2024年秋期九年级开学考试
数学试题
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2024 B．x＜2024 C．x≥2024 D．x≤2024
2．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝30° B．∠B+∠C＝120°
C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 D．AB＝AC＝1，BC
3．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ）
A．x＞0 B．﹣3＜x＜2 C．x＞2 D．x＞﹣3
（3题） （4题）
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．下列方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④ax2+bx+c＝0，⑤x2+2x＝x2﹣1中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2 D．（x﹣3）2＝7
7．关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．π
8．抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣6，5） B．（6，5） C．（6，﹣5） D．（﹣2，5）
9．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
10．如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
（10题） （15题）
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ．
12．在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50．则这8人体育成绩的中位数是 ．
13．已知x为实数，且满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝24，则x2+y2的值是 ．
14．将二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为
y＝﹣2（x﹣1）2+1，该函数图象不经过第 象限．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 ．
三．解答题（共75分）
16．计算：(8分)
（1）； （2）；
17．解下列方程：（12分）
（1）x2﹣3x﹣4＝0 （2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）
（3）x2﹣5x+1＝0 （4）（2x﹣1）2＝9．
18．（9分）已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
19．（9分）2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
20．（9分）已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．
求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积；
（3）点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
21．（9分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22．（9分）二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
23．（10分）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝10，对角线AC所在直线解析式为yx+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年秋期九年级开学考试数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2024 B．x＜2024 C．x≥2024 D．x≤2024
解：由题可知，
2024﹣x≥0，
解得x≤2024．
故选：D．
2．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝30° B．∠B+∠C＝120°
C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 D．AB＝AC＝1，BC
解：A．由∠A＝30°无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵AB＝AC＝1，BC，12+12＝1+1＝2，（）2＝3，
∴12+12≠（）2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ）
A．x＞0 B．﹣3＜x＜2 C．x＞2D．x＞﹣3
解：由图得，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣3，0）、B（0，2）两点，
∴，
得，b＝2，k；
∴不等式为x+2＞0，
解得，x＞﹣3．
故选：D．
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
5．下列方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④ax2+bx+c＝0，⑤x2+2x＝x2﹣1中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①是分式方程，故①不是一元二次方程；
②2x2﹣5xy+y2＝0中含有两个未知数，故②不是一元二次方程；
③7x2+1＝0符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程；
④ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程化为bx+c＝0，不含二次项，故④不是一元二次方程；
⑤将x2+2x＝x2﹣1整理得：2x＝﹣1，不含二次项，故⑤不是一元二次方程．
综上，只有③是一元二次方程．
故选：A．
6．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7
C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
解：x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
（x+3）2＝10，
故选：A．
7．关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．π
解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1，
∴c的值不能为﹣1．
故选：A．
8．抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣6，5） B．（6，5） C．（6，﹣5） D．（﹣2，5）
解：抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标是（﹣6，5）．
故选：A．
9．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
解：∵抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度，
∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+2．
故选：C．
10．如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
解：由图2可得：
当x＝0时，y＝6，
∴当点P的运动距离为0时，DP的长为6，
∴当AP＝0时，AD＝DP＝6，
由图2可得：
当x＝a时，y最大＝a+2，
∴当点P的运动距离为a时，DP的值最大，最大为6，
∵当点P运动到和点B重合时，DP的值最大，
∴AB＝a，BD＝a+2，
在Rt△ADB中，AD2+AB2＝DB2，
∴36+a2＝（a+2）2，
∴a＝8，
∴AB＝8，
∵点P为AB的中点，
∴APAB＝4，
∴DP2，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50．则这8人体育成绩的中位数是 48.5 ．
解：；∵把小芳所在小组8人的成绩分别是：从小到大排列为：46，47，48，48，49，49，49，50，
∴这8人体育成绩的中位数是（48+49）÷2＝48.5，
故答案为：48.5．
12．已知x为实数，且满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝24，则x2+y2的值是 6 ．
解：设x2+y2＝z，原方程等价于z2﹣2z﹣24＝0．
解得z＝6或z＝﹣4（不符合题意，舍），
x2+y2＝6，
故答案为：6．
13．将二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝﹣2（x﹣1）2+1，该函数图象不经过第 二 象限．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1，
∴函数图象经过第一四象限，
令x＝0，则y＝﹣1，
所以，函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
所以，函数图象经过第三象限，
所以，该函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 2PD ．
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1＝BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，
∴P1P2∥EC且P1P2CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CF且P1PCF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，
∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，
∴∠P2P1D＝90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD＝CP1＝DE＝2，
∴DP1＝2，CE＝2，
∴P1P2，
∴DP2，
故答案为：2PD．
三．解答题（共9小题）
15．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ﹣2 ．
解：由题意得：2x+7≥0，
解得：x≥﹣3.5，
当x＝﹣3时，二次根式为1，不是最简二次根式，
当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，
则x可取的最小整数是﹣2，
故答案为：﹣2．
16．计算：
（1）；
（2）；
解：（1）
＝（2）2﹣（3）2
＝20﹣18
＝2；
（2）
；
17．解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）
（3）x2﹣5x+1＝0
（4）（2x﹣1）2＝9．
解：（1）（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣1；
（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
x﹣2＝0或3x+2＝0，
所以x1＝2，x2；
（3）△＝52﹣4×1×1＝21，
x，
所以x1，x2；
（4）2x﹣1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
18．已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
解：（1）∵函数y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数，
∴m2+4m﹣3＝2，m+3≠0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1，
∴m的值为﹣5或1；
（2）∵函数图象的开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣3，
∴当m＝1时，该函数图象的开口向上；
（3）∵当m+3＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，
∴m＜﹣3，
又∵m＝﹣5或1，
∴当m＝﹣5时，该函数有最大值．
19．2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
解：（1）设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
（2）设A种食材购买x千克，则B种食材购买（36﹣x）千克，
根据题意，x≥2（36﹣x），
解得：x≥24，
设总费用为y元，根据题意，y＝38x+30（36﹣x）＝8x+1080，
∵8＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝24时，y最小，
∴最少总费用为8×24+1080＝1272（元），
答：当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元．
20．已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．
求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积；
（3）点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
解：（1）设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式得，，
解得，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+2．
（2）如图，连接OC，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵一次函数与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∴AF＝2，OC＝2，
∴S△AOC AF OC2×2＝2．
（3）∵DE⊥x轴，D（m，0），
∴E（m，m+2），
∴DE＝|m+2|＝6，
解得m＝﹣8或4．
∴m的值为4或﹣8．
21．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
10000×（1+x）2＝12100，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）；
答：捐款增长率为10%．
（2）12100×（1+10%）＝13310元．
答：第四天该单位能收到13310元捐款．
22．二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）
∴
解得m＝﹣2，n＝3
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）经过点B，
∴1+b＝0，
∴解得b
∴yx
设M（m，m），则N（m，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m）＝﹣m2m（m）2，
∴MN的最大值为．
23．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝10，对角线AC所在直线解析式为yx+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵AB＝10，四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝10，
∴点C的坐标为（0，10）．
将C（0，10）代入yx+b，得：100+b，
∴b＝10，
∴直线AC的解析式为yx+10．
当y＝0时，x+10＝0，解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴点B的坐标为（6，10）．
（2）在Rt△BCD中，BC＝6，BD＝AB＝10，
∴CD8，
∴OD＝OC﹣CD＝2．
设DE＝AE＝x，则OE＝6﹣x，
在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝22+（6﹣x）2，
∴x，
∴AE．
（3）存在，如图，作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．
由（2）可知：点E的坐标为（，0）．
∵点E，E′关于y轴对称，
∴点E′的坐标为（，0）．
设直线BE′的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将B（6，10），E′（，0）代入y＝kx+a，得：，
解得：，
∴直线BE′的解析式为yx．
当x＝0时，yx，
∴点P的坐标（0，）．
