2024-2025学年湖南省益阳市沅江市新湾中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，平分，平分，则的大小是( )
A. B. C. D.
2.如图，矩形中，对角线，交于点，如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，求( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是( )
A. B.
C. D. ≌
5.如图，在等腰中，，，是外一点，到三边的垂线段分别为，，，且：：：：，则的长度为( )
A. B. C. D.
6.在 中，已知，平分交边于点，点将分为：两部分，则的长为( )
A. 或 B. C. D. 或
7.如图，在中，，，为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，点为矩形的对称中心，，点从点出发不含点沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为( )
A. 平行四边形菱形正方形矩形
B. 平行四边形正方形菱形矩形
C. 平行四边形菱形平行四边形矩形
D. 平行四边形正方形平行四边形一矩形
10.如图，矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接，，下列结论：
；
；
；
；
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一个三角形的两边长为和，则第三边的取值范围是______．
12.如图，在中，，，是高，是角平分线，则______度．
13.如图，五边形是正五边形．若，则______．
14.如图，，与相切于，两点，点在上，若，则______
15.如图，若≌，，，则的长度是______．
16.如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的坐标为______．
17.如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，则的周长为______．
18.如图，已知，，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，将线段绕着点顺时针旋转，点落在点处，连接，，若是以为底的等腰三角形，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，中，是的角平分线，是边上的高，若，．
求的度数；
试写出与、的之间的关系式．不必证明
20.本小题分
如图，是的中线，是的中线．
在中作边上的高．
若的面积为，，则点到边的距离为多少？
21.本小题分
如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点与相交于点．
若，求的周长．
若，求的度数．
22.本小题分
已知：中，图中、的平分线相交于，图中、的外角平分线相交于．
若，______，______
若，试用表示和．
23.本小题分
如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，
如图求证：四边形是平行四边形；
如图若平分，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于的线段不包括
24.本小题分
【问题发现】如图，与中，，，、、三点在同一直线上，，，则______．
【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积．
【问题解决】如图，四边形中，，面积为且的长为，求的面积．
25.本小题分
如图，点为正方形边上的一点，连接，点是线段上的一个动点不与点，重合，直线交直线于点．
如图，当时，用等式表示，之间的数量关系，并证明；
如图，当时，
补全图形；
用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为；
根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：，，
平分，平分，
，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，
，
，
．
故的度数是．
故选：．
连接，由三角形内角和外角的关系可知，由四边形内角和是，即可求．
本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．
4.【答案】
【解析】解：沿直角边所在直线向右平移到
≌
，
所以只有选项A是错误的，故选A．
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以与的形状和大小完全相同，即≌．
本题涉及的是全等三角形的知识；解答本题的关键是应用平移的基本性质．
5.【答案】
【解析】解：连接，，
：：：：，
设，则，
，，
平分，
，
，
，
点、、三点共线，
，
在中，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
解得：，
，
，
故选：．
连接，，根据已知可设，则，从而可得平分，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得点、、三点共线，进而可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用面积法进行计算可求出的长，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
点将分为：两部分，
或，
当时，；
当，；
故选：．
由平行四边形的性质和角平分线得出，再由已知条件得出或，分别求出即可．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于，
又在中，，，
，
由题意，
，
，
所以点到的距离是．
故选：．
如图，过点作于，于，利用面积法求解即可．
本题考查图形的翻折，利用了：、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；、平行线和相似三角形判定和性质求解．
8.【答案】
【解析】解：、由作图可知，，
，本选项不符合题意；
B、由作图可知，，
，，
，本选项不符合题意；
C、由作图可知，点在线段的垂直平分线上，
，
，
，本选项不符合题意．
D、无法判断，．
故选：．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况．
【解答】
解：连接．
点为矩形的对称中心，
经过点，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，，
≌，
，，
，
，，
又，
≌，
，故正确；
，，
垂直平分，故正确；
，
，
又，，
≌，
，故正确，
综上所述：正确的结论有，共个，
故选：．
由等腰直角三角形的性质可得，可证，故正确；由“”可证≌，可得，故正确；可证垂直平分，故正确；由“”可证≌，可得，故正确．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：三角形的两边长分别为、，
第三边的取值范围是则．
故答案为：．
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作直线，
，
，
，，
正五边形的内角度数为：，
．
故答案为：．
过点作直线，利用平行线的性质推导出，，两个式子相加即可．
本题主要考查了多边形内角和公式及平行线的性质，解题的关键是过点拐点作平行线辅助线．
14.【答案】
【解析】解：连接、，
、是切线，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接、，根据切线的性质得到，进而得到，根据圆周角定理得出，求出的度数．
本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：≌，，，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解决问题的关键．先根据一次函数的解析式，可以求得点和点的坐标，过作于，证明是等腰直角三角形，再根据其性质利用证明≌，可得，根据勾股定理求出长，继而可得长，由此易得点的坐标．
【解答】
解：一次函数与坐标轴交于、两点，
中，令，则；令，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
过作于，则是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
中，，
，
，
，
故答案为
17.【答案】
【解析】解：延长交于点，延长交于点，
是的平分线，
．
，
．
在与中，
，
≌．
同理可得，≌，
，，，．
在与中，
，
≌，
．
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
延长交于点，延长交于点，根据定理可得≌，≌，再由定理得出≌，由全等三角形的对应边相等可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图所示．
点的坐标为，点的坐标为，为等腰三角形，
点的纵坐标为，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
点的坐标为．
直线与轴正半轴交于点，
，
解得：，
的值为．
故答案为：．
过点作轴于点，易证≌，利用全等三角形的性质，可求出的长，进而可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及坐标与图形变化旋转，利用全等三角形的判定定理，证出≌是解题的关键．
19.【答案】解：，，
平分
是边上的高
．
【解析】本题求的是的度数，由图示知，又由角平分线定义得，然后利用内角和定理，分别求出与即可．
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．
20.【答案】解：如图所示：
是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
的面积是，
，
，
．
即点到边的距离为．
【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是，再利用三角形的面积公式进而得到的长．
此题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质，关键是掌握中线把三角形的面积分成相等的两部分．
21.【答案】解：、分别垂直平分和，
，，
的周长；
，
，
，，
，
，
，，
，，
．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，、的平分线相交于，
，，
，
，，
，，
，
，
；
如图，、外角的平分线相交于，
，，
，
，，，
，，
，
即，
，
；
故答案为：；；
如图，、的平分线相交于，
，，
，
，，
，，
；
如图，、外角的平分线相交于，
，，
，
，，，
，，
，
即
由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解；由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解；
由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解；由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解．
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的关系式解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
≌，
，
同理
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
平分
，且四边形是平行四边形
四边形是菱形
【解析】由可证≌，可得，同理可得，即可得结论；
通过证明四边形是菱形，可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
24.【答案】解：；
过作交延长线于，如图：
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
过作于，过作交延长线于，如图：
面积为且的长为，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
．
【解析】【分析】
由，得，可证明≌，即得，，故BE；
过作交延长线于，由，，得，即得，可证明≌，得，故；
过作于，过作交延长线于，由面积为且的长为，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明≌，从而，故．
本题考查全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形型全等．
【解答】
解：，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
故答案为：；
见答案；
见答案．
25.【答案】解：结论：．
理由：如图中，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
图形如图所示：
结论：．
理由：如图中，过点作交于点，则≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【解析】结论：证明≌，可得结论；
根据要求作出图形即可；
结论：如图中，过点作交于点，则≌，证明，，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
第1页，共1页
