2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷
一、单选题
1.下列判断正确的是（ ）
A. B.若，则
C. D.与是同类二次根式
2.下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（ ）
①；②；③；④.
A.① B.② C.③ D.④
3.如图（1），在一个边长为m的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（ ）
图（1） 图（2） 图（3）
A. B. C. D.
4.如图，在菱形中，，点E、F分别在边BC、CD上，不与各端点重合，且，连接BF、DE交于点M，延长ED到H，使，连接AM、AH，则以下四个结论：① ；② ；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，圆环中大圆的半径为r，小圆的半径为长，AB为大圆的直径，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S，则S关于t的大致函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
7.在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9.小强用一根长为的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
10.在，0，－1，这四个数中，最小的数是（ ）
A. B.0 C. D.－1
二、填空题
11.若，则______，______，______.
12.若，则的值为______.
13.如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______.
14.若，则______.
15.如图，一块含30°角的直角三角板ABC，，将其绕点A顺时针旋转得到，当B，A，在一条直线上时，顶点C所走的路径长为______.
16.如图，在中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，点F在AB上，且，，，则______°.
三、解答题
17.解方程
18.如图，已知：中，，，点D是的中点，点P是边上的一个动点.
图1 图2 图3 图4
（1）如图1，若点与点重合，连接，则与的位置关系是 ；
（2）如图2，若点在线段上，过点作于点，过点作于点，则，和这三条线段之间的数量关系是______；
（3）如图3，在（2）的条件下，若的延长线交直线于点，求证：；
（4）如图4，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作于点，过点作于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出点在运动的过程中的最大值.
19.在平面直角坐标系中，抛物线与直线l：交于，B两点，与y轴交于，对称轴为直线.
（1）请直接写出该抛物线的解析式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若，且，求点G的坐标；
（3）若在直线上有且只有一点P，使，求k的值.
20.如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
（1）画直线AB，射线BD，连接AC；
（2）在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
（3）过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹）
（4）请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据.
21.阅读下列两则材料，回答问题：
材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的“”去掉.例如：已知，求的值.
解：，
∵，∴
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离.
例如：.
所以可将代数式的值看作点到点的距离.
（1）利用材料一，解关于x的方程：，其中；
（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值.
22.如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点在轴上，点在轴上，点在抛物线上.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）正方形的顶点为直角坐标系原点，顶点在线段上，顶点在轴正半轴上，若与全等，求点的坐标.
（3）在条件（2）下，点是线段上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线翻折得到，连接，求长度的取值范围.
2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷
一、单选题
1.【答案】D
【分析】A选项采取作差法，即可得到答案；B选项考虑或；C选项考虑a，b的取值范围；D选项，先化简成最简二次根式，再判断是否为同类二次根式.
【详解】解：A. ；
∵
∴即：
∴，故此项错误；
B.若，则或，故此项错误；
C. 若，则，，选项未写条件，故此项错误；
D. ，与是同类二次根式，故此项正确；
故选D.
【点睛】此题考查了二次根式的意义及运算法则，实数的乘法与比较，正确掌握运算法则是解答此题的关键.
2.【答案】D
【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.
【详解】①，故①错误；
②无法计算，故②错误；
③，故③错误；
④，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
3.【答案】D
【分析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长.
【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：，宽为：，
∴周长为，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m、n的式子表示出长方形的长与宽，是解题的关键.
4.【答案】C
【分析】由题意易得△ABD是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④.
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴、都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
∵，
∴的面积等于四边形的面积，
∵是等边三角形，其面积为，
∴，故④错误；
综上所述：正确的个数有3个；
故选C.
【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.
5.【答案】D
【分析】根据圆的面积公式：，计算出半圆的面积，用大半圆的面积减小半圆的面积即可得出结果.
【详解】解：大半圆的面积为：；
小半圆的面积为：；
阴影部分的面积为： .
故选D.
【点睛】本题考查计算阴影部分的面积，有理数的混合运算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键.
6.【答案】C
【分析】分和两种情况，利用三角形的面积公式，可以表示出S与t的函数关系式，即可做出选择.
【详解】解：①当时，如图，
∵轴，为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
即，
故S与t之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向上的二次函数图像；
②当时，如图，，，
∴，
∴，
即，
∴故S与t之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向下的二次函数图像，
故选：C.
【点睛】本题考查三角形的面积公式、二次函数图像特征、解直角三角形、60°角的正切值，正确列出函数关系式，掌握二次函数图像是解答的关键，注意实际问题的图像只是一部分.
7.【答案】D
【分析】首先根据题意列出表格，由列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可得出答案，注意此题属于放回实验.
【详解】解：根据题意列出表格：
红1 红2 白
红1 （红1，红1） （红2，红1） （白，红1）
红2 （红1，红2） （红2，红2） （白，红2）
白 （红1，白） （红2，白） （白，白）
根据列表法可知：
所有等可能的结果共有9种，
其中两次都摸到红球的有4种，
所以两次都摸到红球的概率是，
故选D.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
8.【答案】D
【分析】过作，垂足为E，连接，易证AC、AD分别是，的直径，根据垂径定理可得，进而易证是等边三角形，在中，利用正切求出AD，进而即可求解.
【详解】如图，过作，垂足为E，连接，
∵AC是的直径，
∴，
∴AD是的直径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD.
9.【答案】A
【分析】设矩形长为，则宽为，面积，利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积.
【详解】解：设矩形长为，则宽为， 面积.
，
，
由于，S有最大值，
当时，S最大是16.
所以矩形的最大面积是. 故答案为16.
【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式，再求二次函数最值.
10.【答案】D
【详解】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在，0，－1，这四个数中，最小的数是－1，故选D.
考点：正负数的大小比较.
二、填空题
11.【答案】 ±8， ±2， 4
【分析】把右边的式子展开，和右边的式子对比，利用对应系数相等求得答案解决问题.
【详解】，
∴，；
；
.
故答案为±8；±2；4.
【点睛】考查完全平方公式的运用，在变形的过程中不要改变式子的值.
12.【答案】
【分析】根据，得到，然后根据完全平方公式，及算术平方根进行计算即可.
【详解】∵
∴
∵
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了完全平方公式，及算术平方根的使用，熟知此知识点是解题的关键.
13.【答案】
【分析】设，则，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、，进而说明为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.
【详解】解：设，则∵正方形
∴，
同理：，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明是直角三角形是解答本题的关键.
14.【答案】9
【分析】根据非负数的性质即可解答.
【详解】解：∵
∴，，
∴ ，，，
∴.
故答案为9.
【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a、b、c的值.
15.【答案】
【分析】得出点C经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，代入弧长公式计算即可.
【详解】：在中，
∵，
∴，
∵绕点C顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴点C经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，
∴顶点C所走的路径长为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B的运动路径是解题的关键.
16.【答案】80
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，对边相等可得，利用三角形的内角和定理求出，然后求出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解.
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
故答案为：80.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键.
三、解答题
17.【答案】，
【分析】先移项，再利用因式分解法进行求解即可.
【详解】解：移项得：，
提取公因式得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
∴，，
∴，.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.
18.【答案】（1）
（2）
（3）见解析
（4）4
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；
（2）利用证明，得，即可；
（3）由（2）同理可证.再利用证明，得；
（4）用两种方法表示的面积，可得，当时，最小，此时，可得答案.
【详解】（1）解：∵点是的中点，点与点重合，
∴，
故答案为：；
（2），
∵，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3），理由如下：
证明：∵，.
∴，，
∵，，
∴.
又∵，
∴.
∴，.
∵在等腰中，点是的中点，
∴
∵，
∴在和中，
∴，
∴；
（4）∵，
∴，，
由图形可知，，
∴.
当时，即：点与点重合，最小，此时.
∴的最大值为4.
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出是解决问题（4）的关键.
19.【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）抛物线与x轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，即可求解；
（2）分点G在点B下方、点G在点B上方两种情况，分别求解即可；
（3）由，则，即可求解.
【详解】解：（1）∵，两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为，
则函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）过点作轴交对称轴于点，设对称轴与轴交于点.
图1
∴，
又，则，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，则，则，
①若点在点下方，则过点作轴交于，则设点，，
图2
∴，
即：，，无解；
②若点在点上方，则过点作交轴于，则，
即：，则，则，
则可设直线的解析式为：，将代入得，.
∴直线的解析式为②，
联立①②并解得：或5（舍去0），
∴；
（3）分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，
图3
则，则，
直线的解析式为③，
联立①③并解得：或，
则点，
设：，则有两个相等实数根，
，
解得：（舍去负值），
故：.
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
20.【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
（4）见详解
【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；
（2）以A为圆心、AB为半径画弧交AC于点P即可；
（3）以P为圆心、AP为半径画弧将AC于点E，再以E点为圆心、AB为半径画弧，两弧交于点F，连接PF，直线PF即为所求的直线l；
（4）连接CD交直线l于点Q，Q点即为所求.
【详解】（1）作图如下：
直线AB、射线BD、线段AC即为所求；
（2）作图如下：
点P即为所求；
（3）作图如下：
直线l即为所求；
证明：连接EF、PB，
由作图可知，，，
根据（2）的作图可知，
即有：，，，
即有，
∴，
∴，
即直线l即为所求；
（4）作图如下：
直线l即为所求；
∵，
∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C、Q、D三点共线时，有，
即作图依据为：两点之间线段最短.
【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.
21.【答案】（1）；（2）①，；②.
【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决.
（2）①中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式
②中也根据材料二的内容来解答求出x的值.
【详解】（1）根据材料一；
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴解得：，
∴；
（2）②解：由材料二知：
，
，
∴可将的值看作点到点的距离
的值看作点到点的距离，
∴
，
∴当代数式取最小值，
即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，
∴的最小值
，
且，
设过，，的直线解析式为：
∴，
解得：，
∴；
②∵中，
∵，
∴（i），
又∵
∴（ii）
由（i）（ii）得：，
解得：（舍）， ，
∴x的值为.
【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.
22.【答案】（1）该抛物线的表达式为；
（2）点的坐标为或；
（3）或
【分析】（1）先求得点，点，利用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况讨论：和，利用全等三角形的性质求解即可；
（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、、三点共线时，线段长度取得最大值，当点与点重合时，线段长度取得最小值，据此求解即可.
【详解】（1）解：令，则，
令，则，
解得，
点，点，
把，，代入，
得，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：若和全等，且，
分两种情况：
①，则，，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
②，则，
∴正方形的边长为2，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：①点P的坐标为时，
∵与关于对称，
∴，
∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，
当Q点与C点重合时取得最小值，，
此时，
当P，，C三点共线时，取得最大值，最大值为
则
②点P的坐标为时，
∵与关于对称，
∴，
∴点在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，
当P、C、三点共线时，线段长度取得最大值，最大值为；
当Q点与C点重合时，点的坐标为，此时
∴
综上，或.
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论.
