北京市清华附广华学校2024~2025学年第一学期测试数学开学测试
一、第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．2023年 5月 30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室
也宣布计划在 2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为 38.4万千米的月球．将 384000用科学记数法
表示应为（ ）
A．38.4×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．0.384×106
2．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A． B． C． D．
3．若点 A（﹣3，a），B（1，b）都在直线 y＝5x﹣2上，则 a与 b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若 CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．10
5．实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（a﹣b）＞0 B．b（a﹣c）＞0 C．a（b+c）＞0 D．a（b﹣c）＞0
b2 2a
6．如果 a﹣b＝3，那么代数式 a 的值为（ ）
a a b
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
7．《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”意思是：“…直角的一半
1 1
的角叫做宣，一宜半的角叫做欘…”．即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣（其中，1矩＝90°），问题：图（1）
2 2
为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C的度
数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
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8．如图，在正方形 ABCD中，P为边 BC上一点（点 P不与点 B，C重合），AH⊥DP于 G，并交 CD于点 H，
CF⊥AH交 AH延长线于点 F．给出下面三个结论：
①PC+AD＝AH；
② FD＜ 2PC；
③ 3FA FD＞FB．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③
二、填空题
1
9．若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是 ．
x 2
10．把直线 y＝﹣2x+1沿 y轴向上平移 2个单位，所得直线的函数关系式为 ．
x
x 1
＞
11．不等式组 2 的解集为 ．
5x 3＜1 x
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是 AC、BC的中点，DE＝ ．
13．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1， 3 ），则点 C 的坐标
为 ．
1
14．如图，正比例函数 y1＝ax与一次函数 y2 x b的图象交于点 P．下面四个结论：2
①a＞0；
②b＜0；
③不等式ax 1＞ x b的解集是 x＞﹣2；
2
④当 x＞0时，y1y2＜0．
其中正确的是 ．
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15．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 1，BD是矩形 ABCD的
对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 2重新摆放，观察两图，若 a＝2，
b＝1，则矩形 ABCD的面积是 ．
16．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间 200元，三人间每间 250元，某学校 56人的研学团到该
旅店住宿，租住了若干客房．其中男生 27人，女生 29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩 15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间．
三、解答题
1
17．计算： 2 2 1 3 12 1 ．
3
18．解方程：x2+3＝4x．
19．已知：△ABC．
求作：边 BC上的高 AD．
作法：如图，
①以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交直线 BC于点 M，N；
1
②分别以点 M，N为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 P（不同于点 A）；
2
③作直线 AP交 BC于点 D．
线段 AD就是所求作的△ABC的边 BC上的高．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
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证明：连接 AM，AN，PM，PN．
∵AM＝ ，PM＝ ，
∴点 A、点 P均为线段 MN垂直平分线上的点（ ）（填推理的依据）．
∴AP是线段 MN的垂直平分线，
∴AD⊥BC于点 D．
即线段 AD为△ABC的边 BC上的高．
20．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣4mx+m2＝0．
（1）求证：不论 m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若 x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．
21．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三 方法一 方法二
角形的第三边，并且等于第三边的一半． 证明：如图 2，延长 DE到点 证明：如图 3，过 E作 EF∥
已知：如图 1，△ABC中，D．E分别是边 AB，F，使 EF＝DE，连接 FC， AB交 BC于点 F，过 A作 AG
AC的中点． DC，AF． ∥BC交直线 EF于点 G．
1
求证：DE∥BC，DE＝ BC．
2
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22．第 19届亚运会将于今年 9月 23日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热
潮．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出 10名学生代表．将 10名学生代表 200米自由泳所用时间数据整
理如下：
a.10名学生代表 200米自由泳所用时间（单位：秒）：
260，255，255，250，248，246，246，246，220，205
b．10名学生代表 200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）：
平均数 中位数 众数
243.1 m n
（1）写出表中 m，n的值；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若 5 次日常训练的平均用时低于 10名学生代表中的一
半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学 5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是 （填“甲”
或“乙”）；
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲同学日常训练用时 246 255 227 266 236
乙同学日常训练用时 246 255 239 240 250
②丙同学前 4次训练的用时为 270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，
则第 5次训练的用时 t的要求为： ．
23．如图，△ABC中，AB＝BC，过 A点作 BC的平行线与∠ABC的平分线交于点 D，连接 CD．
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）连接 AC与 BD交于点 O，过点 D作 DE⊥BC交 BC的延长线于 E点，连接 EO，若 EO 2 5，DE＝4，
求 CE的长．
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24．在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点（1，3），（0，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当 x＜2时，对于 x的每一个值，函数 y = nx（n≠0）的值小于函数 y = kx+b的值，直接写出 n的取值范
围．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为 BC上一点，连结 AD．
（1）如图 1，点 D不与 B、C重合，用等式表示 AD、BD、CD之间的数量关系，并证明；
（2）如图 2，延长 CB至 E使得 BE＝BD，若∠BAD＝7.5°，用等式表示 AD与 AE的数量关系，并证明．
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