长沙市明德中学2024年下学期高二入学检测
数学
2024.09
命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
时量：120分钟 满分150
一 单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数（为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最大值是8 B.函数的最小值是8
C.函数的最大值是 D.函数的最小值是
4.在中，点是的中点，.设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，角与角绕顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有.则给出下列命题：
①；
②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数：
④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）
9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A.这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有100人
B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
10.在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ）
A.若，则是锐角三角形
B.若，则有唯一解
C.若是锐角三角形，，设的面积为，则
D.若是锐角三角形，则
11.如图，在棱长为5的正方体中，M是侧面上的一个动点，点P为线段上，且，则以下命题正确的是（ ）
A.沿正方体的表面从点到点的最短距离是
B.保持PM与垂直时，点M的轨迹长度为
C.若保持，则的轨迹长度为
D.平面被正方体截得截面为等腰梯形
三 填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的__________.条件（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.
13.已知函数对任意两个不相等得实数，都有成立，则实数的取值范围为__________.
14.已知，记，有下面四个结论：
①若，则的最大值为；
②若，则的最小值为；
③若，则的最大值为1；
④若，则的最大值为.
则错误结论的序号是__________.
四 解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求；
16.记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
17.如图所示，在长方形中，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
18.象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋 国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲 乙 丙 丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲-乙 丙-丁
第二轮 甲-丙 乙-丁
第三轮 甲-丁 乙-丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲 乙 丙3名同学水平相当，彼此间胜 负 平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜 负 平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立.
（1）求丁同学的总分为5分的概率；
（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙 丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
19.对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.
（1）若集合，求集合相对的“余弦方差”；
（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求的值.
