的加速度
B.卫星在轨道1上的P点需要加速进入轨道2
C.卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于其经过P点时的速度
D.卫星在轨道1上运行的周期大于在轨道2上运行的周期
10.如图甲所示，一长为L的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，忽略空气阻力的影响，小球通过最高点时，速度平方与绳对小球的拉力F的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是( )
A.利用该装置可以得出重力加速度g，且
B.仅增加轻绳的长度，得到的图线斜率变小
C.仅增加小球的质量，得到的图线斜率变大
D.仅改变小球的质量，图线a点的位置不变
答案以及解析
1.答案：B
解析：根据题意可知被挖出的小球体的体积为原球体的，质量也为原球体的，则原球体质量为8m。根据割补法可知，没挖之前球对质点的引力减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为
故B正确，A、C、D错误。
故选B。
2.答案：D
解析：A.根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
B.根据
小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
C.根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比
故C错误；
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比
≈
故D正确。
故选D。
3.答案：B
解析：开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动，也适合于宇宙中其他天体的运动，故A错误;开普勒第二定律表明，行星绕太阳运动时，行星离太阳越远，速度越小，故B正确;所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，行星运动的方向总是沿轨道的切线方向，C错误;k值与中心天体的质量有关，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同，故D错误。
4.答案：A
解析：A.由万有引力公式
可见空间站离地球越远，受到的地球对它的万有引力越小，故A正确;
BD.铅笔所受地球引力全部充当向心力，使其处于完全失重状态而漂浮，故BD错误;
C.质量可看作是物本身的固有属性，不随位置和运动状态变化，故铅笔的质量不变，故C错误;
故选A。
5.答案：BC
解析：A.第一宇宙速度为最小的发射速度和最大的环绕速度，所以，M在Ⅰ轨道环月飞行的速度一定小于月球的第一宇宙速度，故A错误;
B.根据开普勒第三定律
M在Ⅰ轨道飞行的轨道半径大于N在Ⅰ轨道飞行半长轴，所以，M在Ⅰ轨道飞行的周期大于N在Ⅰ轨道飞行的周期，故B正确;
C.M和N分离后，N在P点做向心运动，故需要点火减速进入Ⅱ轨道，故C正确;
D.N在五轨道从远月点无动力飞行到近月点的过程中引力做正功，所以N的动能增加，速度增大，故D错误。
故选BC。
6.答案：ACD
解析：ACD.根据题意，设月球的质量为M，半径为R，在月球表面有
又有
联立解得
由万有引力提供向心力有
解得月球的第一宇宙速度
故ACD符合题意；
B.题干中没有月球绕地球的信息，无法求解地球的质量，故B不符合题意。
故选ACD.
7.答案：AD
解析：A.根据开普勒第三定律可知，在绕地轨道中，三个轨道的公转半长轴的三次方与公转周期的二次方之比都相等，故A正确;
B.若发射时的速度达到第二宇宙速度，则该卫星将挣脱地球引力的束缚，成为一颗绕太阳运动的行星，故发射时的速度没有达到第二宇宙速度，故B错误;
C.卫星在轨道Ⅲ需要向前喷气减速到轨道Ⅱ，故卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度大于其在轨道Ⅱ经过Q点时的速度，故C错误;
D.在Q点时的万有引力大小相同，根据牛顿第二定律可得卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度等于其在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度，故D正确。
故选AD。
8.答案：AD
解析：根据
可得
因火星轨道半径大于地球轨道半径，可知火星周期大于地球周期；火星角速度小于地球角速度；火星线速度小于地球线速度；火星的向心加速度小于地球的向心加速度。
故选AD。
9.答案：BC
解析：A.无论是在轨道1还是轨道2上运行，02星都是只受地球的万有引力作用，由牛顿第二定律有
可得加速度大小
可知在同一位置，卫星的加速度大小相等，A错误；
B.卫星在轨道1上的P点如果不加速，会继续沿椭圆轨道运动，在P点需要加速可以使
在轨道2做匀速圆周运动，B正确；
C.卫星在椭圆轨道1上经过Q点时的速度是近地点速率大于远地点速率即经过P点时的速度，C正确；
D.根据开普勒第三定律，轨道1的半长轴小于轨道2的轨道半径，可知卫星在轨道1上运行的周期小于在轨道2上运行的周期，D错误。
故选BC。
10.答案：AD
解析：A.根据
可得
由图可知
可得
选项A正确；
BC.图像的斜率为
可知，仅增加轻绳的长度，得到的图线斜率变大；仅增加小球的质量，得到的图线斜率变小，选项BC错误；
D.因点的位置坐标为gL，则仅改变小球的质量，图线a点的位置不变，选项D正确。
故选AD。
