湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验学校2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5或 D．7或25
4．（3分）在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为（ ）
A．81、82、81 B．81、81、76.5
C．83、81、77 D．81、81、81
5．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
6．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（﹣5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（﹣3，0）
C．（，0）
D．不能确定，与a的值有关
7．（3分）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
8．（3分）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
9．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将直线y＝﹣x﹣5向上平移5个单位，得到直线 ．
12．（3分）甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是 ．（填甲或乙）．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连接BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为 ．
14．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，5），则不等式2x＜ax+4的解集为 ．
15．（3分）设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝ ．
16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）解方程
①x2﹣x﹣12＝0
②2x2﹣4x﹣5＝0．
18．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
20．（8分）学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．
李文和孔明两位同学的各项成绩如下表：
项 目 选 手 形 象 知识面 普通话
李 文 70 80 88
孔 明 80 75 x
（1）计算李文同学的总成绩；
（2）若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少分？
21．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
23．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2﹣1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
25．（10分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）点A（2，6）的“坐标差”为 ；
（2）求抛物线y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；
（3）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；
（4）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验学校2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5或 D．7或25
【答案】D
4．（3分）在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为（ ）
A．81、82、81 B．81、81、76.5
C．83、81、77 D．81、81、81
【答案】D
5．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
6．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（﹣5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（﹣3，0）
C．（，0）
D．不能确定，与a的值有关
【答案】A
7．（3分）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【答案】D
8．（3分）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】D
9．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将直线y＝﹣x﹣5向上平移5个单位，得到直线 y＝﹣x ．
【答案】见试题解答内容
12．（3分）甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是 甲 ．（填甲或乙）．
【答案】见试题解答内容
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连接BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为 10 ．
【答案】见试题解答内容
14．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，5），则不等式2x＜ax+4的解集为 x＜ ．
【答案】x＜．
15．（3分）设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝ 2 ．
【答案】2．
16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为 2或﹣6.5
【答案】见试题解答内容
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）解方程
①x2﹣x﹣12＝0
②2x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】见试题解答内容
18．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
【答案】（1）y＝x+1；
（2）1．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
【答案】（1）k≤．
（2）k＝﹣1．
20．（8分）学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．
李文和孔明两位同学的各项成绩如下表：
项 目 选 手 形 象 知识面 普通话
李 文 70 80 88
孔 明 80 75 x
（1）计算李文同学的总成绩；
（2）若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少分？
【答案】见试题解答内容
21．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
22．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
23．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣x+80（40＜x＜80）；
（2）当销售单价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是400元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 √ ；②y＝x2﹣1 √ ；③y＝x2+4 × ．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】（1）①√；
②√；
③×；
（2）；
（3）1或3+．
25．（10分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）点A（2，6）的“坐标差”为 4 ；
（2）求抛物线y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；
（3）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；
（4）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【答案】（1）4（2）8
