湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5.2×108 B．5.2×109 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣8
2．（3分）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ）
A．10 B．35 C．55 D．75
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，若AB+BC＝14cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．14cm B．20cm C．24cm D．28cm
4．（3分）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤
5．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm
8．（3分）如图，已知点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分式方程的解是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 cm2．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是x＝0，则另外一个根是 ．
14．（3分）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝2，则BD的长为 ．
16．（3分）如图，在坐标平面内， OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算：．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）x2﹣4＝2（x+2）．
19．（6分）直线y＝x+2和直线y＝﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．求△ABC的面积．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题：
捐款（元） 20 50 100 150 200
人数（人） 4 8 n 2 1
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）学生捐款数目的众数是 元，中位数是 元，平均数是 元；
（3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝5，求BC的长．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．
23．（10分）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
24．（10分）【问题提出】已知：点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
【解决问题】
（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段BE，DF，EF之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）已知BE＝6，DF＝4，求正方形ABCD的面积．
【思维拓展】如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，∠MAN＝45°．若CN＝24，MN＝26，求BM的长．
25．（10分）已知点M（m，﹣m）、A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，其中m＜0，x1＜m＜x2．
（1）求m的值；
（2）若直线AB经过点（﹣1，3），且△AMB的面积为3，求直线AB的解析式；
（3）当x1≤x≤x2时，记二次函数y＝x2的最大值为P，最小值为Q，若x2﹣x1＝3，求P﹣Q的取值．
湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5.2×108 B．5.2×109 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣8
【答案】C
2．（3分）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ）
A．10 B．35 C．55 D．75
【答案】A
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，若AB+BC＝14cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．14cm B．20cm C．24cm D．28cm
【答案】D
4．（3分）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤
【答案】B
5．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
6．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
【答案】D
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm
【答案】A
8．（3分）如图，已知点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分式方程的解是 x＝3 ．
【答案】x＝3．
12．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 8 cm2．
【答案】8．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是x＝0，则另外一个根是 2 ．
【答案】2．
14．（3分）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 ．
【答案】．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝2，则BD的长为 4 ．
【答案】4．
16．（3分）如图，在坐标平面内， OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是 4≤m≤8 ．
【答案】4≤m≤8．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算：．
【答案】8﹣．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）x2﹣4＝2（x+2）．
【答案】（1），；
（2）x1＝﹣2，x2＝4．
19．（6分）直线y＝x+2和直线y＝﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．求△ABC的面积．
【答案】△ABC的面积为9．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题：
捐款（元） 20 50 100 150 200
人数（人） 4 8 n 2 1
（1）m＝ 40 ，n＝ 5 ；
（2）学生捐款数目的众数是 50 元，中位数是 50 元，平均数是 74 元；
（3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？
【答案】（1）40，5；（2）50，50，74；（3）111000元．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝5，求BC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．
【答案】（1）且m≠0；
（2）m＝2
23．（10分）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】（1）A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．
24．（10分）【问题提出】已知：点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
【解决问题】
（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段BE，DF，EF之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）已知BE＝6，DF＝4，求正方形ABCD的面积．
【思维拓展】如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，∠MAN＝45°．若CN＝24，MN＝26，求BM的长．
【答案】（1）EF＝BE+DF；
（2）144；
（3）10．
25．（10分）已知点M（m，﹣m）、A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，其中m＜0，x1＜m＜x2．
（1）求m的值；
（2）若直线AB经过点（﹣1，3），且△AMB的面积为3，求直线AB的解析式；
（3）当x1≤x≤x2时，记二次函数y＝x2的最大值为P，最小值为Q，若x2﹣x1＝3，求P﹣Q的取值．
【答案】（1）m＝﹣1；
（2）直线AB的解析式为y＝﹣x+2或y＝﹣3x；
（3）2.25≤P﹣Q＜15．
